Урок "Многочлени та дії над ними"

Тема. Многочлени  та дії над ними.

Мета.

• Систематизувати, узагальнити  знання та уміння з теми
•  Розвивати спостереження, уміння аналізувати, порівнювати, робити висновки
• Виховувати об’єктивність та чесність під час оцінювання власних знань, уважність, працьовитість

Тип уроку. Удосконалення вмінь та навичок

Хід уроку

1. Організаційний етап

2. Перевірка домашнього завдання (обмін зошитів)

3. Актуалізація опорних знань

Закінчіть речення.

1. Многочленом називається… (сума одночленів)
2. Одночлени – це… (цілі вирази – числа, змінні, їх степені і добутки)
3. Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних доданків називають многочленом… (стандартного вигляду)
4. Степенем многочлена стандартного вигляду називають… (найбільший зі степенів одночлен, що до нього входять)
5. При додаванні та відніманні многочленів використовуються правила… (розкриття дужок)
6. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «-»,треба …(знаки всіх членів, що були в дужках, змінити  на протилежні)
7. Щоб помножити многочлен на одночлен потрібно…(кожний член многочлена помножити на цей одночлен)
8. Щоб помножити многочлен на многочлен потрібно…(кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого многочлена)
9. Якщо необхідно перемножити більше ніж два многочлена, то спочатку перемножують …(деякі два з них, потім отриманий результат множать на третій многочлен )
10.  Щоб розкласти многочлен на множники, можна використати такі способи розкладання многочленів на множники … (спосіб винесення спільного множника за дужки, спосіб групування)

Знайди помилку

(6a – 2b) – (5a +3b) = 6a – 2b – 5a + 3b = a + b

3x (x⁴ +x² – 1) = 3x⁵ + x² – 1

- 5a (a² – 3a - 4) = 5a³ – 15a² – 20a

(x – 2)(x + 9) = x² – 2x + 9x – 18 = x² + 11x – 18

(3b – 2)(5 – 2b) + 6b² = 15b – 6b² – 10 + 4b = -6b² + 19b – 10 + 6b² =19b - 10

Усні вправи

Ось перед вами квітка. На кожній пелюстці – математичне завдання.

Помножте одночлен записаний всередині квітки на многочлени записані на її пелюстках.

4. Удосконалення вмінь і навичок

Робота за підручником № 370 (1), № 376, № 408 (2)

Хвилинка релаксації

Історія виникнення многочлена

Одним з основних понять сучасного шкільного курсу алгебри є поняття многочлена. Це поняття пройшло довгий історичний шлях свого розвитку у математиці. Його історичними коренями є рівняння першого і другого степеня, які розв’язувалися у древньому Вавилоні ще 2 тисячі років до нашої ери. Пізніше ці рівняння були описані у VII-ій та VIII-ій книгах з математики стародавнього Китаю. Загалом, до середини XIX століття, основним змістом алгебри було розв’язування рівнянь різних степенів та їх систем. Суттєвим для розвитку теорії многочленів стали три важливих події у світі математики.

Франсуа Вієт французький математик, який започаткував алгебру як науку про перетворення виразів, про розв’язування рівнянь у загальному вигляді.

Французький математик Ф.Вієт встановив співвідношення між коренями та коефіцієнтами алгебраїчного рівняння. Це твердження ввійшло в математику як теорема Вієта.

 Вієт став позначати буквами не тільки невідомі, але й дані величини. Тим самим йому вдалося ввести в науку можливість виконання алгебраїчних перетворень над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він вніс важливий вклад в створення буквенної алгебри, чим закінчив розвиток математики епохи Відродження і підготував ґрунт для появи результатів , Декарта, Н’ютона.

Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори класиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомпеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, яка полягала у важкості розуміння через словесну символіку. Майже всі дії і знаки записувалися словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємось. Неможна було записувати і, отже, вивчати в загальному вигляді алгебраїчні рівняння або якісь алгебраїчні вирази. Кожний вид рівняння з числовими коефіцієнтами розв’язувався за особливим правилом. Так, наприклад у Кардано розглядалося 66 видів алгебраїчних рівнянь. Тому необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від самих чисел не залежать. Вієт та його наслідувачі встановили, що не має значення, чи буде розглянуте число кількістю предметів або довжиною відрізка. Головне, що над цими числами можна виконувати алгебраїчні дії і в результаті знову отримати числа такого самого роду. Отже, їх можна позначати якимись абстрактними знаками. Вієт це й зробив. Він не лише ввів своє буквинне обчислення, але й зробив принципово нове відкриття, поставивши перед собою ціль, вивчати не лише числа, а й дії над ними. Правда, в самого Вієта алгебраїчні символи були ще мало схожі на наші. Зі знаків дій він використовував “+” і “-”, знак радикалу і горизонтальну риску для ділення. Добуток позначав словом “in”. Вієт першим став використовувати дужки, які, правда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над мноогочленом. Але багато знаків, які були введені до нього, він не використовував. Так, квадрат, куб і т. д. Позначав словами або першими буквами слів. Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад стародавних, він чітко розмежував числа, величини та відношення, зібравши їх у деяку систему “видів”. У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби і т.д. Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначивши їх прописними буквами латинського алфавіту. Для невідомих величин застосовувалися голосні букви, для змінних – приголосні. Вієт показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який пристосований до будь–яких величин, тобто розв’язати задачу в загальному вигляді. Це поклало початок корінній зміні у розвитку алгебри: стало можливим буквенне обчислення. Не випадково, що за це Вієта називають «батьком» алгебри, основоположником буквенної символики.

У кінці XVIII ст. французький математик Е. Безу сформулював і довів теорему про ділення многочленів з остачею.

У 1799 р. німецький математик К.Гаус довів теорему, яка довгий час називалася «основною теоремою алгебри», а тепер носить назву «основної теореми алгебри многочленів».

У сучасній математиці многочленам належить значна роль. Так результати моделювання різних процесів засобами математики та комп’ютерної техніки часто приводять до рівнянь, розв’язування яких безпосередньо пов’язане з теорією многочленів.

Додаткове завдання.

Геометричний зміст множення многочленів.

5. Підсумок уроку

Математичний диктант

1. Які одночлени треба вписати в клітинки, щоб одержати тотожність.

3a² (□ - □) = 9a⁵ – 12a²

2. Зведіть многочлен до стандартного вигляду та визначте його степінь

2a∙a²∙3b + a∙5c

3. Який многочлен потрібно записати замість пропусків, щоб одержати тотожність

7a²b + 9a³ + ( … ) = 8a²b

4. Винесіть за дужки спільний множник

9m⁴ + 27m³ – 81m

5. Розв’яжіть рівняння

x² +4x = 0

Домашнє завдання    § 7 – 12  Многочлени

                                       № 371, № 382, № 409

1. 3a² (3a³ - 4) = 9a⁵ – 12a²

2. 2a∙a²∙3b + a∙5c = 6a³b +5ac             степінь = 4

3. 7a²b + 9a³ + (a²b – 9a³) = 8a²b

4. 9m⁴ + 27m³ – 81m = 9m (m³ +3m² - 9)

5. x² +4x = 0

x (x + 4) = 0

x = 0               x + 4 = 0

                        x = -4