Урок "Правильна піраміда. Формула для обчислення площі бічної поверхні піраміди"

Тема уроку: Правильна піраміда. Формула для обчислення площі бічної поверхні піраміди.

Мета:

• повторити, привести в систему й розширити відомості про піраміди;
• формувати вміння знаходити невідомі елементи, площу поверхні піраміди;
• розвивати просторову уяву, культуру математичного мовлення, пізнавального інтересу через творчу активність;
• розвити емоційно – сприятливе відношення до вивчення геометрії;
• виховувати вольові якості, цілеспрямованість;

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: комп’ютер, проектор, екран, презентація, моделі піраміди, модель молекули метану, інструктивні картки, креслярський набір,

Вимоги до рівня підготовки учнів:

• пояснюють, що таке піраміда та її елементи;
• зображають і знаходять на рисунку піраміду;
• знають з яких елементів складається піраміда, дають означення їм;
• застосовують вивчений матеріал до розв'язування задач, у тому числі прикладного змісту.

Очікувані результати.

Учень:

• розпізнає піраміди та їх елементи;
• формулює означення піраміди;
• обґрунтовує властивості піраміди, формули для обчислення площі бічної та повної поверхонь піраміди;
• обчислює основні елементи піраміди;
• використовує вивчені формули і властивості для розв’язування нескладних задач.

Не роби ніколи того, що не знаєш.
Але вчись усьому, що потрібно знати.

Піфагор

I. Організаційний момент.

Привітання з учнями. Налаштування учнів на роботу.

Учитель: Усміхніться один одному, подумки побажайте успіхів на цілий день. Для того, щоб впоратися на уроці з завданнями, будьте старанними і уважними. Завдання наші такі: (Слайд 2)

Не просто слухати, а чути.

Не просто дивитися, а бачити.

Не просто відповідати, а міркувати.

Дружно і плідно працювати.

 

II. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком учні консультанти перевіряють наявність та правильність виконання домашнього завдання і повідомляють про роботу на уроці.

 

III. Мотивація навчальної діяльності.

Учитель: У когось слово піраміда асоціюється з єгипетськими пірамідами, але монументальні споруди створені руками людини зустрічаються і в Центральній Америці, на острові Тенериф, на фоні Гімалайського хребта виділяється пірамідальне утворення, створене природою. Пірамідальна форма широко використовується в архітектурі.

Але ми з вами розглядаємо піраміду з математичної точки зору. Тож що ми знаємо про піраміду? Щоб дати відповідь на це запитання пропоную вам виконати наступну вправу. (Слайд 3-4)

 

Вершина, паралелепіпед, грань, основа, призма, трикутник, висота, сторона, ребро, радіус, двогранний кут, правильний многокутник.

Молодці. Добре справились з завданням.

А чому ви віднесли правильні многокутники до теми піраміда ?

Учні дають відповіді  (тому що правильні многокутники можуть бути як бічними гранями піраміди так і її основою).

 

ІІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

Учитель: Саме так. Правильні многокутники можуть бути як бічними гранями піраміди так і її основою. А піраміда в основі якої лежить правильний многокутник називається правильною пірамідою. Тому тема нашого сьогоднішнього уроку: «Правильна піраміда. Формула для обчислення площі бічної поверхні піраміди». Запишемо тему в зошити. (Слайд 5)

Мета нашого уроку наступна: (Слайд 6)

• повторити та привести в систему й розширити відомості про піраміди;
• формувати вміння знаходити невідомі елементи, площі поверхні;
• розвивати просторову уяву, культуру математичного мовлення, пізнавального інтересу через творчу активність;
• розвити емоційно – сприятливе відношення до вивчення геометрії;
• виховувати вольові якості, цілеспрямованість;

 

Піраміди здавна є одним із семи чудес світу.

Араби склали приказку: «Все на світі боїться часу, але час боїться пірамід» (Слайд 7). Отже, ми відправляємося у подорож цікавим світом математики, де існують загадкові піраміди. Дороговказом нам стануть слова найвідомішого вченого давніх віків – Піфагора: Не роби ніколи того, що не знаєш. Але вчись усьому, що потрібно знати (Слайд 8).

Давайте на хвилину зробимо екскурс в історію пірамід.

Перед класом повідомлення читає учень, перевдягнений у давньогрецького математика Піфагора.

 

 

Екскурс в історію пірамід

У німій далечі застигли піраміди фараонів, величні, як вічність, мовчазні, немов смерть.

Все на світі боїться часу, а час боїться пірамід. Вони підносяться серед гарячих пісків Лівійської пустелі і тягнуться на десятки кілометрів; від сучасного Каїрадо Фаюмського каналу. До нашого часу збереглося близько сімдесяти цих величних споруд. Колись їх було більше, але деякі зруйнував всевладний час, інші засипав пісок, що насунувся з пустелі.

Найвідоміші піраміди: Хеопса, Хефрена, Мікеріна. Найбільша з них – велика піраміда Хеопса, збудована в XXVI ст. до н. е. Висота її 147 метрів, а площа основи близько 55 000 квадратних метрів. Згідно з легендами, піраміда служила фараонам тією драбиною, якою вони сходили на небо. Із семи відомих історії чудес світу, що не кажіть, а піраміди залишаються дивом № 1.

