Урок. "Вписані чотирикутники. Пряма Симсона"

Тема уроку. Вписані чотирикутники. Пряма Симсона.

Мета уроку: ввести поняття прямої Симсона, довести теорему про пряму Симсона; розвивати логічне мислення, спостережливість, наполегливість; виховувати охайність, культуру математичного мовлення та записів.

Тип уроку: урок закріплення та застосування знань, умінь і навичок.

Форма проведення. Урок з використанням комп’ютерних технологій.

Хід уроку

І. Організаційний момент

Девіз уроку: «Успіх викликає тим більше втіхи, чим більше потрудишся, перш ніж досягнеш його»

(Ксенофонт, «Кіропедія»)

ІІ. Перевірка домашнього завдання

       Учні перевіряють домашнє завдання, звіряючи свої розв’язання із розв’язаннями, записаними на карточках, які роздані  на кожну парту заздалегідь.

13.22.  У трикутнику АВС відрізки АА₁ і СС₁ – висоти. Відновіть трикутник АВС за точками  А₁, С₁ і прямою, яка містить сторону АС.

Розв’язання.   Аналіз. Припустимо, маємо ∆ АВС, у якого АА₁ і СС₁ висоти. За твердженням задачі 13.21 серединний перпендикуляр до А₁С₁ перетинає відрізок АС в точці, яка є центром кола описаного навколо чотирикутника АС₁А₁С. Отже, точки А і С є точками перетину даного кола з прямою АС, В – точка перетину прямих АС₁ і СА₁.

Побудова.

1.               Проводимо відрізок А₁С₁.
2.               Будуємо до нього серединний перпендикуляр. Точку перетину серединного перпендикуляра з прямою АС позначимо О.
3.               Будуємо коло з центром в точці О і радіусом ОА₁.
4.               Точки перетину кола з прямою АС будуть вершинами А і С даного трикутника.
5.               Проводимо прямі АС₁ та СА₁. Точка перетину цих прямих буде вершиною В даного трикутника.
6.               З’єднуємо точки А, В і С. ∆ АВС – шуканий.

13.26. Рівні рівносторонні трикутники АВС і CDE розміщено так, як показано на рисунку.

Точки К, М і L – середини відрізків АС, ВD і СЕ відповідно.Доведіть, що трикутник KML – рівносторонній.

Розв’язання.   Нехай рівні рівносторонні трикутники АВС і CDE розміщені так, як показано на рисунку.  Точки К, М і L – середини відрізків АС, ВD і СЕ відповідно.

∆BCD –рівнобедрений (ВС=CD,  як сторони рівних рівносторонніх трикутників).  Звідси <MBC=<MDC.

Оскільки ВМ=МD, то СМ – медіана, а отже, і бісектриса <BCD і висота (<ВМС=90⁰).

В ∆АВС ВК –медіана, а отже, і бісектриса <АВС(<KBC=<KBA=30⁰) і висота ( <BKC=90⁰).

Оскільки <BKC=<ВМС=90⁰, тобто <BKC+<ВМС=180⁰, то ВМСК – вписаний. Тоді <КВС=<КМС=30⁰, як вписані кути, що спираються на одну хорду КС.

Аналогічно вписаним буде і чотирикутник MDLC. Тоді <CDL=<CML=30⁰, як вписані кути, що спираються на одну хорду CL.

∆КВМ=∆LDM, бо 1) ВК=DL, як висоти рівних рівносторонніх трикутників, 2)ВМ=МD, за умовою, 3) <KBM=<LDM, бо складаються з рівних частин. Звідси КМ=МL.

Отже, в ∆КМL  КМ=МL і <KML=<KMC+<CML=30⁰+30⁰=60⁰. Звідси <MKL=<MLK=60⁰. Отже, ∆КМL  - рівносторонній.

ІІІ. Формулювання теми і мети уроку

ІV. Актуалізація опорних знань

Фронтальна бесіда з учнями

•                 Як довести, що три  точки лежать на одній прямій? ( Щоб довести, що,  наприклад, точки А, C і B лежать на одній прямій можна за аксіомою вимірювання відрізків показати, що АВ=АС+СВ; довести, що кут  АСВ розгорнутий)
•                 Як довести рівність двох кутів? (Щоб довести, що два кути рівні, можна показати, що їй градусні міри рівні; що вони є відповідними кутами рівних трикутників; що ці кути є центральними або вписаними, що спираються на одну і ту ж дугу)
•                 Як довести, що чотири точки належать одному колу? (Можна використати ознаку вписаного чотирикутника або ознаку належності чотирьох точок одному колу)
•                 Сформулювати властивість вписаного чотрикутника.

5.            Вивчення нового матеріалу

Практична робота. Комп’ютерна підтримка

Група учнів (кількість дітей у групі рівна кількості комп’ютерів) працюють за комп’ютерами, решта виконують роботу на аркушах із заздалегідь заготовленими рисунками. Учні досліджують взаємне розміщення трьох точок, які є основами перпендикулярів, опущених з довільної точки кола, описаного навколо трикутника, до сторін (або їх продовжень) даного трикутника.

