19 серпня о 18:00Вебінар: Ментальна арифметика: розвиваємо обидві півкулі головного мозку

"АЛГЕБРА 10 клас . Самостійні і контрольні роботи"

Про матеріал

Навчально-методичний посібник призначений для поточного тематичного контролю знань : проведення самостійних і контрольних робіт при вивченні курсу алгебри в 10 класі. З кожної теми він містить чотири варіанти самостійних робіт з системами задач середнього, достатнього і високого рівнів. Завдання кожного рівня диференційовані за трьома ступенями складності. Для тематичного оцінювання контрольні роботи дані у чотирьох варіантах.

Для вчителів та учнів 10 класів.

Перегляд файлу

ТЕМАТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АЛГЕБРА

10 клас

 

Самостійні і контрольні роботи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2005

Укладачі: Капіносов А.М., Мартинюк С.В., Сень Я.Г.

 

 

 Навчально-методичний посібник призначений для поточного тематичного контролю знань : проведення самостійних і контрольних робіт при вивченні курсу алгебри в 10 класі. З кожної теми він містить чотири варіанти самостійних робіт з системами задач середнього, достатнього і високого рівнів. Завдання кожного рівня диференційовані за трьома ступенями складності. Для тематичного оцінювання контрольні роботи дані у чотирьох варіантах.

 Для вчителів та учнів 10 класів.

 

 

 

 

Рецензенти: Пекарська Л.В., методист кабінету математики Рівненського ОІППО;

  Бережна Г.А., учитель математики Запорізької СШ Апостолівського району Дніпропетровської області;

  Стецюк Т.А., методист управління освіти Рівненського міськвиконкому.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ЗМІСТ

Передмова…………………………………………………...............................4

Розділ І. Тригонометричні функції

Самостійні роботи

Тема 1. Функції…………………………………………..............................5

Тема 2. Перетворення графіків функцій……………………......................9

Тема 3. Тригонометричні функції……………………………....................14

Тематичне оцінювання (теми 1 — 3). Контрольна робота № 1…............18

Самостійні роботи

Тема 4. Співвідношення між тригонометричними

функціями одного і того ж аргументу……………....................21

Тема 5. Тригонометричні функції суми і різниці

двох чисел та подвійного аргументу………………...................25

Тема 6. Формули зведення……………………………….............................28

Тема 7. Перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток ……..............................................…....................................33

Тематичне оцінювання (теми 4 — 7). Контрольна робота № 2…..............37

Розділ ІІ. Тригонометричні рівняння і нерівності

Самостійні роботи

Тема 8. Обернені тригонометричні функції……………….........................41

Тема 9. Тригонометричні рівняння….……………………..........................44

Тема 10. Тригонометричні нерівності……………………...........................46

Тематичне оцінювання (теми 8 — 10). Контрольна робота № 3…............49

Розділ ІІІ. Степенева функція

Самостійні роботи

Тема 11. Корінь п-го степеня………………………….................................51

Тема 12. Ірраціональні рівняння….……………………..............................55

Тема 13. Степінь з раціональним показником……….................................58

Тематичне оцінювання (теми 11 — 12). Контрольна робота № 4….........62

Розділ ІV. Показникова і логарифмічна функція

Самостійні роботи

Тема 14. Показникова функція…………………………...............................66

Тема 15. Показникові рівняння….……………………..................................69

Тема 16. Показникові нерівності………………………………....................71

Тематичне оцінювання (теми 14 — 16). Контрольна робота № 5…..........73

Самостійні роботи

Тема 17. Логарифм числа………………………………................................77

Тема 18. Логарифмічна функція……………………………….....................80

Тема 19. Логарифмічні рівняння………………………………....................83

Тема 20. Логарифмічні нерівності………………………………..................85

Тематичне оцінювання (теми 16 — 20). Контрольна робота № 6..............87


ПЕРЕДМОВА

 Пропонований навчально-методичний посібник призначений для проведення самостійних робіт навчального і перевірного характеру та тематичного контрольного оцінювання. Самостійні роботи дані з кожної теми, а контрольні роботи з 2-3 тем у відповідності з рекомендаціями Міністерства освіти України.

