Урок " Формули для обчислення довжини вектора, кута між векторами, що задані своїми координатами"

Криворізький Покровський ліцей

 

 

 

 

 

 

 

ФОРМУЛИ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ДОВЖИНИ ВЕКТОРА, КУТА МІЖ ВЕКТОРАМИ, ЩО ЗАДАНІ КООРДИНАТАМИ

 

 

 

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА ВІДКРИТОГО ЗАНЯТТЯ З ДИСЦИПЛІНИ ”ГЕОМЕТРІЯ”

 

 

 

 

 

2018-08-30

 

 

 

Автор                       

Ужва Олена Олександрівна, викладач математики, спеціаліст першої                               категорії

 

 Методична розробка заняття  розкриває  творчий досвід викладача щодо оновлення навчально – виховного процесу.  Метою заняття є формування вмінь та навичок студентів у застосуванні  векторного та координатного методів для  розв’язування задач,  показати практичне спрямування теми для розвитку інших дисциплін таких як ”Фізика”, ”Вища  математика” . На занятті використані   різноманітні активні форми роботи з групою: опереджувальні завдання, самостійна робота, творчі завдання, тренувальні вправи, тести, математичний диктант.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Методична мета заняття: реалізація творчої складової в процесі формування вмінь та навичок студентів, активні форми і методи виховання особистості.

 

 

Розв'язання задач — зовсім не привілей                                  математики. Усе людське пізнання — це не що інше, як постійна постановка і розв'язування все нових питань, проблем.

                                                                                               Е.Ільєнков

Тема заняття. Формули для обчислення довжини вектора,     кута між векторами, що задані своїми координатами. 

Вид заняття. Заняття узагальнення та систематизації знань, умінь,   навичок.

Мета заняття.

Навчальна. Узагальнити та систематизувати вміння  студентів з теми:”Вектори і координати в просторі”. Реалізувати  поняття скалярного добутку між векторами, довжини вектора, кута між векторами, що задані коордитнатами. Формувати вміння та навички студентів застосовувати вивчений матеріал до розв’язування задач.

Виховна.   Виховувати культуру мови  в ході бесіди, математичну культуру, навики самостійно приймати рішення; створювати передумови формування загальнолюдських вмінь та навиків студентів, формувати творчий та естетичний потенціал студентів.

Розвиваюча. Розвивати у студентів вміння практичної реалізації  системи знань в систему вмінь,  вміння реалізовувати практичні зв’язки курсу математики з фізикою, вищою математикою.

Міжпредметні зв’язки.

            Забезпечуючі.  Геометрія 7-9. Вектори і координати в просторі

                                      Фізика. Динаміка. Електричне поле

           Забезпечувані. Вища математика. Векторна алгебра. Аналітична геометрія.

Забезпечення заняття.

1. Література. О.В.Погорєлов. Геометрія 10-11кл., Г.М.Литвиненко. Збірник задач для державної підсумкової атестації.,  М. Роганін. Плани – конспекти уроків.

                                             Геометрія

2. Наочні посібники. Таблиця. Вектори та координати в                                  просторі. Слайди: “Математичний  диктант”, ”Історична довідка”,                                 ”Презентація студентських робіт”.
3. Роздатковий матеріал. Варіанти завдань для тестового опитування,

                                 таблиця ”Вектори і координати в просторі”.

4. Технічні засоби навчання. Мультимедійний проектор.

Компетенції. Навчальна, соціально – трудова, стимулювально – мотиваційна.

Функції:

Теоретична – Знати: поняття вектора, координати  вектора, формулу довжини вектора в координатному вигляді, додавання та віднімання векторів, добуток вектора на число, скалярний добуток векторів, формулу кута між векторами.

Практична – Вміти: обчислювати довжину вектора  в координатному вигляді, скалярний добуток векторів, кут між векторами, застосовувати умову ортогональності векторів до визначення їх взаємного розташування.

Хід заняття

1. Організаційна частина.

      Викладач з’ясовує присутність студентів на занятті, налаштовує їх на роботу, відповідає на питання студентів щодо домашнього завдання, встановлює психолого – педагогічний контакт з групою.

