Урок "Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу"

Про матеріал

Основною метою уроку є: вивчення співвідношення між тригонометричними функціями од­ного аргументу. Формування умінь застосовувати вивчені спів­відношення для тотожних перетворень (спрощення) виразів, зна­ходження значень тригонометричних функцій за однією відомою функцією.

Перегляд файлу

     

 

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА

УРОКУ З АЛГЕБРИ

на тему:

«Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу»

 

 

 

 

 

 

Підготувала: Подляшаник Л.А.

 

 

Тема: Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Навчальна мета: Вивчення співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формування умінь застосовувати вивчені співвідношення для тотожних перетворень (спрощення) виразів, знаходження значень тригонометричних функцій за однією відомою функцією.  

Виховна мета: виховувати вміння проводити об’єктивну самооцінку, самостійність та відповідальність.

Розвивальна мета: розвивати вміння самостійно міркувати, аналізувати та використовувати набуті знання на практиці.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Хід уроку І. Організаційна частина.

Організація робочих місць учителя і учнів, повідомлення теми, мети заняття. ІІ. Перевірка домашнього завдання. 1. Наявність виконаного письмового завдання перевіряють чергові.

2. Розв’язування вправ:  1) Побудувати графіки функцій

       y 2cosx 1;

       y cosx cosx ;

       y ctg x ;

2 y ctgxctgx ; y tgxtgx .

Розв’язання:

 

 

 

 

2) Знайдіть числове значення виразу.

tg230o 2sin60o tg45o tg60o cos30o

       3 2   3          3          1          3          4          3          83 3

                     2          13                3 13                   

               3           2                    2      3                           2      3      2           6

 

2

       sin0o 3cossin2 030         2   2 1

                                            2            2                  2     4     2

 

       2sin2cos0o tg231 2132 1,523 2,5

                            6                         3         2

 

 

 

ІІІ. Вивчення нового матеріалу а) Мотивація

Дуже часто при розв’язуванні задач виникає проблема: знайти значення тригонометричних функцій, якщо задано значення лише однієї з них. На сьогоднішньому занятті ми повинні пригадати формули (залежності), які пов’язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

 

б) План вивчення теми

1.     Співвідношення між синусом і косинусом.

2.     Співвідношення між тангенсом і котангенсом.

3.     Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом.

 

 

 

в) Короткий конспект, тези нового матеріалу

 

Співвідношення між синусом і косинусом

Пояснення вчителя

 

 

Нехай точка x, y одиничного кола отримана поворотом точки Р0 (1; 0) на кут  радіан. Тоді згідно з означенням синуса і косинуса маємо: x cos,

 y sin.

Оскільки точка  x, y належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню  х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos і sin, отримаємо:

cos2 sin2 1 Таким чином,

sin2cos21

для всіх значень . Ця рівність називається основною тригонометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin через cos і навпаки:

sin 1cos2;

 

cos 1sin2.

 

 

Співвідношення між тангенсом і котангенсом.

 За означенням

sintg         ;

cos cosctg       .

sin

Почленно перемноживши ці рівності, одержимо: tgctg1.

 

 

 

Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом

 

 

Поділимо  обидві  частини основної тригонометричної тотожності  на  cos2  (за умови,  що cos0), одержимо:

                                                                                               2                      1     .

1tg cos2

Поділимо   обидві  частини основної тригонометричної тотожності  на  sin2   (за  умови,   що sin0), одержимо:

                                                                                                2                      1    .

1сtg sin2

IV. Закріплення вивченого:

Розв’язування вправ.

Усно. Чи існує число , яке одночасно задовольняє умовам:

1)    sin , cos;

2)    sin, cos;

3)    sin0,7, cos0,3.

Розв’язання.

                                                                                       2                     2

1)    Оскільки sin2cos211 1 1 2 1, то не існує числа , яке

                                                                              3    3     9    9     9

одночасно задовольняло б даним умовам.

                                                                                         2                     2

2)    Оскільки sin2cos2349 16 1, то існує число , яке

                                                                                5     5     25    25

одночасно задовольняло б даним умовам.

3)    Оскільки sin2cos20,72 0,32 0,490,090,581, то не існує число , яке одночасно задовольняло б даним умовам.

Письмово. Спростіть вираз.

1)     1sin2cos2;

2)     1cos1cos;

3)     sin42sin2cos2cos4.

Розв’язання.

1)      Подамо одиницю як суму sin2cos2, тоді матимемо:

1sin2cos2sin2cos2sin2cos20.

2)      Скористаємося формулою ababa2 b2, подамо одиницю як суму sin2cos21, матимемо:

1cos1cos1cos2sin2cos2cos2sin2.

3)      Скориставшись формулою  a2 2abb2 (ab)2 і врахувавши, що sin2cos21, маємо: sin42sin2cos2cos4sin22 2sin2cos2cos2

cos2sin22 12 1.

Усно. Чи існує число , яке одночасно задовольняє умовам:

1)     tg, сtg;

2)     tg, сtg;

3)     tg23, сtg23.

Розв’язання.

1) Оскільки     tgctg1, то існує число , яке одночасно задовольняє даним умовам.

2) Оскільки     tgctg1, то існує число , яке одночасно задовольняє даним умовам.

3) Оскільки tgctg232322 32 43 1, то існує число , яке одночасно задовольняє даним умовам.

Письмово. Спростіть вираз

ctg2sin2

1)      1sin2

2)      cossin2tg

Розв’язання.

cos22 ctg2sin2sin2cossin cos221

1         1sin2   2cos

sin

                      costg                       coscoscoscos

ctgcos

2         sin2      sin2sin

                                        sincos21                   cos21cos2sin2

                                sin2sinsinsin            sinsinsin

 

Доведіть тотожність.

ctgcos2

ctgtg

Розв’язання.

                                        cos                cos

ctgctgtgcossin  2 sincos2cossinsin1coscos2

sinsin

sincossincosV. Домашнє завдання.

Приклад 1. Спростити вираз.

1sin2

a)      tg cos

b)     1cossin. sin1cos

Розв’язання.

                  1sin2            cos2sin

a)      tg   sin coscoscos

b)     1cossin1cos2 sin2

sin1cossin1cos

12coscos2sin212cos1                        21cos      2    .

                                                                                                  

                sin1cos        sin1cossin1cos   sin

 

Приклад 2. Довести тотожність.

a)           sin12cos12tgctg2;

b)          sin4cos412sin2cos2 Розв’язання.

a)      Перетворимо праву частину рівності, враховуючи тотожності 

1tg2cos12,

                                                                                                2                      1     ,

1ctg sin2tgctg1.

 

tgctg2 tg22tgctgctg2tg22ctg2 1ctg21tg2sin12cos12.

Одержали вираз, що стоїть у лівій частині рівності. Отже. Дана рівність є тотожністю.

b)     sin42cos42sin2 422sincos22cos212cossin42cos2sin2.2cos2 sin cos 2sin

 

Підсумок уроку.

Вчитель відповідає на запитання учнів. Акцентує їхню увагу на основну тригонометричну тотожність.

 

pdf
До підручника
Алгебра і початки аналізу (академічний рівень) 10 клас (Нелін Є.П.)
До уроку
§ 20. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу
Додано
19 жовтня 2018
Переглядів
820
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку