Урок "Паралельність прямих і площин у просторі".

Про матеріал

Методрозробка «Паралельність прямих і площин у просторі» містить матеріал для узагальнення і систематизації знань.

Перегляд файлу

Тема заняття. Паралельність прямих і площин у просторі.

Мета заняття: узагальнити і систематизувати знання, уміння і навички студентів з теми «Паралельність прямих і площин у просторі».

Формування компетентностей:

предметна компетентність: узагальнити і систематизувати знання студентів із теми «Аксіоми стереометрії. Паралельність прямих і площин у просторі», удосконалювати вміння розв’язувати задачі з цієї теми.
ключові компетентності:

математична компетентність – оперувати геометричними об’єктами на площині та в просторі;
уміння вчитися впродовж життя – організовувати і планувати свою навчальну діяльність;
спілкування державною мовою – доречно та конкретно вживати в мовленні математичну термінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень;
ініціативність і підприємливість – аналізувати, прогнозувати, ухвалювати оптимальні рішення.

Тип заняття: узагальнення і систематизації знань.

Обладнання:

Наочні посібники: навчальна презентація.
Роздатковий матеріал: картки із завданнями.
ТЗН: проектор, екран, стереометричний набір.
Література: Математика: 10 : підруч. для загальноосвіт. навч. закл. : рівень стандарту / Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. – 3-тє вид. – К. : Генеза, 2012. – 272с. : іл. – Бібліогр. : с. 250.

Епіграф заняття:

Перша умова, якої треба дотримуватись у математиці – це бути точним, друга – бути ясним і, наскільки можливо, простим.

Л.Карно

Хід заняття

І. Організаційна частина.

Організувати студентів до навчання, активізувати їхню увагу, створити робочу атмосферу для проведення заняття (містить привітання викладача із студентами, виявлення відсутніх, перевірку підготовленості до заняття).

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, що виникли у студентів при виконанні домашніх задач.

Задача 1. Три прямі, які проходять через одну точку, перетинають дану $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps1.jpg$ площину в точках А, В, С, а паралельну їй площину – в точках A_1,B_1,C₁. Доведіть подібність трикутників АВС і A₁B₁C_1.

Розв’язання.

Нехай М – точка, через яку проходять дані прямі. Проведемо через ці прямі площини (АМС), (АМВ) і (ВМС). Оскільки площина (АВС) паралельна площині (A₁B₁C₁), то АВǁ A₁B_1, АСǁA₁C_{1 ,} ВСǁ B₁C₁

Згідно з властивістю паралельних площин, які перетинає третя площина.

Тоді ΔАВМ $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps2.jpg$ Δ A₁B₁М, ΔАСМ $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps3.jpg$ Δ A₁С₁М, ΔВСМ $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps4.jpg$ Δ В₁С₁М.

З подібності трикутників маємо пропорції:

АВ : A₁В₁= АМ : A₁М, АС : A₁С₁= АМ : A₁М, ВС : В₁С₁= СМ : С₁М,

ВС : В₁С₁= ВМ : В₁М, АВ : A₁В₁= ВМ : В₁М, АС : A₁С₁= СМ : С₁М.

Звідси:

АВ : A₁В₁= АС : A₁С_{1 ,}ВС : В₁С₁= АС : A₁С₁_,АВ : A₁В₁= ВС : В₁С₁

або _,АВ : A₁В₁= ВС : В₁С₁ = АС : A₁С₁.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps6.jpg$ Таким чином, ΔАВС $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps5.jpg$ Δ A₁B₁С₁ (за трьома пропорційними сторонами), що і треба було довести.

Задача 2. Площина α паралельна прямій АС, перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВС відповідно в точках М і К. Знайдіть довжину відрізка МК, якщо АС||α, ВМ = 6 м, АМ = 8 м, АС = 10м.

Розв’язання.

Оскільки АС||α, і АС ϵ (АВС), то площина (АВС) перетинає площину α по прямій МК. За властивістю прямої та площини паралельних між собою

МК || АС.

