Збірник олімпіадних задач з математики для учнів 6 класу. Частина 1. Числа та їх властивості

Числа та їх властивості

1. Парною чи непарною буде сума натуральних доданків, якщо доданки парні, а решта – непарні?

2. Сума натуральних доданків дорівнює . Чи можна стверджувати, що їх добуток – парне число? Відповідь поясніть.

3. Скількома нулями закінчується запис числа, яке дорівнює добутку: ?

4. Замість зірочок поставте такі цифри, щоб чотирицифрове число ділилося націло на . Знайдіть усі можливі розв’язки.

5. Сума двадцяти чисел, кожне з яких дорівнює або , дорівнює . Знайдіть добуток цих двадцяти чисел.

6. Відомо, що і – додатні числа, а і – від’ємні числа. яка нерівність правильна, яка неправильна? Коли на ці запитання не можна відповісти:

а) , , , ;

б) , , , ?

7. Запиши чотирицифрові числа, які кратні і закінчуються цифрою .

8. Замість зірочок постав такі цифри, щоб число ділилось на . Знайди всі можливі розв’язки.

9. З цифр , , і склади два трицифрові числа, які діляться і на , і на .

10. Досконалим числом називають натуральне число, яке дорівнює сумі дільників цього числа, менших від самого числа. наприклад, число – досконале число, бо . Знайди ще одне досконале число, менше від .

11. Заміни такими цифрами зірочки, щоб рівність була правильною:

а) ;

б) .

12. У числі всі нулі заміни такою однією і тією самою цифрою, щоб знайдене число ділилось на . Запиши всі можливі цифри.

13. Сума чотирьох чисел дорівнює . Знайдіть ці числа, якщо перше відноситься до другого як , друге до третього – як , а третє до четвертого – як .

14. Сума чотирьох чисел , перше число становить цієї суми, друге число – першого числа, а третє число – суми решти двох чисел. Знайди ці числа.

15. За якої умови рівність буде правильною, якщо і – протилежні числа?

16. Обчисли якомога простіше:

а) ;

б) .

17. В запису поставити між деякими цифрами знак додавання так, щоб був отриманий вираз, значення якого дорівнює .

18. В запису поставити між деякими цифрами знак ”+” або знак ”–” так, щоб був отриманий вираз, значення якого дорівнює .

19. Не виконуючи обчислень, встановити, простим чи складеним буде число:

а) ;

б) .

20. Чи може сума трьох послідовних натуральних чисел бути простим числом?

21. Знайти всі прості дільники чисел і .

22. Довести, що будь-яке тризначне число, записане однаковими цифрами, ділиться на .

23. Маємо число, кратне . Коли його поділили на , отримане число додали з діленим, а потім від суми відняли дільник. Отримали . Знайти це число.

24. Довести, що добуток двох послідовних натуральних чисел ділиться на .

25. В числі замість зірочок поставити такі цифри, щоб отримане шестизначне число ділилось на , на і на одночасно.

26. Добуток двох двозначних чисел записано одними четвірками. Знайти ці числа.

27. Чи існує таке натуральне число, яке, будучи помноженим на , дає в добутку число, записане тими самими цифрами, але взятими у зворотному порядку?

28. Довести, що різниця двозначного числа і числа, записаного тими ж цифрами, але в зворотному порядку, ділиться на .

29. На декількох прикладах перевірте твердження: якщо від тризначного числа відняти число, записане тими самими числами, записаними у зворотному порядку, то середня цифра різниці буде , а сума крайніх цифр буде також дорівнювати .

30. Числа і поділили на одне й те саме число. В першому випадку в остачі отримали , а в другому – . На яке число ділили?

31. Знайти чотири послідовних натуральних числа, добуток яких дорівнює .

32. Використовуючи кожну цифру один раз, запишіть найбільше натуральне число, яке ділиться:

а) на ;

б) на ;

в) на .

33. Запишіть найменше натуральне число, що складається з різних цифр, яке ділиться:

а) на ;

б) на ;

в) на .

34. Знайти найбільше тризначне число, яке:

а) при діленні на дає остачу ;

б) при діленні на дає остачу ;

в) при діленні на дає остачу .