 Виконання самостійних робіт передбачено у три етапи на 3 уроках (по 15-25 хв). Спочатку на першому із цих уроків учні виконують завдання середнього рівня. На другому етапі учні, які досягли середнього рівня (поточних балів 5 або 6), виконують системи завдань достатнього рівня, а інші — повторно виконують завдання середнього рівня іншого варіанту. На третьому етапі системи завдань високого рівня пропонуються учням, що досягли достатнього рівня. Учням, що не досягли середнього чи достатнього рівнів, рекомендуються для виконання системи завдань відповідного рівня.

 Інший спосіб використання самостійних робіт – виконання учнями завдань доступного рівня на завершальному етапі вивчення теми.

 Рекомендуємо просту систему оцінювання і самооцінювання успіхів при виконанні систем завдань рівня.

 Якщо учень виконав правильно завдання усіх трьох номерів рівня, його успіхи оцінюються вищими балами рівня (наприклад, балом 6 за завдання середнього рівня, балом 9 — достатнього рівня, балом 12 — високого рівня); якщо правильно виконано завдання двох номерів (будь-яких) — середнім балом рівня (відповідно бали 5, 8, 11); якщо ж виконано завдання одного номера — нижчим балом рівня (відповідно бали 4, 7, 10).

 Після закінчення самостійної роботи бажано відразу розглянути розв’язання задач, правильні відповіді. Це дасть можливість кожному учневі самостійно оцінити досягнення на основі зіставлення одержаних результатів із правильними.

 Оцінка за самостійну роботу виставляється за результатами її виконання на завершальному етапі.

 Під час проведення тематичних контрольних робіт учням рекомендуються учням завдання такого рівня, який відповідає його поточним успіхам при вивченні теми (за результатами самостійних робіт).

 У посібнику подано також орієнтовне плануванння систем уроків початкового вивчення теорії й уроків практики з розв’язування задач з кожної теми.


І. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

ТЕМА 1. ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ

Самостійні роботи

 

 1.  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Функція у = f(x) — непарна. Відомо, що f(5) = 12. Знайти f(5).

 2) Функція y = (x) — спадна на області визначення. Записати в порядку зростання значення функції: (0); (5); (12).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 3x;   2) ; 3) y = x2  4x + 3.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = x4 + 5x2  3.

3. Знайти координати вершини параболи y = 2x2  8x + 1 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(6; 3), яка проходить через точку С(4; 7). Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції:  f(7,4) і f(6,8).

3. Дослідити на парність функцію .

 

 2.  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Функція у = f(x) — парна. Відомо, що f(17) = 100. Знайти f(17).

 2) Функція y = h(x) — зростаюча на області визначення. Записати в порядку збільшення значення функції: h(0); h(20); h(1).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 4x;   2) ;  3) y = x2  4x  5.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ;  б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = 4x5  17x3 + x.

3. Знайти координати вершини параболи y = 3x2  12x + 3 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(1; 3), яка проходить через точку з ординатою 4. Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції:  f(1,6) і f(2,2).

3. Дослідити на парність функцію .

 

 3.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Функція у = (x) — парна. Відомо, що (0,2) = 12. Знайти (0,2).

 2) Функція y = f(x) — спадна на проміжку . Записати в порядку збільшення значення функції: f(14); f(0); f(3).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 3x + 1;  2) ; 3) y = x2  6x + 5.

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = x7  x3 +5х.

3. Знайти координати вершини параболи y = 2x2 + 4x + 1 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(1; 3), яка перетинає пряму у = 4. Знайти проміжки зростання і спадання функції і порівняти значення f(41) і f(10).

3. Дослідити на парність функцію .


 4.  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Функція у =(x) — непарна. Відомо, що (3) = 17. Знайти (3).

 2) Функція y = f(x) — зростаюча на проміжку . Записати в порядку збільшення значення функції: f(20); f(0); f(1).

2. Знайти область визначення функції: 

 1) y = ;  2) .

3. Побудувати графік функції і записати її властивості:

 1) y = 4x  1;  2) ;  3) y = x2  6x +8 .