Розглянемо ΔМВК і ΔАВС.

˂В - спільний; ˂ВМК= ˂ВАС як відповідні при МК || АС і січній АВ. Отже, ΔМВК $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps7.jpg$ ΔАВС за двома кутами.

З подібності трикутників маємо

МК : АС = ВМ : АВ; АВ = АМ + МВ = 8 + 6 = 14 см.

МК : 10 = 6 : 14; МК = 10 × 6 : 14 = 30/7 = 4 2/7 см.

Відповідь. 4 2/7 см.

ІІІ. Узагальнення і систематизація знань студентів.

Фронтальне опитування.

Які прямі в просторі називаються паралельними?

Відповідь. Дві прямі у просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

Наприклад: а та b паралельні. Паралельність прямих а та b позначається так: $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps8.jpg$ .

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps9.png$

2. Сформулюйте теорему про існування єдиної прямої, паралельної даній прямій.

Відповідь. Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну цій прямій, до того ж тільки одну.

3. Ознака паралельності прямих.

Відповідь. Дві прямі, паралельній третій прямій, паралельні, якщо $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps10.jpg$ , то $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps11.jpg$ .

4. Які прямі називаються мимобіжними?

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps12.png$ Відповідь. Дві прямі називають мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.

Наприклад: а і b мимобіжні.

5. Ознака мимобіжності прямих

Відповідь. Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

6. Що означає: пряма і площина паралельні?

Відповідь. Пряма та площина називаються паралельними,якщо вони не мають спільних точок.

Наприклад: пряма а та площина α паралельні. Паралельність прямої а та площини α позначається так: $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps13.jpg$ .

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps14.png$ 7. Ознака паралельності прямої і площини.

Відповідь. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

8. Які площини називаються паралельними?

Відповідь. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Наприклад: площини α та β паралельні. Паралельність площин α та β позначається так: $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps15.jpg$ .

9. Ознака паралельності площин.

Відповідь. Дві прямі, що перетинаються, однієї площини паралельні відповідно двом прямим другої площини, то ці площини паралельні .

Наприклад: Якщо $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps16.jpg$ , то $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps17.jpg$ .

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps18.png$

10. Сформулюйте теорему про існування єдиної площини, паралельної даній площині.

Відповідь. Через точку, яка не належить даній площині, можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps21.png$ 12. Властивості паралельних площин.

Відповідь.

1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Наприклад: $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps19.jpg$ , γ перетинає α по прямій а, γ перетинає β по прямій b, тоді $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps20.jpg$ .

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps23.png$ 2. Відрізки паралельних прямих, які розташовані між паралельними площинами, рівні.

Наприклад: $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps22.jpg$ , отже, АВ=CD.

13. Яким методом користуються для зображення просторових фігур на площині?

Відповідь. Для зображення просторових фігур на площині користуються методом паралельного проектування.

14. Перелічіть властивості паралельного проектування.

Відповідь.

1). При паралельному проектуванні прямі проектуються в прямі, відрізки – у відрізки.

2). При паралельному проектуванні паралельність відрізків зберігається.

3). При паралельному проектуванні відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається. Середина відрізка при зображенні його на площині теж є серединою.

4). При паралельному проектуванні величина кута і відношення довжин непаралельних відрізків не зберігається.

5). При паралельному проектуванні спільна точка двох фігур є спільною точкою їх проекцій.

ІV. Удосконалення знань і вмінь. Розв’язування задач.

Задача 1. Через кінці відрізка АВ і його середину М проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину в точках А₁, В₁ і М₁. Знайдіть довжину відрізка ММ₁, якщо відрізок АВ перетинає площину і коли:

АА₁=5м, ВВ₁=7м;
АА₁=3,6дм, ВВ₁= 4,8дм;
$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps24.jpg$ АА₁=8,3см, ВВ₁=4,1см.