     Викладач роз’яснює зміст роботи на занятті, розповідає про спосіб оцінки знань, умінь та навичок за допомогою рейтингової таблиці, в якій  будуть відображені всі види роботи на занятті.

2. Перевірка домашнього завдання.

     Студенти перевіряють виконання домашніх завдань своїх колег,  роблять відмітки в рейтинговій таблиці.

3. Підготовка до заняття.(метод – навчальний інструктаж).

3.1. Оголошується тема,  мета та завдання заняття.

     Тема заняття: Формули для обчислення довжини вектора,     кута між векторами, що задані своїми координатами. 

 

3.2. План заняття.

3.2.1. Формула для обчислення довжини вектора. Приклади.

3.2.2. Скалярний добуток векторів. Приклади.

3.2.3. Кут між векторами, що задані своїми координатами. Умова ортогональності векторів. Приклади.

3.2.4. Тестове опитування.

 

3.3. Мотивація пізнавальної діяльності студентів.(метод – проблемної бесіди).

Безпосереднє відношення до введення координатного методу в математиці  має Рене Декарт. Математичні праці Декарта випливали з його філософських поглядів. При­родою матерії, учив Декарт, є її тривимірювана об'ємність (довжина, ширина і висота), а найважливішою особливістю — ділимість і рухомість. Ці особливості і властивості матерії і повинна досліджувати математика. Тому математику як науку необхідно побудувати за єдиним аналітичним методом, який відображав би кількісні зміни вічно рухомої матерії.

Ці прогресивні наукові ідеї Декарт втілив у виданому в 1637 р. знаменитому творі «Міркування про метод». У ньому він показав, як аналітичний метод мож­на застосувати до дослідження деяких питань фізики і математики. У пізнішій своїй праці «Числення пана Декарта» учений докладніше показав, як його аналітичний метод можна застосувати, пов'язавши алгебру з геометрією.

2.(реалізація міжпредметних зв’язків- метод логічної градації)

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Актуалізація опорних знань студентів.( фронтальна бесіда- бліц - опитування, математичний диктант )

Питання для фронтальної бесіди.

1. Що називається вектором?

             Очікувана відповідь: вектором називається напрямлений відрізок

2. Як позначається вектор?

              Очікувана відповідь: або однією малою латинською або двома   

               великими латинськими буквами з символом у вигляді вектора.

3. Що називається довжиною вектора?

              Очікувана відповідь: довжиною вектора є довжина відповідного

              йому відрізка.

4. Які вектори називаються рівними?

              Очікувана відповідь: рівним називаються вектори,  які мають

              однакові довжини і є співнапрямленими.

5. Що називається сумою векторів і ()?

            Очікувана відповідь:сумою векторів є вектор, кожна координата

            якого є сумою відповідних координат векторів   і

            ()

6. Що називається добутком вектора  на деяке число λ?

           Очікувана відповідь: добутком вектора  на число λ є

            вектор, кожна координата якого є добутком числа  λ на

              координати вектора

 

7. Який вектор називається нульовим?

             Очікувана відповідь: нульовим вектором називається вектор,

             початок і кінець якого співпадають, його довжина дорівнює нулю.

8. Які вектори називаються колінеарними?

              Очікувана відповідь: колінеарними називаються вектори, які

              лежать на одній прямій або паралельних прямих. Координати

              колінеарних векторів пропорційні.

9. Які вектори називаються компланарними?

             Очікувана відповідь: вектори називаються компланарними, якщо    

              вони належать одній площині.

10.  Що можна сказати про компланарність двох будь – яких  векторів?

            Очікувана відповідь: два вектори завжди є компланарними.

Математичний диктант.(метод - самоперевірка )

Дано вектори:

Варіант 1                                                  Варіант 2

 (3; 0; 4); (7; 0; 2);                           (2; -2; 0); (3; 0; -3).

