Урок з геометрії у 8 класі : " Застосування теореми Піфагора та тригонометричних співвідношень для розв'язування прямокутних трикутників у прикладних задачах "

Урок-практикум з геометрії у 8 класі

Тема уроку: Застосування розв’язування прямокутних трикутників у прикладних задачах.

Вчитель: Данильченко Лідія Леонідівна

Мета уроку:узагальнити і систематизувати знання з даної теми; повторити означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника, теорему Піфагора та основні наслідки з неї;

закріпити вміння і навички застосувати теоретичний матеріал до розв'язування прямокутних трикутників;

показати практично-прикладний характер здобутих знань;

 розвиток міжпредметних зв'язків;

виховання пізнавального інтересу до вивчення математики.

Формування ключових компетентностей:

● вміння вчитися впродовж життя – уміння виділяти головне, аналізувати, використовувати на практиці набуті знання; виробляти звички до планування своїх дій, самостійно контролювати проміжні і кінцеві результати роботи;

● соціальна і громадська –  вміння   до  самостійного аналізу та  пошуку раціонального розв’язку поставленої задачі, обрання варіанту завдання чи шляху його розв’язання; формувати звичку самооцінки та самоаналізу  учнів; залучення  до роботи в групах;

● загальнокультурна – дотримуватись норм мовленнєвої культури, зв’язно висловлюватись;

          ● математична компетентність:

використовувати на практиці алгоритм розв’язування типових задач, пов’язаних з темою тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника та теоремою Піфагора;

         ● інформаційно-цифрова компетентність – володіння сучасними інформаційно-комунікаційними технологіями , на прикладі використання програм: електронні таблиці Excel, додатка для проведення он-лайн тестування GoogleForm.

Тип уроку:

Урок узагальнення та систематизації знань.

Обладнання:

мультимедійна дошка, документ – камера, креслярські інструменти.

Очікувані результати:

мати уявлення про синус, косинус, тангенс гострого кута прямокутного трикутника;

застосовувати теорему Піфагора та тригонометричні співвідношення при розв’язуванні прямокутних трикутників, в прикладних задачах.

                                                          Хід уроку:

І.Організаційний момент.

Вчитель вітається з учнями, бажаючи їм цікавого та продуктивного уроку.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

 Оголошення теми та мети уроку.

Вчитель веде діалог з дітьми про те, що геометричні знання отримані в школі повинні приносити користь в реальному житті.  Учні висловлюють  свої думки  з приводу використання математичних , а точніше, геометричних знань, у повсякденному житті.

Картка самоконтролю допоможе учням на окремих етапах уроку виконувати самоконтроль та само-оцінювання та самостійно фіксувати це.

Крім того в картці зазначені питання рефлексії. На початку уроку діти на картках  самоконтролю обирають одне із запропонованих тверджень, яке буде показувати їх відношення до питання : « Чи потрібна геометрія в повсякденному  житті? « (  ні, не потрібна ; ну, можливо використаю її раз у житті;  так , потрібна ) .

Учні відповідатимуть на поставлене питання на початку уроку та по завершенню уроку. Вчитель по відповідям зможе проаналізувати , чи досяг він поставленої мети.

Картка самоконтролю ___________________________________

Чи будете ви використовувати геометричні знання в реальному повсякденному житті?

А) Точно не буду!   

Б) Ну, можливо, колись один раз…

В) Я б використовував/використовувала, якби ж знати де?

Г) Використовуватиму!

ІІІ. Перевірка домашнього завдання.

Перевірку письмового домашнього завдання здійснюють чергові учні. Вчитель, тим часом,  відмічає відсутніх на уроці.

ІV. Актуалізація опорних знань

Геометричне доміно

Правила: На кожній парті лежить по одній картці доміно з запитаннями та відповідями. Починає той, у кого слово СТАРТ. Читається запитання, а інші учасники шукають відповідь на своїх картках. Зачитують її. Якщо відповідь вірна, то читають наступне запитання уже з своєї картки. І так до картки зі словом ФІНІШ.