Кожному учневі, який працює  на аркуші, пропонується рисунок із зображеним колом та вписаним  у нього трикутником (прямокутним, гострокутним, тупокутним) та точкою Р на колі,  яка може співпадати із однією із вершин, не співпадати з вершиною, разом з однією із вершин трикутника бути кінцями діаметра кола.

Кожному учневі, який працює на комп’ютері, пропонується картка-інструкція.

Висновок (Теорема). Основи перпендикулярів, проведених до сторін трикутника (або їх продовжень) з довільної точки описаного кола, лежать на  одній прямій.  Цю пряму називають прямою Симсона.

Історична довідка

Доведення. Нехай Р – довільна точка описаного кола трикутника АВС. З точки Р опустимо перпендикуляри на прямі, які містять сторони трикутника.

На рисунку зображено випадок, коли основи двох перпендикулярів (точки Е і М) належать сторонам трикутника, а основа третього перпендикуляра (точка N) належить продовженню сторони трикутника.

Оскільки <AEP=<AMP=90⁰, то навколо чотирикутника АЕМР можна описати коло.  Звідси кути 1 і 2 рівні як вписані, що спираються на одну й ту саму дугу.

Оскільки <PMC+<PNC=180⁰, то навколо чотирикутника PMCN можна описати коло.  Звідси кути 3 і 4 рівні як вписані, що спираються на одну й ту саму дугу.

Оскільки <PEB+<BNP=180⁰, то навколо чотирикутника PEBC можна описати коло.  

Звідси <4+<EPC+<B=180⁰.

Оскільки чотирикутник АВСР – вписаний, то <2+<EPC+<B=180⁰. Отримуємо, що <2=<4, отже, <1=<3.

Оскільки кут АМС – розгорнутий, то <1+<EMC=180⁰. Тоді <3+<EMC=180⁰. А це означає, що кут ЕМN – також розгорнутий, тобто точки Е, М і N лежать на одній прямій.

Розглянемо окремі випадки розміщення прямої Симсона. Демонструються слайди.

У класі проводиться детальний аналіз випадку, зображеного на останньому слайді.

•                  Як довести, що кут EMN  розгорнутий? (Довести, що його градусна міра дорівнює 180⁰).
•                  З яких кутів складається кут EMN? (<EMN=<EMP+<PMC+<NMC, до того ж <PMC =90⁰).
•                  Що ж достатньо довести для того, щоб можна було стверджувати, що кут EMN – розгорнутий? (<EMP+<NMC=90⁰).
•                  Якому куту, на вашу думку, дорівнює кут ЕМР? Доведіть своє припущення. (<EMP=<ЕАР як вписані, що спираються на одну і ту ж дугу; навколо чотирикутника РЕМА можна  описати коло, оскільки <PEA=<PMA=90⁰).
•                  Яким кутом буде кут ЕАР для трикутника АВР? Чому дорівнює величина цього кута? (Кут ЕАРє зовнішнім кутом трикутника АВР, <EAP=<APB+<ABP).
•                  Якому куту, на вашу думку, дорівнює кут ABP(EBP)? Доведіть своє припущення. (<EBP=<ЕNР як вписані, що спираються на одну і ту ж дугу; навколо чотирикутника РЕNB можна  описати коло, оскільки <PEB=<PNB=90⁰).
•                  Якому куту, на вашу думку, дорівнює кут APB? Доведіть своє припущення. (<APB=<ACB як вписані, що спираються на одну і ту ж дугу; чотирикутника PABC вписаний в коло).
•                  Якому трикутнику (крім трикутника АВС), позначеному на рисунку, належить кут АСВ? Чим ще цікавий для нас цей трикутник? (Кут АСВ є кутом трикутника MNC, який містить і кут NMC необхідний нам для доведення того, що кут EMN – розгорнутий).
•                  Чому дорівнює кут NMC з даного трикутника? (<NMC=180⁰ –

-(<MNC+<NCM)=180⁰ – (<MNP+<PNC+<NCM)=180⁰ – (<MNP+90⁰+<NCM)= =90⁰ – (<MNP+<NCM)=90⁰ – (<EBP+<APB)=90⁰ –<EAP= 90⁰ –<EMP).

•                  Який висновок можна зробити з даної рівності? (<EMP+<NMC=90⁰, а  це означає, що <EMP+<PMC+<NMC=180⁰, тобто <EMN=180⁰. Отже, кут ЕМN – розгорнутий, а це означає, що точки Е, М і N лежать на одній прямій).

6.         Підсумок уроку

Фронтальна бесіда з учнями

•                  Яка пряма називається прямою Симсона?
•                   Які твердження використовувались при доведенні теореми про пряму Симсона?