Достатній рівень

1. 1) Знайти область визначення функції:

  а) ; б) .

2) Побудувати графік функції і записати її властивості.

2. Дослідити на парність функцію y = 4x6 + 2x4 + 3.

3. Знайти координати вершини параболи y = 3x2 + 18x + 3 і, не виконуючи побудови графіка, встановити область значень функції та проміжки монотонності.

Високий рівень

1. 1) Знайти область визначення функції .

 2) Побудувати графік функції .

2. Графіком квадратичної функції y = f(x) є парабола з вершиною у точці А(1; 3), яка не перетинає пряму у = 4. Знайти проміжок спадання функції і порівняти значення функції f(17) і f(27).

3. Дослідити на парність функцію .

 


ТЕМА 2. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

Самостійні роботи

 

 5.  Варіант 1.

Середній рівень

  1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у = x3 в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на 5 одиниць;

  в) розтягу від абсцис у 4 рази;

  г) стиску до абсцис удвічі;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 6 одиниць;

  е) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на – 4 одиниці.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = x2; y = x2; y = x2 + 1; y = (x + 4)2.

  1. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(3; 0),  В(0; 2) і С(3; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 3f(x); в) у = f(x); г) у = 3f(x).

  1. Побудувати графік функції y = (x  2)2+ 3.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від абсцис у 4 рази і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (3; 5).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = (x + 3)2 + 8.

3. Записати функції, графіки яких утворюються з графіка функції y = (x) в результаті його:

  а) стиску осі ординат у 3 рази; 

  б) розтягу від осі ординат у 7 разів;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC де А(4; 0), В(0; 2) і С(4; 0).Побудувати графік функції:

  а) y = (4x);  б) .

2. Побудувати графік функції .

3. Побудувати графік функції .

 

 6.  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на 3 одиниці;

  в) розтягу від осі абсцис у 7 разів;

  г) стиску до осі абсцис у 3 рази;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 8 одиниць;

  е) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на – 5 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = x3; y = x3; y = x3  8; y = (x  4)3.

  1. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(0; 0),  В(2; 3) і С(4; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = 2f(x); г) у = f(x).

  1. Побудувати графік функції y = (x + 2)2  4.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) стиску графіка функції до осі абсцис у 3 рази і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (2; 7).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = (x  2)2 + 4.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 5 разів;

  б) розтягу від точки (0; 0) вздовж осі абсцис у 3 рази;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(3; 0), В(0; 4) і С(3; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (3x);  б) .

2. Побудувати графік функції .

3. Побудувати графік функції .

 

 7.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення вздовж осі у на 5 одиниці;

  в) розтягу від точки (0; 0) вздовж осі ординат у 3 рази;

  г) стиску до точки (0; 0)  вздовж осі ординат у 4 рази;

  д) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на 7 одиниць;

  е) паралельного перенесення вздовж осі абсцис на – 6 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = ; y = ; y =  + 2; y = .

  1. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(2; 0),  В(0; 4) і С(2; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = f(x); г) у = f(x).

  1. Побудувати графік функції y = (x  1)2 + 3.

 

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від осі абсцис у 5 разів і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (4; 5).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = (x + 2)2 + 4.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 7 разів;

  б) розтягу від осі ординат у 2 рази;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(0; 0), В(3; 2) і С(6; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (3x);  б) .

2. Побудувати графік функції , подавши її у вигляді .

3. Побудувати графік функції .

 

 8.  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують з графіка функції у =  в результаті його:

  а) симетрії відносно осі х;

  б) паралельного перенесення уздовж осі у на 2 одиниці;

  в) розтягу від осі абсцис у 3 рази;

  г) стиску до осі абсцис у 4 рази;

  д) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на 5 одиниць;

  е) паралельного перенесення уздовж осі абсцис на – 6 одиниць.

 2) В одній і тій самій системі координат схематично побудувати графіки функцій: y = ; y = ; y =   2; y = .

2. Графіком функції у = f(x) є ламана АВС, де А(1; 0),  В(3; 4) і С(5; 0). Побудувати графік функції:

  а) у = f(x); б) у = 2f(x); в) у = f(x); г) у = f(x).

3. Побудувати графік функції y = (x  3)2  8.

Достатній рівень

1. 1) Задати формулою функцію, графік якої одержують у результаті послідовного виконання перетворень:

  а) розтягу графіка функції від осі абсцис у 5 разів і симетрією одержаного графіка відносно осі абсцис;             

  б) паралельного перенесення графіка функції , при якому його вершина переходить у точку з координатами (4; 7).

2) Схематично побудувати графік функції .

2. Побудувати графік функції  y = (x + 2)2  1.

3. Записати функції, які утворюються з графіка функції y =  в результаті його:

  а) стиску до осі ординат у 10 разів;

  б) розтягу від осі ординат у 5 разів;

  в) симетрії відносно осі y.

Високий рівень

1. 1) Побудувати схематично графік функції y = 

 2) Графіком функції y = (x) є ламана ABC, де А(0; 0), В(2; 2) і С(4; 0). Побудувати графік функції:

  а) y = (2x);  б) .

2. Побудувати графік функції , подавши її у вигляді .

3. Побудувати графік функції .

 


ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Самостійні роботи

 9.  Варіант 1.

Середній рівень

  1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола (0; 0) на кут радіан відображається у точку P . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = cos x на проміжку .

  1. Обчислити:

 1) sin 0 + cos 180 + ctg 90;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = 2tg x; б) ;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 2sin x; б) y = cos x + 3.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло із центром у початку координат, узявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (1 і 2) такі, що sin  = ; 

 б) кути  (1 і 2) такі, що tg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 2sin x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 3cos x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = tg .

3. Знайти період функції:

  а) y = sin 4x;  б) y = cos ;  в) y = tg 2x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2sin  і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = tg x + |tg x|.

 

 10.  Варіант 2.

Середній рівень

  1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0;0) на кут радіан відображається у точку P . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = sin x на проміжку .

  1. Обчислити:

 1) sin 90 + cos 0 + tg 0;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = 3tg x; б) ;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 4sin x; б) y = cos x + 5.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло із центром у початку координат, узявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (1 і 2) такі, що cos  = ; 

 б) кути  (1 і 2) такі, що ctg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 3cos x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 4sin x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = ctg .

3. Знайти період функції:

  а) y = sin 2x;  б) y = cos ;  в) y = ctg 2x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4cos  і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = ctg x + |ctg x|.

 


 11.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут радіан відображається у точку P . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = tg x на проміжку .

  1. Обчислити:

 1) 2sin 30 + cos 30;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції: а) y = tg x; б) y = 2ctg x;

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = cos x; б) y = sin x + 7.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (1 і 2) такі, що sin  = ; 

 б) кути  (1 і 2) такі, що ctg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 3sin x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 3sin x + 4.

2. Знайти область визначення функції y = tg 4x.

3. Знайти період функції:

  а) y = sin ;  б) y = cos 4x;  в) y = tg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3sin 4x і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = sin x + |sin x|.

 


 12.  Варіант 4.

Середній рівень

  1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут радіан відображається у точку P . Записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = ctg x на проміжку .

  1. Обчислити:

 1) cos 45 + sin 60;  2) .

3. 1) Знайти область визначення функції:  а) y = 0,1tg x; б) y = 4,3ctg x.

 2) Знайти множину значень функції:  а) y = 2cos x; б) y = sin x + 10.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати систему координат і одиничне коло, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Зобразити:

 а) кути  (1 і 2) такі, що cos  = ; 

 б) кути  (1 і 2) такі, що tg  = 2.

2) Побудувати графік функції y = 2cos x і записати її властивості.

3) Знайти область значень функції y = 2cos x + 5.

2. Знайти область визначення функції y = ctg 4x.

3. Знайти період функції:

  а) y = sin ;  б) y = cos 8x;  в) y = ctg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3cos 2x і записати її властивості.

 2) Знайти область визначення функції .

2. Знайти область значень функції y = 

3. Побудувати графік функції y = cos x + |cos x|.

 

 

 

 

Тематичне оцінювання: теми 1  3

Контрольна робота 1

 13. Варіант 1.