35. Щоб знайти суму чисел першої сотні, що діляться націло на , достатньо перше число додати з останнім, суму помножити на кількість чисел, а добуток поділити на . Довести справедливість цього правила.

36. Довести, що числа, записані однаковими цифрами, діляться на і на .

37. Чи може сума чотирьох послідовних натуральних чисел бути простим числом? Чому?

38. Знайти серед чисел виду три числа, кратних .

39. Замінити зірочки такими цифрами, щоб рівність була вірною:

а) ;

б) .

40. Учень перемножив два числа, виконав перевірку за допомогою ділення на менший з множників і отримав в частці і в остачі , тобто в множенні була помилка. Помилка виникла внаслідок того, що при додаванні часток добутків учень в розряді тисяч записав цифру, яка на одиницю менша. Які числа множив учень?

41. Чому дорівнює найбільший спільний дільник двох чисел, якщо найменше спільне кратне цих чисел дорівнює їх добутку?

42. З цифр , , і скласти всі тризначні числа, які діляться на .

43. Різниця двох непарних чисел дорівнює . Довести, що ці числа взаємно прості.

44. Дано натуральні числа , , , причому ділиться на , ділиться на . Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне цих чисел.

45. Показати, що кожне з чисел і такі, що кожне з них дорівнює сумі дільників другого, не рахуючи самих чисел.

46. Показати, що кожне з чисел , , дорівнює сумі всіх своїх дільників, не рахуючи його самого (такі числа називають досконалими).

47. Знайти такі шість чисел, кожне наступне з яких більше попереднього на . Їх середнє арифметичне дорівнює .

48. Якщо до задуманого числа додати якесь число, то отримаємо , а якщо відняти те саме число, то матимемо . Яке число задумали і яке число треба додати в першому і відняти у другому випадках?

49. Доведіть, що двоцифрове число, яке записано двома однаковими цифрами, кратне .

50. До одноцифрового числа дописали одну цифру, у результаті чого воно збільшилось у раз. Яку цифру і до якого числа дописали?

51. У двоцифровому числі закреслили одну цифру, у результаті чого воно зменшилось у разів. Яку цифру і в якому числі закреслили?

52. Сума двох натуральних чисел дорівнює . Одне з них закінчується цифрою . Якщо її закреслити, то отримаємо друге число. Знайдіть ці числа.

53. Скільки існує двоцифрових чисел, для запису яких використано тільки:

а) парні цифри;

б) непарні цифри?

54. Чи можна у виразі замінити деякі знаки ”+” на знаки “–” так, щоб значення отриманого числового виразу дорівнювало ?

55. Спочатку обчислили суму цифр числа, що дорівнює добутку . Потім обчислили суму цифр отриманого числа. так робили доти, доки не отримали одноцифрове число. Що це за число?

56. Натуральне число , яке більше за і менше від , не ділиться націло на жодне з чисел , , і . Чи правильно, що число – просте? Відповідь обґрунтуйте.

57. Просте число, яке більше за , поділили на . Чому може дорівнювати остача?

58. Знайдіть усі пари простих чисел, різниця яких дорівнює .

59. Скільки всіх можливих дільників може мати число ?

60. Чи існує таке значення , при якому між числами і на координатній прямій лежить тисяча цілих чисел?

61. Символом позначають найбільше ціле число, яке не більше за . Наприклад, . Знайдіть:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

62. Яку цифру треба дописати до числа справа і зліва, щоб отримати число, кратне ?

63. Довести, що трицифрове число, яке записано трьома однаковими цифрами, кратне .

64. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на .

65. Довести, що добуток двох послідовних парних чисел ділиться на .

66. При множенні на отримали . Не виконуючи множення, встановити, чи вірно знайшли добуток?

67. Скільки буде нулів в кінці числа, яке виражає добуток п’ятидесяти послідовних натуральних чисел?

68. Якщо число помножити на , то вийде число . На яке число слід помножити число , щоб отримати число, записане за допомогою одних п’ятірок?

69. Знайти найменше число, яке при діленні на дає в остачі , при діленні на дає в остачі , при діленні на дає в остачі , при діленні на дає в остачі і при діленні на дає в остачі .

70. Скільки буде нулів в кінці числа, яке виражає добуток ста послідовних натуральних чисел?

