Алгебра 10 клас
Тема уроку: Узагальнення поняття степеня
Мета уроку: формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником
Хід уроку
Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв’язуванні домашнього завдання.
Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із натуральним і цілим показником рекомендується провести шляхом бесіди з використанням таблиці.
Питання до класу:
Степені |
|
з натуральним показником:
а1 = а (а
аn = а |
з цілим показником: а0 = 1, а ≠ 0
а-n = |
Властивості
am am : an = am - n (am)n = amn (ab)n = anbn
(
|
Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником.
Зокрема, n-й степінь числа повинен дорівнювати am. Якщо ця властивість виконується, то
, а це означає (за означенням кореня n-того степеня), що число
повинно бути коренем n-того степеня із числа
.
Степенем , числа а>0 з раціональним показником
, де m
, n
N (n>1) називається число
Отже, .
Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників;
За означенням 0r = 0 для будь-якого r>0.
Виконання вправ в парах
а) ; б)
; в)
; г)
Відповідь: а) ; б)
; в)
; г)
.
а) ; б) 2
; в)
; г) 2
Відповідь: а) ; б) 2
; в)
; г)
.
а) ; б)
; в)
; г)
Відповідь: а) 9; б) 4; в) 4; г) 27.
Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і справедливі рівності:
Для доведення цих властивостей треба скористатися означенням степеня з раціональним показником властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай , тоді ap
aq =
.
Останні рівності доводяться аналогічно.
Виконання вправ №429; №431.
Розглянемо степінь з ірраціональним показником
можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.
Розглянемо послідовність наближень числа :
1< < 2,
1,4 < < 1,5,
1,41 < < 1,42,
1,414 < < 1,415,
1,4142 < < 1,4143,
…
За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:
10 = 101 < < 102 = 100
25,119 <
< 101,5
31,623
25,704 101,41 <
< 101,42
26,303
25,942 101,414 <
< 101,415
26,002
25,963 101,4142 <
< 101,4143
25,960
…
Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа = 25,9…, яке і прийнято вважати степенем числа 10 з показником
.
Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степеня.
Бліц-опитування
(А.Г.Мерзляк Алгебра і початки аналізу, 10 клас)