Урок "Розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь і нерівностей".

Заняття  №29

Тема уроку:   Розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь  і нерівностей.

Мета уроку:   Систематизувати знання студентів про методи розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь  і нерівностей. Продовжити формування   компетентностей:

•          предметна компетентність:

сприяти узагальненню і систематизації матеріалу з теми «Показникова і логарифмічна функція, рівняння і нерівності», розвивати вміння узагальнювати, мислити логічно, робити висновки, чітко висловлювати свою думку, відтворити вміння розв’язувати завдання із даної теми;

•          ключові компетентності:

- математична компетентність – розв’язувати показникові та логарифмічні рівняння та  нерівності, аналізувати особливості показникових та логарифмічних функцій, інтерпретувати та оцінювати результати;

- спілкування державною мовою – доречно та коректно вживати математичну термінологію, поповнювати свій словниковий запас, робити висновки на основі отриманої інформації, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку;

- інформаційно – цифрова компетентність – структурувати дані, визначати достатність даних для розв’язування завдань;

- соціальна та громадянська компетентності – співпрацювати у команді, виділяти та виконувати власну роль у командній роботі ;

- уміння вчитися впродовж життя – визначати мету навчальної діяльності, відбирати і застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення мети;

- ініціативність і підприємливість – генерувати нові шляхи розв’язання поставлених проблем, ухвалювати оптимальні рішення,  аргументувати свою позицію.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань, умінь, навичок

Обладнання: підручник, роздатковий матеріал

Хід уроку

І. Мотивація навчальної діяльності студентів, повідомлення теми, мети і завдань заняття

На попередньому занятті ми закінчили вивчати поняття показникових і логарифмічних функцій, рівнянь і нерівностей. А сьогодні систематизуємо і узагальнимо знання по даній темі.

Знання про показникові функції, рівняння і нерівності потрібні не лише для розв’язування вправ, їх використовують протягом багатьох  років  у різних сферах діяльності. Так,  наприклад:

Логарифмічна функція.

- К. Ціолковський вивів формулу для розрахунку абсолютної швидкості, якої досягає ракета, коли з неї витече все паливо.

- Будова слухового апарату людини відповідає властивостям цієї функції. Тому діапазон, що сприймає вухо, низький – від шелесту листя до гуркоту грому.

- Під час наповнення ставків необхідно враховувати кількість води, що прибуватиме в період повені. Розрахунки проводяться саме за допомогою цієї функції.

- Якщо вас цікавить закон зміни роботи газу і закон зміни сили відчуття від сили збудження; закон зміни тиску від зміни висоти; тривалість хімічної реакції, зверніться до логарифмічної функції.               Саме вона допоможе вам дізнатися багато цікавого навколо нас!!!

 Логарифмічні рівняння і нерівності.

 Логарифмічне рівняння, тобто рівняння, яке містить змінну під знаком логарифма.

 Розв’язуючи  його потрібно  пам’ятати, що область визначення логарифмічної функції – додатні числа, що   розглядають для а>0, а≠1.

 Розв’язуючи його потрібно пам’ятати про методи розв’язування логарифмічних рівнянь: за означенням логарифму, за властивостями, введення нової змінної, логарифмування та графічний.

 Саме ці методи  використовуються і  розв’язуючи логарифмічну нерівність. Але неможна забувати про область допустимих значень нерівності та про те, що при а>1 функція у=log_{_а} х  зростає, а при 0<а<1 – спадає.

Логарифми широка використовуються у повсякденному житті. Логарифми проникають і в галузь психології. Досліди показали, що організм людини ніби “логарифмує”  отримані ним подразнення, тобто величина відчуття приблизно пропорційна десятковому логарифму величини подразнення.

В астрономії гучність шуму й яскравість зірок оцінюється однаковим чином за  логарифмічною шкалою.  «Величина» зірки  являє собою  логарифм її фізичної яскравості. Гучність виражена в белах дорівнює десятковому логарифму відповідної фізичної величини. За логарифмічною спіраллю  закручено багато галактик, у тому числі і Сонячна система.

Раковини багатьох молюсків, равликів, а також роги таких ссавців як архари (гірські кози), закручені за логарифмічною спіраллю. Можна сказати, що ця спіраль є математичним символом відношення форм росту.

 Великий німецький поет Іоганн Вольфганг Гете вважав її математичним символом життя й духовного розвитку. У соняшника зернята розташовані також за дугами, близькими до логарифмічної спіралі. Один з найбільш поширених павуків, епейра, сплітаючи павутину, закручує нитки навколо центра за логарифмічною спіраллю.

3. Показникові рівняння і нерівності.

- Вони допоможуть математикам розширити область визначення показника степеня.

- За їх допомогою було узагальнено поняття степеня.

- за їх допомогою Леонард Ейлер відкрив показникові і логарифмічні кількості.

- Якщо ви хочете пов’язати своє життя з наукою, то вивчайте показникові рівняння і нерівності та методи їх розв’язання. Наприклад:

- Вам потрібно дізнатися про радіоактивний розпад?

- Ви хочете розрахувати приріст деревини?

- Вам потрібно визначити зміну атмосферного тиску?

- Тоді вам до показникових рівнянь і нерівностей!!!

