Урок "Теорема Вієта"

Тема.    Теорема Вієта.

Мета:    ввести поняття зведеного квадратного рівняння; вивчити теорему Вієта; сформувати вміння розв’язувати зведені квадратні рівняння за допомогою теореми , оберненої до теореми Вієта; сформувати навички усного розв’язування квадратних рівнянь; спонукати виробленню в учнів вміння узагальнювати вивчені факти, розвивати самостійність здобуття знань шляхом співставлення ними рівнянь.

Тип уроку:  урок  засвоєння нових знань, вмінь та навичок.

Хід уроку:

І. Організаційний момент.

ІІ.  Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ:

№ 1. Назвіть старший, другий і вільний члени квадратного рівняння:

1.     3х² + 7х - 8 = 0;
2.     х² - 11х + 2 = 0;
3.     х + х² = 1;
4.     х² - 5 = 0;
5.     5х = х² - 4;
6.     х² = 7х.

№ 2. Подайте у вигляді добуток двох цілих множників всіма можливими способами число: 21;  -6;  15;  39;  -111;  48;  50.

№ 3. Підберіть два таких числа, щоб:

1.     їх добуток дорівнював 6, а сума – числу протилежному 7;
2.     їх добуток дорівнював -13, а сума – числу, протилежному 12.

   ІІІ. Вивчення нового матеріалу

1. Означення зведеного квадратного рівняння.

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює 1. Таке рівняння записують так: х² + pх + q = 0.

2. Розв’язати зведені квадратні рівняння (самостійно).

1.     х² - 6х + 8 = 0;            3) х² - х – 6 = 0;
2.     х² - 8х +15 = 0;           4) х² + 7х + 12 = 0.

Учні, розв’язавши рівняння в зошитах, записують корені рівняння на дошці. Учитель перевіряє , чи правильно записані корені, та ставить учням запитання «Як я, не розв’язуючи рівняння, встановлюю правильність їхнього розв’язання?». Установлюється зв'язок між коренями і коефіцієнтами рівняння.

3. Формується та доводиться теорема Вієта.

Теорема. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Доведення:

Якщо рівняння х² + pх + q = 0 має корені, то їх можна знайти за формулами:

х₁ =             х₂ =   .

Додамо й перемножимо ці корені:

х₁ + х₂ = +   = -р;

х₁ · х₂ = = = q.

Отже, х₁ + х₂ = -р,  х₁ · х₂ = q.

Кожне квадратне рівняння вигляду ах² + bх + с = 0 (а≠0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню х² + х + = 0.

Тому, якщо таке рівняння має корені х₁ і х₂, то

х₁ + х₂ = - і х₁ · х₂ = .

ІV. Засвоєння нових знань та вмінь

1.  Знайти корені рівняння:

1) х² - 3х + 2 = 0;   2) х² - 4х - 5 = 0;   3) х² - 7х + 12 = 0;   4) х² - 13х + 40 = 0.

2.  Знайдіть значення q, при якому рівняння має рівні корені:

1) х² - 14х + q = 0;     2) х² + qх + 121 = 0.

3. Знайдіть р і х, якщо:

1) х² + рх + 25 = 0 і х₂ = 7;    2) х² + рх + 21 = 0 і х₁ = -3.

4. Один з коренів рівняння  х² - 7х + с = 0 дорівнює 4. Знайдіть с.

V. Підбиття підсумків

1. Що необхідно запам’ятати?

1) х² + pх + q = 0 – зведене квадратне рівняння, а = 1.

2) Якщо х₁ і х₂ - корені рівняння, то х₁ + х₂ = -р,  х₁ · х₂ = q (теорема Вієта).

2. Повідомлення про Франсуа Вієта.

  Створення алгебраїчної символіки примножило силу математики, велика заслуга в цьому значною мірою належить французькому математику Франсуа Вієту, в житті якого релігія відіграла зловісну роль.

  Франсуа Вієт (1540 – 1603) за фахом був адвокатом, у вільний час займався астрономією і математикою. Оскільки астрономія потребувала багато складних обчислень, Вієт вирішив удосконалити свої знання з математики. Він почав регулярно займатися нею і зробив у цій науці низку визначних відкриттів. Вієт один з перших почав систематично використовувати буквені позначення для невідомих і коефіцієнтів. Завдяки його наполегливій праці, алгебру почали розглядати як науку про алгеброїдні рівняння, що ґрунтуються на буквеній символіці.

  Під час війни Франції з Іспанією іспанські шпигуни використовували для свого таємного листування складний шифр, який ніяк не можна було розшифрувати. Король Франції Генрих ІV звернувся до Вієта з пропозицією розшифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи Вієту вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи іспанських шпигунів до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізналися, хто розшифрував їхній тайнопис.

  Іспанські інквізитори, які відзначалися особливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звинуватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Над ученим нависла смертельна небезпека, бо церковники в ті часи мали величезну силу, Ф. Вієта було засуджено до спаління. На щастя, Генрих ІV не видав його інквізиції.

 VІ. Домашнє завдання