Уже давно висохли і розсипалися в прах висячі сади Семіраміди, та  від Вавилона, який вони прикрашали, лишилися одні уламки. Гола площина з потрощеним камінням видніє нині на місці, де стояла колись оселя богині зміїв – храм Артеміди  в Ефесі. Тут, на Малоазіатському узбережжі, де гомоніла Гомерові Троя, було ще одне диво – пам'ятник великому коханню – мавзолей у Галікарнасі. Землетрус повалив на землю Колоса – величну статую променистого бога Геліоса, що зустрічав усі кораблі біля гавані на острові Родосі Безслідно зникла перевезена з Олімпії до Константинополя статуя Зевса, створена геніальним Фідієм. І підвалин найвищого в світі Александрійського маяка вже не знайти. Лише тут, де Ніл братається з морем, на плато Піза стоять руді, як гарячий пісок Сахари, гранчасті гостроверхі пагорби. Воістину, як мовить арабське прислів'я, все боїться часу, а час боїться пірамід».

 

Учитель: Ці грандіозні споруди захоплювали не тільки археологів та істориків, але і звичайних людей. Ніхто не міг залишитись байдужим до їх величі, енергетичного впливу на людину (Слайд 9).

Не залишились байдужими і наші земляки.

Два архітектурних дива на Полтавщині, дві з трьох українських пірамід-усипальниць як віддзеркалення ставлення в Україні до пам’яток архітектури. Як два кінці однієї палиці.

Піраміду у Березовій Рудці (Пирятинський район) збудував зять Петра Столипіна, колишній посол Російської Імперії у Єгипті Ігнатій Закревський у 1898 – 1899 рр. Тому по поверненню додому вирішив спорудити каплицю над могилами батьків у вигляді піраміди (висота – 9 м).

Іншу полтавську піраміду у селі Комендантівка (Кобеляцький район) спорудили двома десятками років раніше. Офіцер російського флоту Олександр Білевич (Белевич), побувавши на початку 1860 – х років у Єгипті, також був вражений величчю пірамід у Гізі, та вирішив збудувати щось подібне у себе.

Тож і ми, розглядаючи піраміду як геометричну фігуру, не забуваймо, що за нею стоїть велич віків та могутність сьогодення.

 

IV. Виклад нового матеріалу.

Перед початком викладу матеріалу потрібно звернути увагу учнів на те, що на уроці буде розглядатись правильна піраміда, в основі якої лежи рівносторонній трикутник. Всі означення справджуються і для правильних пірамід в основі яких лежать правильні n-кутники.

Викладаючи новий матеріал доцільно проводити не лекцію, а давати учням можливість висловити свою думку, а потім вчитель формулює означення.

Означення. (Слайд 10-11)

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник (ABC), а його центр (т. О) збігається з основою висоти піраміди.

Усі бічні ребра правильної піраміди рівні (FA=FB=FC) та всі ребра при основі рівні (AB=BC=AC). Усі бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Означення.

Висоту бічної грані (FD) правильної піраміди, проведену з її вершини, називають апофемою піраміди.

Зверніть увагу!

Неправильні піраміди апофеми не мають.

Піраміда у якої всі бічні грані є правильні трикутники називається тетраедром.

Бічна поверхня піраміди складається з усіх бічних граней.

Теорема.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему піраміди.

Площа поверхні піраміди дорівнює сумі площі її бічної поверхні та площі основи.

V. Формування вмінь та навичок.

Виступ групи «Теоретики» (Слайд 12)

Однією з найвідоміших пірамід світу є єгипетська піраміда Хеопса. Яка вважається одним із семи чудес світу. За словами Геродота  площа основи є квадрат 233 х 233 м.

Давайте знайдемо висоту піраміди Хеопса, якщо відомо, що бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом, тангенс якого дорівнює 1,26.

 

Дано: SABCD – піраміда,

 ABCD – квадрат,

 а = 233 м,

 tg β = 1,26

Знайти: висоту піраміди

Розв’язання:

Кут нахилу бічної грані до площини основи – це кут між двома перпендикулярами, опущеними на спільне ребро.

Розглянемо SOМ. За означенням тангенса знайдемо висоту

1. SМ СD, ОМСD, (О – точка перетину діагоналей)

2.  SOМ:    SO : ОМ = tg β

ОМ = ½ а = ½ · 233 = 116,5 (м)

SO = 116,5 · 1,26 = 147 (м)

Відповідь: висота піраміди 147 м

Виступ групи «Дослідники»

Існує думка про те, що єгиптяни використовували піраміди у якості обсерваторій. Збереглися цікаві математичні і геометричні закономірності, пов’язані з єгипетськими пірамідами:

1) Полярний діаметр Землі  = 12 713 560 м. Земна доба = 24 години = 86 400 секунд. Якщо розділити діаметр в метрах на кількість секунд в добі, отримаємо... 147 м. Це висота піраміди Хеопса.

