ТЕМА. Розв’язування задач за допомогою складання рівнянь, що зводяться до квадратних

Вікторія Красавіна, учитель математики РГ ”Гармонія”, м. Рівне

_____________________________________________________________

МЕТА. Узагальнити і систематизувати практичні навички і вміння розв’язувати задачі за допомогою складання квадратних рівнянь або рівнянь, що зводяться до квадратних.

Розвивати творчість, здібності учнів та їх інтерес до математики шляхом розв’язування нестандартних задач.

Виховувати позитивну мотивацію до навчання; сприяти виробленню навичок постановки і досягнення власної мети, заохочувати до самостійної навчальної діяльності.

Показати взаємозв’язок алгебри з іншими науками і різними галузями.

Тип уроку. Урок узагальнення і систематизації вмінь і навичок учнів.

Форма уроку. Урок-семінар з використанням проектної технології.

Епіграф.

  …Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому ( М. П. Єругін).

 

План підготовки до семінару

 

Учні повинні:

1. Знати формули дискримінанта та коренів квадратного рівняння, залежність між значеннями дискримінанта та кількістю коренів квадратного рівняння; формули периметра і площі прямокутника, теорему Піфагора; формулу шляху; 

розуміти поняття: продуктивність праці, об’єм виконуваної роботи, концентрація розчину.

2. Уміти розв’язувати неповні квадратні рівняння; визначати кількість коренів квадратного рівняння, знаходити суму і добуток коренів, використовуючи теореми Вієта, розв’язувати рівняння, які містять змінну у знаменнику дробу, знаходити частину від числа; розв’язувати задачі на рух, сумісну роботу, геометричні задачі, задачі з економіки, на концентрацію розчину.
3. Використовуючи підручники різних авторів, підібрати і розв’язати задачу на одну із тем: а) геометричну; б) на рух; в) на сумісну роботу; г) економічну; д) з хімії; е) стародавні.
4. Виконати асоціативний малюнок до задачі (висвітлення застосування квадратних рівнянь в різних галузях).
5. Кожній сформованій на основі вибраних задач групі розробити картку-підказку для розв’язання задач даного типу.
6. Підготувати презентацію результату роботи групи.

 

Хід уроку

 

I. Організаційний момент. Психологічна хвилинка.

–Любі діти, я рада знову бачити вас на уроці. Сьогодні я прийшла до вас у хорошому настрої і хочу передати його вам, щоб ми плідно працювали.

На уроці ми систематизуємо з вами вміння розв’язувати задачі за допомогою квадратних рівнянь або рівнянь, що зводяться до квадратних. А урок наш буде проходити у формі семінару “Парад задач”.

Тиждень тому були вивішені в кабінеті завдання, які є основними з даної теми, а також нестандартні, в результаті чого утворились групи за типом задач.

 

Зачитується епіграф, завчасно написаний на дошці.

Проблемне питання. Чи тільки в математиці потрібно вміти розв’язувати квадратні рівняння? В яких галузях розв’язання цього питання теж важливе?

 

II. Актуалізація опорних знань.

Самостійна робота у формі тестів на два варіанта.

Варіант I.

1. Яке з рівнянь а-г не має коренів?

а) х² = 36;   б) х²- 10х = 0; в) х²- 4 = 0;  г) х²+ 7 = 0.

2. Скільки коренів має рівняння 2х²- 3х + 4 = 0?

а) один;      б) два;              в) жодного; г) безліч.

3. Корені квадратного рівняння 4х² – 5х + 1 = 0 обчислюються за виразом:

а) х_1,2= ;                         б) х_1,2= ;

в) х_1,2 =   ;                           г) х_1,2= .

4. Сума коренів квадратного рівняння х² + 3х – 10 = 0 дорівнює:

а) 3;              б) 10;                в) –10;        г) –3.

5. Добуток коренів квадратного рівняння 5х² + 13х – 6 = 0 дорівнює:

а) -;             б) ;                в) ;          г) .