Запишіть:

1) координати вектора , якщо = + , (2 бали)

2) координати вектора , якщо = 2 - ; (2 бали)

3) координати вектора , якщо відомо, що довжина вектора втри­чі більша довжини вектора ; (2 бали)

4) при якому значенні k вектор (k; 0; 6) колінеарний вектору ; (2 бали)

5) чи компланарні вектори , та (0; 0; 1)? (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1.1) (10; 0; 6).  2) (-1; 0; 6). 3) (-9; 0; -12), (9; 0; 12). 4) k = 21.  5) Так.

 Варіант 2. 1) (5; -2; -3). 2) (1; -4; 3). 3) (6; -6; 0), (-6; 6; 0).

4) k = - 6.   5) Hi.

4. Вивчення нового матеріалу.(пояснення, розповідь, бесіда, ілюстрація, тренувальні вправи).

4.1. Формула для обчислення довжини вектора. Приклади.

     На попередньому занятті ми з вами з’ясували, що довжиною вектора є довжина відповідного йому відрізка. Отже, якщо вектор визначено початком і кінцем в точках відповідно:  і , то довжиною вектора буде величина, що дорівнює:

                  (1)

Якщо ж координати вектора відомі: , то його довжина відповідно буде дорівнювати:

.                                                             (2)

Для закріплення нових формул пропоную наступні приклади:

№1. Дано точки  і . Знайти довжину вектора .

Розв’язування.

За формулою  (1): = =

=.

№2. Знайти довжину вектора .

Розв’язування.

За формулою (2): ==

№3. Знайти довжину вектора , якщо ; .

Розв’язування.

, тоді

№4. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0),        В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).

Розв'язування

Оскільки (- 6; 14; 2), (-2; -6; 0), то = + , AC (-8; 8; 2)

(рис. 300).

Тоді = = = 2 (лін.  од. )

 

4.2. Скалярний добуток векторів. Приклади.

Скалярним добутком векторів ()  ) ∙ ()  назива­ється число (скаляр)

               · = .                               (3)      

№5. Знайдіть · , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).

Розв’язування.

· =-2

№6. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скаляр­ний добуток векторів дорівнює -3?

Розв’язування.

· =2;

10-3+4n=-3;

4n= -10;

 n= -2, 5

    Із означення скалярного добутку двох векторів і випливають його властивості:

1) · = · .

2) ( + ) · = · + · .

3) Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними  (рис. 297):

                       · = · cos φ                                          (4)

 

Наслідки із властивості 3:

1)                                                 

2) Два відмінні від нуля вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

4.3. Кут між векторами, що задані своїми координатами. Умова ортогональності векторів. Приклади.

Як видно було із наслідка з властивості 3 скалярного добутку:

Якщо дану рівність записати у координатному вигляді, то:

                                                     (5)

 

№7. Знайдіть · , якщо = 5, = 4, а кут між векторами дорів­нює 120°.                          

№8. Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?

№9. При якому значенні m вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпенди­кулярні?

№10. Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональні вектори?

№11. Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).

№12. Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).

 

5. Узагальнення та систематизація знань, умінь та навичок студентів.(бесіда, тестове опитування)

Бесіда за матеріалами заняття.

1) Як визначається довжина вектора в координатному вигляді?

2) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано коорди­натами?

3) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними?

4) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими век­торами?

5) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів.

6) У просторі дано вектори (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а) довжини векторів і рівні;

б) скалярний добуток векторів і дорівнює 2;

в) кут між векторами і дорівнює 120°;

г) ( + )( – ) = 0;

д) вектори + і – перпендикулярні.

Тестове опитування.

Студенти виконують тестові завдання рівневого характеру,  що мають три рівня складності.

6.Підведення підсумків заняття.

    Викладач підводить підсумки заняття,  відмічає роботу студентів, коментує отримані бали на занятті.

7. Домашнє завдання.

1.Скласти кросворд  до теми  ”Координати та вектори” (для всіх бажаючих покращити оцінку за тему).

2. Виконати вправи:

№1. Дано точки А (1; 0; - 2), В (-2; 1; 3) і вектор (1; 0; - 2) . Знайдіть:

а) координати вектора

б) абсолютну величину вектора

в) координати суми векторів і .

