Урок. "Дослідження функції за допомогою похідної та побудова графіків"

Про матеріал

Мета уроку: Узагальнити й систематизувати отримані раніше знання з цієї теми; сприяти формуванню у студенті логічного мислення шляхом залучення їх до аналізу теоретичного матеріалу й використання на практиці; удосконалити вміння будувати графіки; виховувати інтерес до вивчення математики, акуратність під час ведення записів і виконання побудов графіків функцій.

Перегляд файлу

Тема: Дослідження функції за допомогою похідної та побудова графіків.

Мета: Узагальнити й систематизувати отримані раніше знання з цієї теми; сприяти формуванню у студенті логічного мислення шляхом залучення їх до аналізу теоретичного матеріалу й використання на практиці; удосконалити вміння будувати графіки; виховувати інтерес до вивчення математики, акуратність під час ведення записів і виконання побудов графіків функцій.

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

Обладнання уроку: дошка, лінійка, підручник (Афанасьєва О.М.; Бродський Я.С. Математика 11 клас).

Епіграф уроку: «Недостатньо лише зрозуміти задачу, треба мати бажання розв’язати її. Де є бажання, знайдеться і шлях.» (Д. Пойа)

Очікувані результати:

застосувати набуті знання до дослідження функції (за допомогою похідної) та будувати її графік;
аналізувати власні помилки;
працювати індивідуально і в групі;
оцінювати свої знання і групи в цілому;
розвивати пізнавальні інтереси учнів.

Структура уроку.

І. Організаційний момент.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

ІІІ. Перевірка домашнього завдання та актуалізація опорних знань і вмінь.

IV. Робота з групами.

V. Підбиття підсумків уроку.

VІ. Домашнє завдання диференційованого характеру.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Викладач. Уже досить тривалий час ми з вами вивчаємо похідну, і не тільки її красу з погляду математики, а й використання для розв’язання математичних задач. Ви вже досить термінів вивчили, щоб узятися за розв’язання більш складних задач, наприклад задач на побудову графіків функцій.

Отже, приступаємо. Сподіваюся, що потім ви з легкістю зможете впоратися з побудовою графіків будь-яких функцій, провівши їхнє дослідження.

ІІІ. Перевірка домашнього завдання та актуалізація опорних знань і вмінь.

Додому було дано графік функції . Цей графік вимагав від вас і дослідницьких зусиль. На дошці ви бачите деякі етапи дослідження функції при побудові цього графіка.

Четверо студентів, які підуть до дошки, мають спробувати знайти помилку або неточність у дослідженні, зробити необхідні висновки або запропонувати більш раціональний підхід до дослідження функції .

У цей час інші студенти напишуть тестову роботу.

Тестове завдання

З наведених відповідей вибрати правильну.

1. Знайти D(),(х)=.

А) (-∞;∞); В) [-3;3];

Б) (-3;3); Г) [-3;2)U(2;3].

2. Знайти нулі функції .

А) Функція нулів немає;

Б) -3; 3;

В) 3;

Г) -3.

3. Яка з даних функцій є непарною?

А) ; В);

Б) ; Г).

4. Знайти екстремуми функції .

А) 3; В) -3;

Б) 8; Г) -1.

5. Знайти вертикальні асимптоти графіка функції .

А) х=0, В) х=5; х=1;

Б) х=2; х=3; Г) х=0; х=2.

6. Знайти проміжки зростання функції .

А) (-∞; 4);

Б) (-∞;0)U(0; ∞);

В) (-4;5);

Г) (-∞;∞).

Відповіді до тесту

1	2	3	4	5	6
Г	Г	А	Г	В	Г

Роботи двох-трьох студентів, які швидше за всіх упоралися з тестами, перевіряються викладачем. Після цього студенти міняються зошитами і перевіряють один-одного.

У цей час четверо студентів, викликані раніше до дошки, уже готові до відповідей.

На першій дошці.

1. .

1) D(у):

2) – функція ні парна, ні непарна.

3) Точки перетину графіка з вісями координат:

Вісь Оу: х=0; у=1; А(0; 1);

Вісь Ох: у=0; , (x-1)(+x-2)=0; x=1; +x-2=0; x=-2; x=1

B(1;0); C(-2;0).

На другій дошці.

Висновок: у х=1 – розрив І роду;

Х=2 – вертикальна асимптота, тому що ∞; ∞;

Пошук асимптот: у= – рівняння похилої асимптоти.

Висновок: у=х+3 – похила асимптота.

На третій дошці

D(): х

у(0)=1; у(4)=9; стаціонарні точки

х=0, х=4.

(На дошці не були спочатку розставлені знаки й не зазначені точки екстремуму й проміжки монотонності.)

На четвертій дошці

(На графіку не виколювати х=1, учні самі мають помітити помилку та виправити її.)

Підбиття підсумків роботи на цьому етапі: підрахувати кількість балів, отриману при тестуванні; відзначити роботу студентів біля дошки; підкреслити, що при дослідженні даної функції спрацювали всі пункти схеми дослідження.

IV. Робота з групами.

Створимо чотири однорідних за складом групи.

Розглядається графік функції .

І група. Знайдіть область визначення функції; дослідіть її на парність; знайдіть точки перетину графіка з осями координат.

1.D(y)= ) (-∞;0)U(0; ∞) – симетрична відносно початку координат.

2. y(-x)= – функція загального вигляду.

3. Точок перетину з віссю Оу: немає; з віссю Ох: немає.

ІІ група. Знайдіть асимптоти графіка функції.
;
. х=0 - вертикальна асимптота.

2. Похила асимптота

(за правилом Лопиталя).

ІІІ група. Проведіть дослідження функції на монотонність і екстремуми.

= ; D()=D(y);

Функція спадає, якщо xє.

Функція зростає, якщо xє[1;).

IV група. Проведіть дослідження опуклості функції.

D()=D(y).

Після захисту біля дошки кожної групи, у всіх зошитах є дослідження розглянутої функції. Тепер всі групи будують графік даної функції.

Група, що впоралася із завданням першою, демонструє своє розв’язання біля дошки.

Основний принцип математичного аналізу, його ідеологія полягають у кінематичному підході до функції. Це означає, що акцент робиться на вивченні зміни функції залежно від зміни аргументу, її розвитку в часі. Можна сказати, що при побудові графіків функцій наше завдання – виходячи з локальних характеристик, одержати зображення в цілому. При цьому сам апарат нерідко грає допоміжну, уточнюючу роль, у той час як якісна картина може бути отримана й без нього.

Звернімося до графіка .

Поміркуємо: якщо

Якщо

V. Підбиття підсумків уроку

1) Кожний студент заповнює листок самооцінки.

Прізвище______________________________	Кількість балів
Тестування (по 2 бали за одне завдання)
Відповіді біля дошки (максимум 12 балів)
Участь у роботі групи (максимум 10 балів)
Усього