Урок геометрії в 11 класі "Куля і сфера. Переріз кулі площиною. "

Урок  геометрії в 11 класі.

 

Тема. Куля і сфера. Переріз кулі площиною.

Мета: познайомити  учнів з поняттями «куля», «сфера» та властивостями  цих тіл обертання; формувати вміння будувати перерізи кулі, користуватися властивостями перерізів для розв’язування задач; розвивати логічне та образне мислення, математичну мову учнів.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

                              

                                              Хід уроку.

 

І. Організаційна частина.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

 На дошці опорний конспект:

Фронтальне опитування:

1. Які плоскі фігури зображені на дошці?
2. Дати означення кола.
3. Дати означення круга.
4. Які елементи можна назвати в даних фігур?
5. Як обчислити довжину кола?
6. Як обчислити площу круга?

 

Усні задачі записані на дошці:

 

Задача1                                Задача2                                 Задача3

D=16 см                                S=16π  см²                           l=12π см

Знайти: l, S                         Знайти: d, l                           Знайти: R, S

 

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

     Зараз вивчаєте тіла обертання.

1. Які тіла обертання ви вже вивчили?
2. Чому ці об’ємні фігури називаються тілами обертання?
3. Обертанням якої плоскої фігури і навколо чого утворюється циліндр?
4. Обертанням якої плоскої фігури і навколо чого утворюється конус?
5. Чи являється круг чи коло тілом обертання? Відповідь обґрунтувати.
6. Яку об’ємну фігуру можна назвати також тілом обертання?
7. Обертанням якої плоскої фігури і навколо чого утворюється куля?
8. Обертанням якої плоскої фігури і навколо чого утворюється сфера?

 

Отже, як ви вже зрозуміли тема нашого уроку: «Куля і сфера. Переріз кулі площиною.», а на уроці повинні:

1. засвоїти поняття «куля», «сфера»;
2. вивчити основні їх елементи;
3. навчитися будувати перерізи кулі;
4. формувати вміння розв’язувати задачі на властивості перерізів.

 

ІV. Вивчення нового матеріалу.

1. Навести приклади предметів, які мають форму кулі чи сфери.
2. Дати означення поняття «сфера».
3. Дати означення поняття «куля».
4. В підручниках зустрічається поняття «кульова поверхня».

Як ви розумієте це поняття? Чи вірно: кульова поверхня—сфера ?

5. На яку плоску фігуру буде схоже зображення кулі на площині?
6. На яку плоску фігуру буде схоже зображення сфери на площині?

Учні позначають на малюнку: О—центр кулі,

                                                                    R--радіус

                                                                   d –діаметр.

                              Учні дають означення даних елементів.

7. Що є перерізом кулі?
8. Що є перерізом сфери?
9. Як провести переріз кулі, щоб він мав найбільшу площу? Відповідь обґрунтувати.

 

Площина, яка перетинає кулю і проходить через його центр, називається  діаметральною.

Переріз кулі, який має найбільшу площу, називається великим кругом.

Відповідно для сфери—великим колом.

 

 

                            R_п=R_к

 

 

 

 

 

 

10 Задача.

    На якій відстані від центра кулі, радіус якої дорівнює 5 см, проведена площина, щоб площа його перерізу була 16π см² ?

 

Як знайти відстань від центра кулі до площини перерізу?

Учні працюють з підручником

                         Після самостійної роботи учні доводять теорему.

Теорема.

      Будь-який переріз кулі є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

 

Використовуючи дану теорему, розв’язати попередню задачу.

       Учні виконують задачу індивідуально.

                               (Відповідь: ОО₁=3 см)

 

V.Закріплення вивченого матеріалу.

 

Задача 1

На кульовій поверхні розташовані вершини рівностороннього трикутника, сторона якого 3√3 см. і віддалений від центра кулі на відстані 5 см.

 

Учні будують математичну модель задачі, обґрунтовуючи етапи її побудови. Розрахунок учні виконують індивідуально.

                      ( Відповідь: √34 см.)

Задача 2

Місто А знаходиться на 60⁰  північної широти. Який шлях долає цей пункт за 1 год.  внаслідок обертання Землі навколо своєї осі? Вважати, що радіус Землі дорівнює 6000 км.

Учням пояснюється визначення кута північної широти і пропонується розв’язати задачу групі Б

               ( Відповідь: 250π=785 км.)

 

        З учнями групи Б  працюємо над задачею:

 

Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі 144π см² і 25π см².

Знайти радіус кулі, якщо відстань між паралельними площинами дорівнює 17 см.

 

 

 

                                                           Розв’язування.

 

                                     Так як S₁=25π ,то АО₁=5 см.

                                     Так як S₂=144π ,то ВО₂=12 см.

                                     Нехай ОО₂=х, ОО₁=17-х.

                                      АО=ВО=R_к

                                                          За теоремою Піфагора отримуємо рівняння:

                                                  АО₁²+ОО ₁²=ВО₂²+ОО₂²

 

Після спрощення рівняння отримуємо х=5 см.

Отже, ОО₂=5 см., ВО=13 см.

 

VI. Підсумок уроку.

 

    «Мікрофон»

     Що нового дізналися на уроці?

     Чому навчилися на уроці?

     Чи всі поставлені завдання виконали?

 

VIІ. Домашнє завдання.

    

     Скласти задачу на властивість перерізу кулі площиною.