Розв’язання.

Нехай відрізок АВ перетинає площину в точці О. Оскільки АА₁|| ММ₁|| ВВ₁, можна стверджувати, що відрізки АА₁, ММ₁ і ВВ₁ лежать в одній площині β, яка перетинає площину α по прямій А₁В₁. Накреслимо малюнок у площині β. Сполучимо точки А і В. Продовжимо відрізок ММ_1,до перетину з відрізком АВ₁. Дістанемо точку Д.

За умовою АМ=МВ, отже, згідно з теоремою Фалеса, АД =ДВ₁.

Розглянемо ΔАВВ₁. МВ – середня лінія, яка дорівнює:

МД = 1/2ВВ₁.

Розглянемо Δ АА₁В₁. Очевидно, що М₁Д – середня лінія, яка дорівнює:

М₁Д = 1/2АА₁.

Тоді відрізок ММ₁ дорівнює:

ММ₁ = МД – М₁Д = (ВВ₁ – АА₁)/2.

Очевидно, що АА₁ може бути більшим за ВВ₁ . Отже, для загального випадку можна записати:

ММ₁= │АА₁– ВВ₁│ : 2.

Обчислюємо довжину відрізка ММ₁:

ММ₁= │5-7│ : 2 = 1(м).

ММ₁= │3,6– 4,8│ : 2 = 0,6 (дм).
ММ₁=│8,3 – 4,1│ : 2 = 2,1 (см).

Задача 2. Дано трикутник АВС. Площина α паралельна прямій АС, перетинає сторону АВ цього трикутника в точці А₁, а сторону СВ - в точці С₁. Знайдіть довжину відрізка А₁С₁, якщо:

АС = 15 см, АА₁ : АВ = 2 : 3;
АС = 8 см, АА₁: А₁В = 5 : 3;
ВС₁ = 10 см, АС : СВ = 4 : 5.

Розв’язання.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps25.jpg$ Нехай площина α паралельна прямій АС і перетинає площину (АВС) по прямій А₁С_1.Прямі АС і А₁С₁ лежать в одній площині (АВС) і не мають спільних точок. Отже, за означенням, АС || А₁С_1.

ΔАВС $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps26.jpg$ Δ A₁B₁С₁, оскільки пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає подібний трикутник. Знайдемо довжину відрізка А₁С₁для кожного з трьох випадків.

АС = 15 см, АА₁ : АВ = 2 : 3.

Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді АА₁= 2х см, АВ = 3х см,

А₁В = 3х - 2х = х см.

З подібності трикутників:

АС : A₁С₁ = АВ : А₁В, або АС : A₁С₁= 3х : х = 3 : 1, звідки

A₁С₁= АС : 3 = 15 : 3 = 5 (см).

A₁С₁= 5 см.

Відповідь. 5 см.

АС = 8 см, АА₁ : А₁В = 5 : 3.

Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді АА₁= 5х см, А₁В = 3х см,

АВ = 5х + 3х = 8х см.

З подібності трикутників:

АС : A₁С₁ = АВ : А₁В, або АС : A₁С₁= 8х : 3х = 8 : 3, звідки

A₁С₁= АС · 3 : 8 = 8 · 3 : 8 = 3 (см).

A₁С₁= 3 см.

Відповідь. 3 см.

ВС₁ = 10 см, АС : СВ = 4 : 5.

Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді АС= 4х см, СВ = 5х см.

З подібності трикутників випливає:

АС : СВ = А₁С₁ : ВС₁, або АС : СВ= 4х : 5х = 4 : 5, звідки

A₁С₁= ВС₁ · 4 : 5 = 10 · 4 : 5 = 8 (см).

A₁С₁= 8 см.

Відповідь. 8 см.

Задача 3. Площина α, паралельна основі трапеції, перетинає її бічні сторони АВ і СD у точках К і М відповідно. Знайдіть КМ, якщо АD = 7 см, ВС = 3 см, а АК = ВК.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps27.jpg$ Розв’язання.