№2. Знайдіть довжину вектора 2+3, якщо (3; 1; 0), (0; 1; -1).

№3. Знайдіть косинус кута С трикутника АВС, якщо А(0; 1; - 1), В (1; - 1; 2),     

               С (3; 1; 0).

3.Повторити  все про рівняння прямої на площині.

                                                                                                                                             

 

 

 

 Додаток 1

Група_____

Прізвище, ім’я________________________

Дата____

Варіант 1

Самостійна робота

Вектори в просторі

Початковий і середній рівні (6 балів)

Завдання 1-3 містять по 5 варіантів відповідей, серед яких тільки одна правильна. Виберіть правильну,  на вашу думку,  відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1. Знайдіть координати вектора , якщо   і 

Розв’язування:

А) (4; 0; -2)

Б) (1; 3; -3)

В)  (10; 0; 6)

Г) (5; -3; -3)

Д) (1; 2; 3)

 

2. Дано і  . Знайдіть:

Розв’язування:

А) 5

Б) 11

В)

Г)

Д)

3.  При яких значеннях n  вектори і  колінеарні?

Розв’язування:

А) -4

Б) -3

В) 4

Г) 4

Д) 5

 

Достатній рівень (3 бали)

Розв’яжіть завдання 4. Запишіть відповідь у бланк відповідей

4. Дано вектори і , причому . Знайдіть , якщо ,

Розв’язування:

 

Відповідь____________________________________________________________________

Високий рівень(3бали)

Розв’язування повинно містити обгрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення.

5. Знайдіть зовнішній кут при вершині A трикутника ABC, якщо відомі координати його вершин: А(1; 0; 2), В(1; 3; -1), С(2; 0; 1).

Розв’язування:

 

Відповідь____________________________________________________________________

Бланк відповідей

	А	Б		В	Г	Д
1
2
3
4
5
Група_____			Прізвище, ім’я________________________				Дата____	Варіант 2

Самостійна робота

Вектори в просторі

Початковий і середній рівні (6 балів)

Завдання 1-3 містять по 5 варіантів відповідей, серед яких тільки одна правильна. Виберіть правильну,  на вашу думку,  відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1.   Знайдіть координати вектора , якщо   і 

Розв’язування:

А) (4; 0; -2)

Б) (1; 3; -3)

В)  (10; 0; 6)

Г) (5; -3; -3)

Д) (1; 2; 3)

 

2. Дано і  . Знайдіть:

Розв’язування:

А) 5

Б) 11

В)

Г)

Д)

3. При яких значеннях n  вектори і  перпендикулярні?

Розв’язування:

А) -4

Б) -3

В) 4

Г) 4

Д) 5

 

 

Достатній рівень (3 бали)

Розв’яжіть завдання 4. Запишіть відповідь у бланк відповідей

4.Дано вектори і , причому . Знайдіть , якщо ,

Розв’язування:

 

Відповідь____________________________________________________________________

Високий рівень(3бали)

Розв’язування повинно містити обгрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення.

5.Знайдіть зовнішній кут при вершині В трикутника ABC, якщо відомі координати його вершин: А(0; 2; -2), В(0; -1; 1), С(1; -1; 0).

Розв’язування:

 

Відповідь____________________________________________________________________

Бланк відповідей

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4
5

 

 

 

Додаток 3

РЕЙТИНГОВА ВІДОМІСТЬ УСПІШНОСТІ СТУДЕНТІВ ГРУПИ _____________

№ п/п	Прізвище, ім’я   студента	дом.зав	усна відпов.	викон. вправ	мат.дикт	доповнення	тест	презент.	рейтинг	оцінка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

 

                                                                                             Додаток 4

Бланки відповідей на математичний диктант

Математичний диктант ____________________________________________В-1

Дано вектори:_____________________________

1.		2
2.		2
3.		2
4.		2
5.		2

 

                                           Бал

 

 

 

Математичний диктант ____________________________________________В-2

Дано вектори:_____________________________

1.		2
2.		2
3.		2
4.		2
5.		2

 

                                           Бал

 

 

 

 

 

 

 

 

                           Додаток 5

Вправи до заняття по темі: ”Вектори  і координати в просторі”

№1. Дано точки  і . Знайти довжину вектора .