Питання, що можна застосувати ( їх кількість та різноманіття можна змінити за потребою ):

Трикутник називається прямокутним,  якщо…один з його кутів – прямий.

Катетами називають … … сторони прямокутного трикутника, які утворюють прямий кут.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називають… … відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Гіпотенузою називається… .… сторона прямокутного трикутника, яка лежить навпроти прямого кута.

Квадрат гіпотенузи дорівнює … … сумі квадратів катетів.

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називають… … відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює……дев’яносто градусів.

Гострі кути прямокутного трикутника називаються … … доповняльними.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають… … відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називають… … відношення прилеглого катета до протилежного.

Катет, який лежить навпроти кута 30 градусів…… дорівнює половині гіпотенузи.

Розв’язування усних задач за готовими малюнками.

А                                      1) Яка довжина гіпотенузи трикутника АВС ?

                                         2) Обчисліть sin B; cos B; tg B; ctg B.

                                         3) Як називається такий вид прямокутного трикутника?

8

С                             В

                6

     N                                      1) Яка довжина гіпотенузи трикутника NMK ?

                                              2) Якими способами можна обчислити  NK ?

           30°                             3) Яка довжина невідомого катета трикутника NMK ?

                                             4) Вкажіть  sin N; cos K; tg N; ctg K.

   M                                 K

                       7

5. Узагальнення та систематизація знань.

1.Тестування з використанням GoogleForm за посиланням (https://forms.gle/yYt4qWECXLDZqx9C9 ).

Аналіз тестування. Розбір проблемних питань.

Приклад завдань самостійної роботи.

8 клас     Самостіна робота.     ІІ варіант. 

Ваше прізвище та ім’я : ___________________________________

Розв’язування прямокутних трикутників.

У завданнях 1-3 оберіть тільки одну правильну відповідь.

1.( 1 б. ) У прямокутному трикутнику сторона , що прилягає до прямого кута називається…

 А)  катет; Б)  гіпотенуза; В) бічна сторона;  Г) основа.

 2.  ( 1 б. )  У прямокутному трикутнику :

А) один з кутів – тупий; Б)  один з кутів – прямий; В)  всі кути гострі; Г)  два кути гострі.

 3.  ( 1 б. ) У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 4 см і 3 см. Обчисліть довжину гіпотенузи.

 А)  8 см; Б)  5 см; В)  7 см; Г)  6 см.

4. ( 3 б. ) Встановіть відповідність між поняттям та його означенням:

1.  Тангенс кута – це …             

2.  Синус кута – це …              

3.  Косинус  кута – це …

 А) відношення протилежного катета до  гіпотенузи.                                                                                         

Б)  відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

 В) відношення протилежного катета до прилеглого катета.

Г) відношення прилеглого катета до протилежного катета.

                                                                   Д) відношення гіпотенузи до протилежного катета .

5. ( 2 б. ) У прямокутному трикутнику АСВ ( кут С = 90°):  sin B=0,8 ; АС= 6. Обчисліть АВ.

Відповідь: ___________( у відповідь запишіть тільки число , без одиниць виміру).

2.Розв’язування прикладних задач

Перед уроком необхідно провести виміри для обчислення в задачах.

Учні поділені по групах вимірюють для задачі № 1 : реальну відстань від землі до підвіконня  другого поверху будівлі школи ( з дотриманням всіх правил ТБ );

для задачі № 2 : довжину палиці, довжину тіні палиці, довжину тіні дерева ( для тіні потрібне сонце, тому обирайте для вимірювань – сонячний день );

 для задачі №3: ширину обраної будівлі, довжину обраної будівлі, висоту фронтону обраної будівлі ( з дотриманням всіх правил ТБ ).

Задача №1 

Оперативний рятівник 

Робота рятівника дуже важлива і екстремальна. Люди цієї професії повинні бути загартованими, сміливими та вміти правильно приймати рішення в екстрених ситуаціях.