Оскільки α || AD і AD ϵ (АВСD), то α ⋂ (АBCD) = KM, BC || AD. за властивістю прямої і площини паралельних між собою.

(Якщо площина проходить через пряму, паралельну другій площині, і перетинається з цією площиною, то пряма їх перетину паралельна даній прямій.)

АBCD – трапеція, то BC || AD. BC і AD – основи. Так як КМ || AD, то

КМ || ВС.

Оскільки BK =АK, то за теоремою Фалеса СМ=МD.

(Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на іншій його стороні.)

Отже, КМ – середня лінія трапеції АВСD.

КМ = (ВС + АD) : 2 = (3 + 7) : 2 = 5 см.

Відповідь. 5 см.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps28.png$ Задача 4. Через кінець А відрізка АD проведено площину. Через кінець D і точку В цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках К і L. Знайдіть довжину відрізка DL, якщо:

ВК = 15 см, АВ : ВD = 2 : 3;
ВК = 8,1 см, АD : АВ = 11 : 9;
АD = 6 см, АВ : ВК = 2 : 5.

Розв’язання.

Через паралельні прямі DL і ВК можна провести площину β, яка перетне площину α по прямій АL. Очевидно, що відрізок АD належить площині β. Розглянемо ΔАDL і ΔАВК, які належать площині β. ΔАDL $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps29.jpg$ ΔАВК (оскільки DL || ВК за умовою).

ВК = 15 см, АВ : ВD = 2 : 3.

Оскільки ΔАDL $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps30.jpg$ ΔАВК, то DL : ВК = АD : АВ.

Нехай х – коефіцієнт пропорційності. Тоді АВ = 2х см, ВD = 3х см. Отже, АD = АВ + ВD = 2х + 3х = 5х см. Одержуємо пропорцію:

DL : ВК = 5х : 2х або DL : ВК = 5 : 2, звідки DL = 5 · ВК : 2 =

5 · 15 : 2 = 37,5 см.

Відповідь. 37,5 см.

ВК = 8,1 см, АD : АВ = 11 : 9.

Нехай х – коефіцієнт пропорційності. Тоді АD = 11х см, АВ = 9х см. З подібності трикутників випливає пропорція:

DL : ВК = АD : АВ або DL : ВК = 11х : 9х, отже, DL : ВК = 11 : 9;

DL = 11 · ВК : 9 = 11 · 8,1 : 9 = 9,9 см.

DL = 9,9 см.

Відповідь. 9,9 см.

АD = 6 см, АВ : ВК = 2 : 5.

Нехай х – коефіцієнт пропорційності. Тоді АВ = 2х см, ВК = 5х см.

DL : ВК = АD : АВ або DL : 5х = АD : 2х, звідси

DL = 5х · АD : 2х = 5 · 6 : 2 = 15 см.

DL = 15 см.

Відповідь. 15 см.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps31.jpg$ Задача 5. Через точку М, яка лежить поза паралельними площинами α і β проведено прямі а і b, що перетинають площину α в точках А₁ і А₂, а площину β в точках В₁ і В₂ відповідно. Знайдіть А₁А₂, якщо:

А₁М = 2 см, А₁В₁ = 6 см, В₁В₂ = 10см;
А₁М : В₁М = 1 : 3, В₁В₂ = 9 см;
А₂М : А₁В₁ = 2 : 3, В₁В₂ = 10см;
А₁М = 2 м, В₁В₂ = 8 м, МВ₁= А₁А₂ .

Розв’язання.

Оскільки а ∩ b = М, то через них можна провести площину (В₁МВ₂) згідно аксіоми стереометрії.

( Якщо дві різні прямі перетинаються, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну).

За властивістю паралельних площин площина (В₁МВ₂) перетинає паралельні площини α і β по паралельних прямих А₁А₂ і В₁В₂.

(Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі

перетину паралельні).