6. Коренями рівняння є числа:

а) –1 і 3;       б) –1;       в) 1;             г) 3.

7. Якщо помножити обидві частини рівняння  на спільний знаменник дробів, то одержимо рівняння:

а) 4(х-2)+х+2=х²(х²-4);                 б) 4(х+2)+х-2=х²;

в) 4(х+2)+х-2=х²(х²-4);                 г) 4(х-2)+х+2=х²(х²-4).

Варіант II.

1. Яке з рівнянь а-г не має коренів?

а) х²  + 9х = 0 ;   б) х² - 16 = 0; в) х² + 10 = 0;  г) х² = 20.

2. Скільки коренів має рівняння 3х² + 5х + 4 = 0?

а) один;      б) два;              в) жодного; г) безліч.

3. Корені квадратного рівняння 5х² + 9х - 2 = 0 обчислюються за виразом:

а) х_1,2= ;                         б) х_1,2= ;

в) х_1,2 =   ;                           г) х_1,2= .

4. Сума коренів квадратного рівняння х² - 8х + 15 = 0 дорівнює:

а) -8;              б) 15;                в) 8;        г) –15.

5. Добуток коренів квадратного рівняння 6х² - 5х + 1 = 0 дорівнює:

а) ;             б) -;                в) -;          г) 1.

6. Коренями рівняння є числа:

а) 1;              б) –1;       в) –2 і 3;       г) -3.

7. Якщо помножити обидві частини рівняння  на спільний знаменник дробів, то одержимо рівняння:

а) х-7+2(х+7)=х²(х²- 49);                 б) х-7+2(х+7)=х²;

в) х+7+2(х-7)=х²;                             г) х+7+2(х-7)=х²(х²- 49).

 

Після завершення роботи учитель  відкриває дошку – на ній правильні відповіді. Учні порівнюють і виставляють олівцем бали.

 

III. План семінару.

1. Вступна частина.
2. Основна частина

1. Розв’язання задач геометричного змісту, що розв’язуються за допомогою квадратних рівнянь. Виступ творчої групи “Геометри”.
2. Звіт групи “Фізики” (задачі на рух).
3. Звіт групи “ Бригада” (задачі на сумісну роботу).
4. Звіт групи “Економісти” (задачі з економіки).
5. Звіт групи “ Історики” (стародавні задачі).
6. Звіт групи “Хіміки” (задачі на концентрацію розчину і сплави).

Зразки карток-підказок подаються в Додатку 2.

3. Заключна частина.

 

Презентація групи „Геометри”

Задача 1. Знайдіть довжину і ширину ділянки прямокутної форми, якщо її периметр 30 м, а площа 56 м².

На прикладі конкретної задачі геометричного змісту представник групи пропонує розв’язувати задачі даного типу за планом. Під час розв’язання учні використовують індивідуальні картки-таблиці ( Додаток 1) .

План. 1. Позначити сторони прямокутника a і b.

 2. Записати периметр прямокутника.

3. Виразити довжину прямокутника через ширину.

4. Записати  площу прямокутника.
5. Скласти і розв’язати рівняння.

Колективно складають рівняння до даної задачі, розв’язують його, коментуючи з місця. 

 

Презентація групи „Фізики”

 

Задача 2. Катер проплив 9 км за течією річки і 14 км проти течії, затративши на весь шлях стільки часу, скільки йому потрібно для подолання      24 км у стоячій воді. Знайдіть швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії річки 2 .

Представник групи пропонує розв’язувати задачі на рух, заповнюючи таблицю (Додаток 1).

 

	υ,	t, год	s, км
катер (в стоячій воді)
річка (течія)
за течією річки
проти течії

 

Після заповнення таблиці складають рівняння, один учень розв’язує на дошці.

 

Презентація групи „Бригада”

 

Задача 3. Дві бригади, працюючи разом, закінчили асфальтувати дороги за 4 дні. Скільки днів потрібно було б на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо одна з них могла б закінчити асфальтування дороги на 6 днів раніше, ніж друга?