71. Якщо від задуманого тризначного числа відняти , то отримане число ділиться на , якщо відняти від задуманого числа , то результат поділиться на , а якщо відняти , то результат поділиться на . Яке число могло бути задумане?

72. Всі натуральні числа, починаючи від , записані в порядку їх зростання підряд: , , , , , , , , , , і т. д. Яка цифра в цьому запису стоїть на третьому місці?

73. Число потрібно розбити на чотири частини так, що якщо до першої частини додати , від другої відняти , третю помножити на , а четверту поділити на , то всі результати будуть рівними. Знайти ці частини.

74. Якщо число помножити на , то вийде число . На яке число слід помножити число , щоб отримати число, записане за допомогою одних дев’яток?

75. Довести, що сума двох парних чисел є число парне.

76. Довести, що сума двох непарних чисел є число парне.

77. Довести, що сума парного і непарного чисел є число непарне.

78. Довести, що якщо сума двох чисел – парне число, то їх різниця також парне число.

79. На дошці було написано три двоцифрових числа, перша зліва цифра одного з них була , другого – , а третього – . Учитель попросив трьох учнів додати будь-які два з цих чисел. Перший учень отримав , другий і третій – різні трицифрові числа, перші зліва дві цифри яких і . Які числа було написано на дошці?

80. На дошці написано числа , , , , , , , . Дозволяється до будь-яких двох записаних чисел додати одне й те саме натуральне число. Чи можна, виконавши таку операцію кілька разів, досягти того, щоб усі записані числа були рівними?

81. Від числа, яке не більше ніж , відняли суму його цифр. Від отриманого числа знову відняли суму його цифр, і так робили кілька разів. Після таких віднімань вперше отримали . Знайдіть початкове число.

82. Андрійко задумав натуральне число і помножив його на . Петрик закреслив останню цифру числа, яке отримав Андрійко, і в результаті отримав . Яке число задумав Андрійко?

83. На дошці написано число . Щохвилини число стирають і записують на цьому місці число, яке дорівнює добутку його цифр, збільшеному на . Яке число буде написано на дошці через годину?

84. Сума двох чисел дорівнює , а частка від ділення одного на друге дорівнює . Знайти ці числа.

85. Артур перемножив всі натуральні числа від до . На скільки нулів закінчується добуток?

86. Добуток задуманого натурального числа і суми чисел і дорівнює квадрату цього числа. Знайти задумане число.

87. Скількома нулями закінчується запис числа, яке дорівнює добутку: ?

88. Чи існують натуральних чисел (не обов’язково різних), сума яких дорівнює їх добутку?

89. Числом-паліндромом називається число, яке зліва направо і справа наліво читається однаково. Наприклад, . Чому дорівнює різниця найбільшого шестицифрового числа-паліндрома і найменшого п’ятицифрового числа-паліндрома?

90. Скільки всіх можливих дільників може мати число ?

91. Обчислити: .

92. Відомо, що і – додатні числа, а і – від’ємні числа. яка нерівність правильна, яка неправильна? Коли на ці запитання не можна відповісти:

а) , , , ;

б) , , , ?

93. Парною чи непарною буде сума натуральних доданків, якщо доданки непарні, а решта – парні?

94. Довести, що якщо сума двох чисел – непарне число, то їх різниця також непарне число.

95. Дано два натуральних числа і . Довести, що якщо додати їх суму з їх різницею, то отримаємо парне число.

96. Дано два натуральних числа і . Довести, що якщо від їх суми відняти їх різницю, то отримаємо парне число.

97. Сергій знайшов добуток всіх чисел від до включно і записав результат на дошці. На перерві хтось випадково витер три цифри, тому на дошці залишився запис . Не виконуючи множення вдруге, знайти стерті цифри.

98. Помноживши чотири простих послідовних числа, Катя отримала в результаті число, остання цифра якого дорівнює нулю. які числа вона помножила і який результат вона отримала?

99. У кожну клітинку квадрата розміром клітинок записали одне з чисел , , . Чи можуть суми чисел, які записано в кожному рядку, у кожному стовпчику і по двох великих діагоналях, бути різними?

100. В семи кружках розташувати натуральні числа від до так, щоб сума будь-яких трьох чисел, що лежать на одному діаметрі, дорівнювала .