- Вони допоможуть вам  разв’язати багато практичних проблем

4. Показникова функція.

- Допомогла людям описати такі процеси, як радіоактивний розпад, розмноження бактерій, утворення нейтронів у ланцюговій реакції, інформаційний бум.

- Без неї не були б розв’язані задачі на зміну атмосферного тиску, приріст деревини.

- І навіть сума вашого внеску до банку підлягає закону, який описує ця функція.

Отож, тема нашого уроку «Показникові та логарифмічні функції. Розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь  і нерівностей».

Епіграф заняття

«Знання збільшуються, а вміння вдосконалюються, коли ними ділишся!»

Оноре де Бальзак

ІІ. Відтворення і корекція опорних знань

1. Знайди правильну відповідь.

1. Функція у = 9^х називається:

А) показниковою

Б) логарифмічною

В) степеневою

2. Якщо а > 1, то функція у=25^х  на всій області визначення:

А) стала

Б) зростає

В) спадає

3. Укажіть правильну нерівність:

А) (0,7)⁶ >(0,7)^0,3

Б) ()^0,7  ()^0,9

В) 2 ⁸ > 2⁶

4. Функція у=(6х²+9)⁵   називається:

А) показниковою

Б) лінійною

В) степеневою

5. Функція у =    називається:

А) тригонометричною

Б) логарифмічною

В) степеневою 

6. Яка з наведених рівностей є основною логарифмічною тотожністю:

А)

Б)

В) = p

7. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює:

А) добутку логарифмів множників

Б) сумі логарифмів множників

В) різниці логарифмів множників

8. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює:

А) добутку логарифмів множників

Б) сумі логарифмів множників

В) різниці логарифмів діленого і дільника

9. Значення виразу         дорівнює:

А) 22

Б) 18

В) 20

10. Укажіть область визначення функції у=

А) (-3;5)

Б) (- ∞;-3) U (5;+∞)

В) (5;+∞)

К л ю ч

2. Бліц – опитування.

1. Якою є область визначення  показникової функції?

(множина всіх дійсних чисел)

2. Якою є область значень показникової функції?

(область значень показникової функції є всі додатні числа)

3. При якій умові  показникова функція спадає?

(показникові функція спадає, якщо основа лежить в межах від 0 до 1)

4. У якій точці графік показникової функції перетинає вісь ординат?  (0;1)

5. Яким є графік логарифмічної функції по відношенню до графіка показникової функції?

(симетричний йому відносно бісектриси першого координатного кута)

6. При якій умові логарифмічна функція зростає?

(якщо основа логарифма набуває значень, більших за 1)

7. В якій точці графік логарифмічної функції перетинає вісь ординат?

(графік не перетинає вісь ординат, бо під логарифмічний вираз не може бути рівний нулю)

ІІІ. Повторення і аналіз основних фактів, подій, явищ.

3. Знайди відповідність

К л ю ч

4. Знайди помилку

1. На рисунку зображено графік функції у=

(Якщо основа логарифма більша за 1, то графік функції буде зростати).

.

: .

(Якщо основа показникової функції лежить в межах від 0 до 1, то, опускаючи основу, знак нерівності змінюємо на протилежний).

 х              

Відповідь:.

(Не враховано ОДЗ, тоді х є (0;36)).

    х=4.

Відповідь: 4.

(Щоб подати дріб за основою 2, потрібно поставити показник степеня  -4).

5.  .

(Логарифм, у якого основа і під логарифмічний вираз дорівнюють одному і тому самому числу, дорівнює 1, а 1 не може бути меншою за 0).

ІV. Повторення, узагальнення і систематизація понять, засвоєння відповідної системи знань, провідних ідей і основних теорій.

5. Наздожени лідера (індивідуальна робота за рівнями)

а) > 81,

 б) - 8 + 7 =0,

 в) - <15,

г) = ,

д)

 е) ,

Перевір сусіда (студенти обмінюються зошитами,  перевіряють і оцінюють роботу один одного)

а) х є

б) 1 ; 0

в) х є

г) – 2

д) х є

е) 6; - 3

6. Розв’язок біля дошки

Розв’язати рівняння:

,

3^х+3+3^х+4+3^х+5=13 ,

Розв’язати нерівність:

2^х+3+ 10 11^х+2 11^х+3+ 2^х+2,

1+.

V. Підсумок заняття

     7. Показниково – логарифмічний вінегрет

Розділити на 2 колонки способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь

1. За означенням

2. Зведення до спільної основи

3. Приведення рівняння до квадратного

4. За властивостями

5. Введення нової змінної

6. Логарифмування

7. Графічний

8. Зведення до спільного показника

9. Винесення спільного множника за дужки

Перевір себе

8. Заморочки з бочки

1.  Із зазначених функцій назвіть логарифмічні і показникові?

1)  у=4х 2)у=3)у= 

4) у= 5)у==+

(логарифмічна  -  3,  показникова – 4)

5. Обчислити               (-5)

6. Який графік є графіком функції у=                 (г)

VІ. Підведення підсумків уроку.  Домашнє завдання

Нелін Є.П.  «Алгебра», 11 клас

Повторити: §13-§17.

Виконати:    №2 (4- 6)  стор.184,

                      №3 (1, 2)  стор.191,

                      №5 (1, 2)  стор.228.