 

Представник групи пропонує розв’язувати задачі на сумісну роботу за наведеним зразком міркувань (Додаток 1) .

Зразок міркувань

Нехай весь об’єм роботи -            . Позначимо кількість днів, яка потрібна

 

на  виконання  цієї  роботи  одній(му)                             за             днів,  тоді

 

друга(ий)                               може виконати всю роботу за                      .

 

За один день перша(ий)                                виконає               частину роботи,

 

 а друга(ий) -                 . Разом обидві(а)                               можуть виконати за

 

 

один день      (                               частину роботи. За умовою задачі обидві(а)

 

 

                            виконують всю роботу за              дні. Отже, за 1 день вони

 

виконають               частину роботи.

 

Складемо і розв’яжемо рівняння                                                                               .

 

 

Презентація групи „Економісти”

 

 Задача 4. Вкладник поклав до банку 1000 гривень. За перший рік йому було нараховано певний відсоток річних,а другого року  було збільшено на 2%. У кінці другого року на рахунку було 1188 гр. Скільки відсотків становила банківська ставка у перший рік?

Представник групи пропонує зразок розв’язання задачі з економіки (Додаток 1) .

Розв’язання

	Перший рік	Другий рік
Вклад, гр.
Банківська ставка, %
Прибуток, гр.
Вклад на кінець року, гр.

 

Нехай банківська ставка за перший рік становила    % , тоді вкладнику було нараховано                           прибутку і його вклад став (                  ) гривень. Другого року відсоток став (       ) і вкладник одержав прибутку                                                         __________________________________гривень. В кінці другого року на рахунку вкладника стал                                                         гривень, що за умовою задачі становить______. Складемо і розв’яжемо рівняння.

Учні заповнюють таблицю, складають рівняння, що зводиться до квадратного. Завершити розв’язання пропонується дома.

 

 

 

 

Презентація групи „Історіки”

 

Задача 5. (стародавня індійська задача  Бхаскара, 1114р.)

Розділившись на дві зграї,

забавлялись мавпи в гаї.

Одна восьма їх в квадраті

танцювали, вельми раді;

а дванадцять на деревах

підняли веселий регіт, що навколо аж гуло.

Скільки їх всього було?

Рівняння. (х)² + 12 = х.

Презентація групи „Хіміки”

 

Задача 6. До розчину, що містить 40 г солі, додали 200 г води, після чого його концентрація зменшилась на 10%. Скільки води містив розчин і яка була його концентрація?

 

Представник групи пропонує готову таблицю (Додаток 1) , заповнену за умовою задачі. Пояснює хід заповнення таблиці і складання рівняння.

 

Вода, г	х	х+200
Сіль, г	40	40
Розчин, г	х+40	х+240
Концентрація розчину, %

 

                                                                                                      на 10% менше

Рівняння. .

 

Учням, що працюють на високому рівні пропонується дома розв’язати цю задачу іншим способом, позначивши через х г  - масу розчину.

 

IV. Підсумок уроку. Сьогодні на уроці, завдяки гарній підготовці до нього, ми виконали велику роботу: узагальнили і систематизували вміння розв’язувати задачі за допомогою квадратних рівнянь або рівнянь, що зводяться до них, побачили наскільки важливо вміти розв’язувати такі задачі в багатьох галузях, про що свідчить виставка ваших малюнків. Завдяки вашій роботі в групах розроблені картки-підказки з прикладами розв’язування задач різних типів, які будуть зберігатись в кабінеті і при потребі кожен з вас може ними скористатись. Дякую за урок. 

 

V. Домашнє завдання. Середній рівень:     задача 726;

достатній рівень: задача 735;

високий рівень:  розв’язати задачу з хімії другим     способом.