Розглянемо ΔА₁МА₂ і ΔВ₁МВ₂. <М – спільний; <МА₁А₂ = <МВ₁В₂ як відповідні при А₁А₂ || В₁В₂ і січній а. Отже, ΔА₁МА₂ $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps32.jpg$ ΔВ₁МВ₂ за двома кутами.

(Ознака подібності трикутників. Два трикутники подібні: якщо два кути одного відповідно дорівнюють двом кутам другого).

Якщо трикутники подібні, то їх сторони пропорційні. З подібності трикутників маємо:

А₁М = 2 см, А₁В₁ = 6 см, В₁В₂ = 10см.

А₁А₂ : В₁В₂ = А₁М : В₁М;

В₁М = А₁М + А₁В₁= 2 + 6 = 8 см.

А₁А₂ : 10 = 2 : 8; А₁А₂ = 2 · 10 : 8 = 2,5 см.

Відповідь. 2,5 см.

А₁М : В₁М = 1 : 3, В₁В₂ = 9 см.

А₁А₂ : В₁В₂ = А₁М : В₁М;

А₁А₂ : 9 = 1 : 3; А₁А₂ = 1 · 9 : 3 = 3 см.

Відповідь. 3 см.

А₂М : А₁В₁ = 2 : 3, В₁В₂ = 10см.

А₁А₂ : В₁В₂ = А₂М : В₂М;

Нехай х – коефіцієнт пропорційності.

Тоді А₂М = 2х см, А₂В₂ = 3х см.

В₂М = А₂М + А₂В₂= 2х + 3х = 5х см.

А₁А₂ : 10 = 2х : 5х; А₁А₂ = 10 · 2х : 5х = 4 см.

Відповідь. 4 см.

А₁М = 2 м, В₁В₂ = 8 м, МВ₁= А₁А₂ .

А₁А₂ : В₁В₂ = А₁М : МВ₁;

МВ₁= А₁А₂ = х см;

х : 8 = 2 : х, х² = 2 · 8 = 16 м²; х = 4 м. Отже, А₁А₂ = 4 м.

Відповідь. 4 м.

$C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps33.jpg$ Задача 6. Точка О лежить між паралельними площинами α і β. Через точку О проведено прямі а і b, що перетинають площину α в точках А і В, а площину β в точках А₁ і В₁ відповідно. Знайдіть АВ, якщо:

АО = 2 см, А₁О = 5 см, А₁В₁ = 15 см;
АО : А₁О = 2 : 3, А₁В₁ = 9 см;
АО = 1 см, А₁В₁ = 6 см, АА₁ = АВ;
АО = 3 см, А₁В₁ = 12 см, А₁О = АВ.

Розв’язання.

Оскільки а ∩ b = О, то через них можна провести площину (В₁АВА₁) згідно аксіоми стереометрії.

( Якщо дві різні прямі перетинаються, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну).

За властивістю паралельних площин площина (В₁АВА₁) перетинає паралельні площини α і β по паралельних прямих АВ і А₁В₁.

(Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні).

Розглянемо ΔАОВ і ΔА₁ОВ₁. <АОВ = <А₁ОВ₁ як вертикальні;

<ВАО = <В₁А₁О як внутрішні різносторонні при АВ || А₁В₁ і січній а. Отже, ΔАОВ $C:\Users\Student\AppData\Local\Temp\ksohtml5204\wps34.jpg$ ΔА₁ОВ₁за двома кутами.

Якщо трикутники подібні, то їх сторони пропорційні. З подібності трикутників маємо:

АО = 2 см, А₁О = 5 см, А₁В₁ = 15 см;

АВ : А₁В₁ = АО : А₁О; АВ = А₁В₁ · АО : А₁О;

АВ = 15 · 2 : 5 = 6 см.

Відповідь. 6 см.

АО : А₁О = 2 : 3, А₁В₁ = 9 см;

Нехай х – коефіцієнт пропорційності.