2) Три піраміди Гізи утворюють трикутник Піфагора (сторони їх основ знаходяться у відношенні 3:4:5).

Учитель: Безумовно, про єгипетські піраміди можна говорити неперервно, та повернімося до математичної точки зору на піраміди. І розв’яжемо задачі усно за готовими малюнками.

 

Виконання завдання усно за готовим малюнком. (Слайд 13-14)

Задача №1

Дано:

DАВС – правильна піраміда,

АВ=3; AD= .

Знайти:

а) S_осн;

б) АО;

в) DO .

Розв’язання:

а) (використовується формула для обчислення площі правильного трикутника)

АВ =а= 3,   маємо                        

б) (формула радіуса описаного кола через сторону правильного трикутника)

в) (за теоремою Піфагора)

   

Відповідь: а) , б) , в) 3.

Задача №2

Дано: (Слайд 15-16)

FABCD – правильна піраміда         

Знайти:

а) BD;   б) AD;   в) S_осн.

Розв'язання:

а) Розглянемо FOC, О = 90°, тому F =45°, тому FOC- рівнобедрений, ОС = FО = 2.

б) АС = 2ОС = 4. d = АС = ВD   (за вл. діагоналей квадрата d² = 2а²), тоді                 

в) АВСD – квадрат (піраміда правильна).

 

Відповідь: а) 4, б) , в) 8.

 

Практична робота (Слайд 17)

У кожної групи учнів на столі стоять правильні піраміди. Їм пропонується знайти площу бічної поверхні піраміди, попередньо зробивши потрібні виміри.

 

Робота в групах (Слайд 18)

Кожна група учнів виконує з підручника одну дужку № 802 (а – г). Учитель контролює розв’язання. Після виконання вправ учні на дошці будують малюнок, представляють свої розв’язки.

№ 802

Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піра­міди, якщо:

І група

1. сторона основи дорівнює а, а двогранний кут при ребрі основи α;

ІІ група

2. висота піраміди дорівнює h, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°;

ІІІ група

3. бічне ребро дорівнює b та утворює з площиною основи кут β;

IV група

4. відстань від основи висоти до бічної грані дорівнює d, а двогранний кут при ребрі основи α.

 

Задача з хімії. (Робота на дошці) (Слайд 19-20)

Дано молекула метану (СН₄), яка має форму тетраедра. Відстань між атомами гідрогену (водню) = а, а відстань від атома карбону (вуглецю) до площини, в якій знаходяться три атоми гідрогену становить . Знайти кут між зв’язками атомів Н-С-Н.

 

Молодці! Ви гарно працювали сьогодні на уроці.

 

VI. Підсумок уроку. Виставлення оцінок.

А зараз давайте підсумуємо те, що ми вивчили і виконаємо тренувальні вправи тестового змісту.

Метод «Чотири ЩО?» (Слайд 21)

1. Що ви дізналися, навчилися на уроці?
2. Що сподобалося найбільше?
3. Що було найскладнішим?
4. Що треба ще вивчити?

 

Після підсумку доцільно найактивніших учнів оцінити вербально за роботу на уроці. Також потрібно наголосити на тому, що ми продовжимо працювати над даною темою на наступному уроці.

 

VIІ. Домашнє завдання (Слайд 22)

Опрацювати Розділ 2: § 22 (ст. 152 – 154)

Учні, які ще не досить впевнені в своїх знаннях виконують

№ 803 (а – б) та № 805

Якщо ви вважаєте, що засвоїли даний матеріал на високому рівні виконує

Опрацювати доведення теореми про площу бічної поверхні правильної піраміди самостійно (ст. 153)

№ 803 (г) та № 830

 

VIІІ. Рефлексія (Слайд 23-25)

Піраміда, яку ми досконало розглядаємо в математиці, не може залишити байдужими і інші сфери життя. Напевно, ви вже всі замислюєтесь над вибором майбутньої професії. І ким би ви не стали: архітектором, будівельником,  дизайнером чи скульптором, лікарем чи економістом піраміди будуть супроводжувати вас.

На картинках: (за годинниковою стрілкою) (Слайд 23)

Піраміда  Лувра, Париж, Франція

Трансамериканська піраміда, Сан-Франциско, США

Готель Луксор, Лас-Вегас, Невада США

(Слайд 24)

Перевернута піраміда, Братиславі, Словаччина

Будинок миру, Астана, Казахстан

Готель Рюген, Пхеньян, Північна Корея

Піраміда  Лувра, Париж, Франція

(Слайд 25)

Бурдж-Каліфа, Дубай, Об'єднані Арабські Емірати

Пам’ятник Т.Г.Шевченку у формі піраміди, Полтава, Україна

Десь у Вінницькій області у формі зрізаної піраміди складають снопи соломи. Але з нею ви познайомитесь на наступних уроках. :)))

 

Учитель: (Слайд 26)

У світі  є багато таємниць.

І не завжди їх легко відгадати.

Математика – це та з наук,

Яка буде вам  допомагати.

 

Світ – прекрасний  і  потрібно вам

Все пізнати та все розрахувати.

Математика – це той заряд,

Що допомагає працювати !

 

Дякую за співпрацю! (Слайд 27)