 

Додаток 1    

 

Задача 1. Знайдіть довжину і ширину ділянки прямокутної форми, якщо її периметр 30 м, а площа 56 м².

 

                                   

 

                                           План розв’язання

 

 

1. Позначимо сторони прямокутника	довжина ширина
2. Записуємо периметр прямокутника	Р=
3. Виразимо ширину через довжину
4. Запишемо площу прямокутника	S=
5. Складемо рівняння

 

 

Задача 2. Катер проплив 9 км за течією річки і 14 км проти течії, затративши на весь шлях стільки часу, скільки йому потрібно для подолання 24 км у стоячій воді. Знайдіть швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії річки 2 .

 

 

	υ,	t, год	s, км
катер (в стоячій воді)
річка (течія)
за течією річки
проти течії

 

 

 

Задача 3. Дві бригади, працюючи разом, закінчили асфальтувати дороги за 4 дні. Скільки днів потрібно було б на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо одна з них могла б закінчити асфальтування дороги на 6 днів раніше, ніж друга?

Зразок міркувань

Нехай весь об’єм роботи -            . Позначимо кількість днів, яка потрібна

 

на  виконання  цієї  роботи  одній(му)                             за             днів,  тоді

 

друга(ий)                               може виконати всю роботу за                      .

 

За один день перша(ий)                                виконає               частину роботи,

 

 а друга(ий) -                 . Разом обидві(а)                               можуть виконати за

 

 

один день      (                               частину роботи. За умовою задачі обидві(а)

 

 

                            виконують всю роботу за              дні. Отже, за 1 день вони

 

виконають               частину роботи.

 

Складемо і розв’яжемо рівняння                                                                               .

 

 

Задача 4. Вкладник поклав до банку 1000 гривень. За перший рік йому було нараховано певний відсоток річних,а другого року  було збільшено на 2%. У кінці другого року на рахунку було 1188 гр. Скільки відсотків становила банківська ставка у перший рік?

 

Розв’язання

 

	Перший рік	Другий рік
Вклад, гр.
Банківська ставка, %
Прибуток, гр.
Вклад на кінець року, гр.

 

Нехай банківська ставка за перший рік становила    % , тоді вкладнику було нараховано                           прибутку і його вклад став (                  ) гривень. Другого року відсоток став (       ) і вкладник одержав прибутку                                                         __________________________________гривень. В кінці другого року на рахунку вкладника стал                                                         гривень, що за умовою задачі становить______. Складемо і розв’яжемо рівняння.

 

 

Додаток 2

КАРТКА-ПІДКАЗКА

 

Розв’язання задачі геометричного змісту за допомогою квадратного рівняння

 

1. Позначимо сторони прямокутника	довжина    a ширина      b
2. Записуємо периметр прямокутника	Р = 2(a+b)	2(a+b) = 30
3. Виразимо ширину через довжину	a = P:2 – b	a = 15-b
4. Запишемо площу прямокутника	S = ab	S=(15-b)b
5. Складемо рівняння		(15-b)=56

Задача . Знайдіть довжину і ширину ділянки прямокутної форми, якщо її периметр 30 м, а площа 56 м².

 

                    b                

 

 a                                          План розв’язання

 

 

Нехай довжина ділянки a м, а ширина b м. Периметр ділянки прямокутної форми за умовою 30 м, отже, 2(a+b)=30. Звідси а=15-b. Площа ділянки за умовою 56 м². Складемо і розв’жемо рівняння.

 

 (15 – b)b = 56;

-b² + 15b – 30 = 0;

 b²  - 15b + 30 = 0;

 

За теоремою Вієта    b₁ +b₂= 15,

                                    b₁b₂  =  56.

 

Отже, b₁=7, b₂=8.

 

Якщо ширина ділянки 7 м, то довжина 15-7=8 (м).

Якщо ширина ділянки 8 м, то довжина 15-8=7 (м).

 

Відповідь: 7 м, 8 м.