Тоді АО = 2х см, А₁О = 3х см.

АВ : А₁В₁ = АО : А₁О; АВ = А₁В₁ · АО : А₁О;

АВ = 9 · 2х : 3х = 6 см.

Відповідь. 6 см.

АО = 1 см, А₁В₁ = 6 см, АА₁ = АВ.

АА₁ = АВ = х см. Тоді А₁О = АВ – АО = х – 1 см.

АВ : А₁В₁ = АО : А₁О;

х : 6 = 1 : (х – 1); х · (х – 1) = 6; х² – х – 6 = 0;

D = (-1)² – 4 · (-6) = 25; √D = √25 = 5;

х₁ = (1 – 5) : 2 = -2 (не задовольняє умови задачі).

х₂ = (1 + 5) : 2 = 3. Отже, АВ = 3 см.

Відповідь. 3 см.

АО = 3 см, А₁В₁ = 12 см, А₁О = АВ.

А₁О = АВ = х см.

АВ : А₁В₁ = АО : А₁О;

х : 12 = 3 : х; х² = 12 · 3; х² = 36;

х = 6. Отже, АВ = 6 см.

Відповідь. 6 см.

V. Застосування знань і вмінь.

Самостійна робота.

Варіант 1.

Пряма l перетинає площину трикутника АВС у точці В. Назвіть пряму, що мимобіжна з l і містить сторону трикутника.

А. АВ. Б. АС. В. ВС. Г. Такої прямої не існує.

Скільки прямих , паралельних даній, можна провести через точку простору, що не належить даній прямій.

А. Одну. Б. Дві. В. Жодної. Г. Безліч.

3) Сторона АС трикутника АВС лежить у площині α. Через середину ВА – точку М, проведено площину β, паралельну площині α, що перетинає ВС у точці К. Знайдіть МК, якщо АС = 10 см.

4) АВСД – паралелограм. Площина α проходить через його вершини А, В і не

проходить через вершину С. Доведіть СД || α.

Варіант 2.

Точка D не лежить у площині трикутника АВС. Назвіть пряму, що мимобіжна з прямою DС і містить сторону трикутника.

А. АВ. Б. ВС. В. АС. Г. Такої прямої не існує.

2) Скільки прямих, що не перетинають дану пряму, можна провести через точку простору, що не належить даній прямій?

А. Одну. Б. Дві. В. Жодної. Г. Безліч.

3) Сторона АD трикутника АВС лежить у площині β. Через середину АC – точку P, проведено площину α, паралельну площині β, що перетинає ВС у точці M. Знайдіть АВ, якщо РМ = 14 см.

4) Доведіть, що якщо площина перетинає площину трапеції по прямій, що містить її середню лінію, то вона паралельна основам трапеції.

Відповіді

Варіант 1. 1) Б. 2) А. 3) 5 см. Варіант 2. 1) А. 2) Г. 3) 28 см.

VІ. Підсумок заняття.

Поглибили знання про паралельність прямих і площин у просторі та ознайомились із їх широким застосуванням.

Заняття наше закінчується, але незалежно від вашого бажання у повсякденному житті ви стикнетеся з паралельними прямими і площинами, навіть не усвідомлюючи цього (відеофільм «Паралельні прямі і площини»).

VІІ. Домашнє завдання.

За підручником повторити Р.3 §§ 19 – 26.

Розв’язати вправи №961, №962, №969.

Середня оцінка розробки

Структурованість

5.0

Оригінальність викладу

5.0

Відповідність темі

5.0

Загальна:

5.0

Всього відгуків: 1

Оцінки та відгуки

ShamTM 13.10.2025 в 16:18

Загальна:

5.0

Структурованість

5.0

Оригінальність викладу

5.0

Відповідність темі

5.0

docx

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Оліярник Лариса Степанівна

Пов’язані теми

Геометрія, 10 клас, Розробки уроків

Додано

19 червня 2025

Переглядів

349

Оцінка розробки

5.0 (1 відгук)