Змодельована ситуація: виникла потреба дістатись до вікна другого поверху, якщо неможливо підставити драбину ближче ніж 3 метри до будівлі.

Наше завдання: визначити довжину драбини , якщо нам відома відстань від землі до вікна другого поверху : 4,7 м і відстань від будівлі до безпечного положення драбини: 3,2 м.

Потрібно наголосити, що всі виміри були зроблені на місцевості.

Математична модель:

А                          Дано: АС=4,7 м– відстань від землі до вікна другого

                                         поверху;              

                                         ВС=3,2 м- відстань від будівлі до основи драбини;

                            Знайти: АВ – довжина драбини.

С                        В

Розв’язання:

Оскільки трикутник АСВ прямокутний, то за теоремою Піфагора:

=+, тому АВ = ≈5,68 м.

Відповідь: довжина драбини повинна бути близько 5 м 70 см.

Задача №2.

Вправний дереворуб

Інколи виникає  потреба прибрати дерево,  бо воно несе небезпеку для оточуючого середовища, або просто загинуло. Та одна справа , коли дерево росте в лісі або лісосмузі, і зовсім інша, якщо дерево знаходиться на території домогосподарства.

        Змодельована ситуація: потрібно розрахувати висоту неживого дерева, щоб проаналізувати, чи не зашкодить воно будівлям, що знаходяться поруч, при своєму падінні. Почати обрізання з  гілок, що знаходяться вище – неможливо.

Математична модель:

      А

                                                                 С

                                                                  С                 

       В                                                           К                    Н

Дано: СК=1,1м – висота палиці ;

КН=1,4м– довжина тіні палиці;

ВН=16м – довжина тіні дерева.

Знайти:   АВ – висота дерева .

Розв’язання:

Так як СК та АВ одночасно перпендикулярні до ВН за умовою, то трикутники АВН та СКН – прямокутні, кут Н – спільний для обох трикутників.

З трикутника СКН :  tgH===.

З трикутника АВН:   tgH=;  =; АВ= 11·16÷14≈12,6 м.

Відповідь: висота дерева близько 12м 60 см.

Задача №3.

Майбутній архітектор

Більшість з нас проживає в приватних будинках. Приходить час , коли виникає потреба замінити покрівлю свого  будинку. Звичайно перед викликом спеціалістів хотілося б підрахувати кількість та орієнтовну вартість необхідних покрівельних матеріалів. Ми розглядаємо двоскатний симетричний дах, скати якого рівні.

Математична модель:

                                                   Н

              В                     

                                                                                  О

А                     К                    С

Дано:  ВК=2,2 м – висота фронтону від стелі до гребеня даху;

            АС = 9,2м - довжина стелі ( ширина будівлі );

            ВН = 10 м – довжина гребеня даху.

Знайти : S( ВНОС).

                                                                Розв’язання:

Оскільки ВК перпендикулярний АС , то ∆ ВКС  - прямокутний,  тоді враховуючи,     що КС = 0,5·АС=4,6 м , за теоремою Піфагора: =+,  ВС=  ≈5,1м.

Чотирикутник ВНОС – прямокутник, тому його площа обчислюється:

S = ВС·ВН = 5,1·10=51 .

*Так як скати з обох боків даху рівні , то площа всього даху складає 102 . Якщо вартість корисної площі метало черепиці 150 грн/, то вартість цього покрівельного матеріалу складає 51·102=5202 гривень.

Відповідь: S( ВНОС)=51 .

Обчислення даних даної задачі зручно подати у вигляді таблиці Ecxel.

VІ. Підсумок уроку

Виставлення оцінок в картки самоконтролю.

Рефлексія.

Учні висловлюють свої думки, відповідаючи на питання:

Чи змінилося моє ставлення до питання, поставленого на початку уроку: «Чи знадобляться геометричні знання в повсякденному житті?»?

Що мені сподобалось на уроці? не сподобалось?

VІІ . Домашнє завдання 

Скласти власну прикладну задачу на розв’язування прямокутних трикутників.