КАРТКА-ПІДКАЗКА

 

Розв’язання задачі на рух за допомогою рівняння, що зводиться до квадратного

 

Задача . Катер проплив 9 км за течією річки і 14 км проти течії, затративши на весь шлях стільки часу, скільки йому потрібно для подолання 24 км у стоячій воді. Знайдіть швидкість катера у стоячій воді, якщо швидкість течії річки 2 .

 

	υ,	t, год	s, км
катер (в стоячій воді)	х		24
річка (течія)	2
за течією річки	х + 2		9
проти течії	х - 2		14

 

Нехай швидкість катера в стоячій воді х , тоді швидкість катера за течією річки (х+2) , а проти течії – (х-2) . Шлях 9 км за течією річки катер пройшов за год, а шлях 14 км проти течії – за год. На весь шлях катер затратив год, що за умовою задачі дорівнює часу, затраченому на подолання 24 км у стоячій воді, тобто год.

Складемо і розв’яжемо рівняння.

;                   ;

;                  х² - 10х – 96 = 0;   х₁ = -6; х₂ = 16.

 

При знайдених значеннях х знаменник х(х+2)(х-2) не дорівнює 0. Число –6 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість катера в стоячій воді 16 .

Відповідь: 16 .

КАРТКА-ПІДКАЗКА

 

Розв’язання задачі з економіки за допомогою рівняння, що зводиться до квадратного .

 

Задача.  Вкладник поклав до банку 1000 гривень. За перший рік йому було нараховано певний відсоток річних,а другого року  було збільшено на 2%. У кінці другого року на рахунку було 1188 гр. Скільки відсотків становила банківська ставка у перший рік?

 

Розв’язання

 

	Перший рік	Другий рік
Вклад, гр.	1000
Банківська ставка, %	х	х+2
Прибуток, гр.	10000,01х	(1000+10х)0,01(х+2)=0,1х2+10,2х+20
Вклад на кінець року, гр.	1000+10х	1000+10х+10,2х+0,1х2+20=1188

 

Нехай банківська ставка за перший рік становила х   % , тоді вкладнику було нараховано  10000,01х  прибутку і його вклад став (1000+10х) гривень. Другого року відсоток став (х+2)% і вкладник одержав прибутку                                                         (1000+10х)0,01(х+2) гривень. В кінці другого року на рахунку вкладника стало1000+10х+10,2х+0,1х²+20 гривень, що за умовою задачі становить 1188. Складемо і розв’яжемо рівняння.

 

х² + 202х – 1680 = 0;

х₁ = 8,  х₂ = -210.

 

х₂=-210 не задовольняє умовою задачі.

 

Відповідь: 8%.

 

 

 

 

 

 

 

КАРТКА-ПІДКАЗКА

Розв’язання задачі на сумісну роботу

 

 

Задача. Дві бригади, працюючи разом, закінчили асфальтування дороги за 4 дні. Скільки днів потрібно було б на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо одна з них могла б закінчити асфальтування дороги на 6 днів раніше, ніж друга?

 

Зразок міркувань

 

 

Нехай весь об’єм роботи 1. Позначимо кількість днів, яка потрібна на виконання цієї роботи одній бригаді, за х днів, тоді друга бригада може виконати всю роботу за (х+6) днів.

За один день перша бригада виконає частину роботи, а друга . Разом обидві бригади можуть виконати за один день частину роботи. За умовою задачі обидві бригади виконують всю роботу за 4 дні. Отже, за 1 день вони виконають частину роботи.

Складемо і розв’яжемо рівняння.

;

;

-х² + 2х + 24 = 0;

х² - 2х – 24 = 0;

х₁ = -4, х₂ = 6.

 

При знайдених значеннях х знаменник 4х(х+6) не дорівнює 0. Число –4 не задовольняє умову задачі. Отже, перша бригада може заасфальтувати дорогу за 6 днів, а друга – за 6 + 6 = 12 (днів).

 

Відповідь: 6 днів; 12 днів.