№2. Знайти довжину вектора .

№3. Знайти довжину вектора , якщо , .

№4. Знайдіть довжину діагоналі АС паралелограма ABCD, якщо А (2; - 6; 0),        В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).

№5. Знайдіть · , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).

№6. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скаляр­ний добуток векторів дорівнює -3?

№7. Знайдіть · , якщо = 5, = 4, а кут між векторами дорів­нює 120°.                          

№8. Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?

№9. При якому значенні m вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпенди­кулярні?

№10. Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональні вектори?

№11. Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).

№12. Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).

№13 Дано вектори і , причому . Знайдіть , якщо ,

Заключна  бесіда за матеріалами заняття.

1) Як визначається довжина вектора в координатному вигляді?

2) Чому дорівнює скалярний добуток векторів, які задано коорди­натами?

3) Як можна обчислити скалярний добуток векторів, якщо відомі їх довжини і кут між ними?

4) Як можна визначити косинус кута між двома ненульовими век­торами?

5) Сформулюйте ознаку перпендикулярності двох ненульових векторів.

6) У просторі дано вектори (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а) довжини векторів і рівні;

б) скалярний добуток векторів і дорівнює 2;

в) кут між векторами і дорівнює 120°;

г) ( + )( – ) = 0;    д) вектори + і – перпендикулярні.

 

                                              Додаток 6

Домашнє завдання.

1.Скласти кросворд  до теми  ”Координати та вектори” (для всіх бажаючих покращити оцінку за тему).

2. Виконати вправи:

№1. Дано точки А (1; 0; - 2), В (-2; 1; 3) і вектор (1; 0; - 2) . Знайдіть:

а) координати вектора

б) абсолютну величину вектора

в) координати суми векторів і .

№2. Знайдіть довжину вектора 2+3, якщо (3; 1; 0), (0; 1; -1).

№3. Знайдіть косинус кута С трикутника АВС, якщо А(0; 1; - 1), В (1; - 1; 2),     

               С (3; 1; 0).

3.Повторити  все про рівняння прямої на площині.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рецензія

      Методична розробка заняття відповідає всім методичним вимогам  проведення занять узагальнення та систематизації знань  і складена у повній відповідності до програми з дисципліни  ”Геометрія”. В розробці відображено всі етапи заняття.  Досить вдало проведена мотивація пізнавальної діяльності студентів, де використано і активна форма мотивації за допомогою опереджувального завдання і розглянуто,  реальні міжпредметні зв’язки теми з іншими дисциплінами, які вивчаються в коледжі.   Актуалізація опорних знань студентів проводиться за допомогою бліц – опитування та проведення математичного диктанту, що пожвавлює роботу студентів на занятті.

     Викладка матеріалу проводиться послідовно на належному науковому рівні. Кожен інформаційний модуль закріплюється в процесі заняття за допомогою влучних прикладів, конкретних вправ по темі. Матеріал теми перекликається з темами геометрії за неповну школу, тому студенти мають можливість взяти участь у з’ясуванні деяких властивостей та теоретичних фактів.

     Узагальнення та систематизація знань та навиків студентів також має не одну форму: фронтальна бесіда та тестове опитування, що дозволяє студнентам ще раз пройти по теоретичних поняттях та термінах, а вже потім приступити до виконання  тестових завдань за матеріалами всієї теми.

    В методичні розробці висвітлено багато різноманітних форм та методів роботи:   опереджувальні завдання, самостійна робота,  творчі завдання, тренувальні вправи, тести,  математичний диктант, бесіда, ілюстрація, пояснення, доведення,  розв’язування тренувальних вправ.

    Методична розробка забезпечена всіма необхідними матеріалами візуального супроводження,  роздатковими матеріалами. Підготовлено презентацію заняття для  мультимедійного  проектора.

    Дана методична розробка може бути використана для проведення заняття з геометрії по темі ”Вектори і координати”.

 

 

                                               Рецензент                          ___________________