Знаходження найбільшого спільного дільнка

Конспект уроку: Знаходження найбільшого спільного дільника (НСД)

1. Тема та мета уроку

• Тема: Знаходження найбільшого спільного дільника.
• Мета:
  • Навчальна: Сформувати поняття найбільшого спільного дільника (НСД) двох або більше натуральних чисел. Навчити учнів знаходити НСД, використовуючи метод розкладання на прості множники. Ознайомити з алгоритмом Евкліда (як додатковий/ознайомчий матеріал).
  • Розвивальна: Розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати та узагальнювати.
  • Виховна: Виховувати уважність, наполегливість, інтерес до математики.

2. Означення та ключові поняття

Дільник

Дільником натурального числа  a  називається натуральне число, на яке  a  ділиться без остачі.

• Приклад: Дільники числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Спільний дільник

Спільним дільником кількох натуральних чисел називається число, яке є дільником кожного з цих чисел.

• Приклад: Спільні дільники чисел 12 і 18:
  • Дільники 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
  • Спільні дільники: 1, 2, 3, 6.

Найбільший спільний дільник (НСД)

Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох натуральних чисел називається найбільше натуральне число, на яке ділиться без остачі кожне з даних чисел.

• Позначають: НСД (a; b)  або НСД (a, b, c, \dots) .
• Приклад: НСД (12; 18) = 6 .

Взаємно прості числа

Натуральні числа називаються взаємно простими, якщо їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1.

• Приклад: НСД(9; 10) = 1 . Числа 9 і 10 — взаємно прості.

3. Методи знаходження НСД

Метод 1: Розкладання на прості множники (Основний)

Алгоритм:

1. Розкласти кожне з чисел на прості множники.
2. Виписати спільні прості множники, що входять до кожного розкладу.
3. Для кожного спільного множника взяти найменший із показників степеня, з яким він входить до розкладів.
4. Обчислити добуток цих спільних простих множників у знайдених степенях. Це і буде НСД.

Приклад 1: Знайти НСД(24; 36)

Розкладання на прості множники:   озкладання на прості множники:

24 = 2 * 12 = 2 *2 *6 = 2 *2 *2 *3 = 2³ *3¹

  36 = 2 *18 = 2 *2 *9 = 2 *2 *3 *3 = 2² *3²

  Спільні прості множники: 2 і 3.

  Найменші показники:

• Для 2: Беремо 2²
• Для 3: Беремо 3¹.

  Обчислення НСД:

НСД(24; 36) = 2² *3¹ = 4 *3 = 12

Відповідь: НСД(24; 36) = 12.

24 = 2 *12 = 2 *2 *6 = 2 *2 *2 *3 = 2³ *3

36 = 2 *18 = 2 *2 *9 = 2 *2 *3 *3 = 2² *3²

Приклад 2: Знайти НСД(180; 450).

  180 = 2² *3² *5

  450 = 2*3² *5²

НСД(180; 450) = 2*3² *5= 2 *9 *5 = 90

4. Тренувальні вправи

1. Усно: Назвіть усі дільники чисел:
   • а) 10;
   • б) 16;
   • в) 7.
2. Проста вправа: Знайдіть НСД (8; 12) методом переліку дільників.
   • Дільники 8: 1, 2, 4, 8.
   • Дільники 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
   • Спільні дільники: 1, 2, 4.
   • НСД: 4.
3. Основна вправа: Знайдіть НСД(48; 72) методом розкладання на прості множники.
   • Розв'язок: 48 = 2^4 *3;  72 = 2³ *3² .
   • НСД(48; 72) = 2^3 *3= 8 *3 = 24 .
4. Ускладнена вправа (для роботи в парах): Знайдіть НСД (210; 525) .
   • Розв'язок:  210 = 2 *3 *5 *7 ;  525 = 3 *5² *7 .
   •  \text{НСД}(210; 525) = 3*5*7= 105 .
5. На застосування поняття взаємно простих чисел: Чи є взаємно простими числа:
   • а) 14 і 15? (  НСД(14; 15) = 1 , так)
   • б) 21 і 35? (НСД(21; 35) = 7 , ні)

Для кращого розуміння та візуалізації процесу розкладання на множники та знаходження НСД, перегляньте відео https://www.youtube.com/watch?v=48LavGiuf7s

5. Домашнє завдання

• Вивчити означення дільника, спільного дільника та НСД.
• Повторити розкладання чисел на прості множники.
• Знайти НСД для пар чисел: а) 100 і 150; б) 64 і 96; в) 13 і 20.

^-