Середній рівень

  1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут відображається у точку P . Виконати рисунок, узявши за одиничний відрізок 5 клітинок, і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = sin x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення синуса дорівнює .

  1. Знайти область визначення функції:

 а) ; б) y = 4cos x; г) y = 8tg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 10sin x; б) y = 12 + cos x.

Достатній рівень

  1. 1) Побудувати графік функції y = 4sin x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 5cos x + 8.

  1. Знайти область визначення функції y = tg 2x.

3. Знайти період функції: а) y = sin ; в) y = ctg 8x.

Високий рівень

  1. 1) Побудувати графік функції y = 3cos  і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

  1. Дослідити на парність функцію y = .
  2. Побудувати графік функції y = |tg x|.

 


 14.  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут відображається у точку P . Виконати рисунок, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки, і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = cos x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення косинуса дорівнює .

  1. Знайти область визначення функції:

 а) ;  б) y = 5cos x;  г) y = 10tg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 12sin x; б) y = 14 + cos x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 4cos x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 12sin x + 3.

2. Знайти область визначення функції y = ctg .

3. Знайти період функції: а) y = cos 6x;   в) y = tg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 3sin 2x і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = |ctg x|.

 

 15.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут відображається у точку P . Виконати рисунок, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = tg x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення тангенса дорівнює 1.

  1. Знайти область визначення функції:

 а) ;  б) y = 12sin x;  г) y = 16ctg x.

3. Знайти область значень функції:  а) y = 14sin x; б) y = 7 + cos x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2sin x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 4cos x + 3.

2. Знайти область визначення функції y = tg  + 1.

3. Знайти період функції: а) y = cos ;  в) y = tg 6x.

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2cos  і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = tg |x|.

 

 16.  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Початкова точка P0 (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола О (0; 0) на кут відображається у точку P . Виконати рисунок, узявши за одиничний відрізок 4 клітинки і записати:

 а) sin ;  б) cos ;  в) tg ;  г) ctg .

 2) Побудувати графік функції y = ctg x на проміжку і позначити на осі абсцис точки, в яких значення котангенса дорівнює 1.

2. Знайти область значень функції:

 а) ;  б) y = cos x;  г) y = 7ctg x.

3. Знайти множину значень функції:  а) y = 20cos x; б) y = 9 + sin x.

Достатній рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2cos x і записати її властивості.

2) Знайти область значень функції y = 5sin x + 4.

2. Знайти область визначення функції y = ctg 4x + 5.

3. Знайти період функції: а) y = sin 10x;  в) y = ctg .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік функції y = 2sin 4x і записати її властивості.

 2) Знайти період функції .

2. Дослідити на парність функцію y = .

3. Побудувати графік функції y = ctg |x|.

 

ТЕМА 4.СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО Й ТОГО САМОГО АРГУМЕНТУ

Самостійні роботи

 

 17.  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) sin2 17 + cos2 17; 2) tg  ctg;  3) 1 + tg2 4.

2. 1) 1  sin2 29;  2) –sin2   cos2 ; 3) .

3. Обчислити:

 1) sin , tg , ctg , якщо cos  = 0,6 і .

 2) cos2 , якщо tg  = 3.

 Спростити вираз:

 3) tg  ctg  + ctg2 ; 4) (sin   cos )2 + 2sin  cos .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , tg , якщо ctg  =  і .

2) Спростити вираз ctg  tg .

2. Спростити вираз (1  ctg )2 + (1 + ctg )2.

3. Довести тотожність ctg2   сos2  = cos2  ctg2 .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти sin , tg , ctg .

2) Довести тотожність .

2. Відомо, що tg  = 3. Обчислити .

3. Обчислити sin  cos , якщо sin   cos  = 

 

 18.  Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) sin2 71 + cos2 71;  2) tg  ctg;  3) 1 + ctg2 3.

2. 1) 1  cos2 15;  2) –3sin2   3cos2 ; 3) .

3. Обчислити:

 1) cos , tg , ctg , якщо sin  = 0,8 і .

 2) sin2 , якщо ctg  = 5.

 Спростити вираз:

 3) tg2  + tg  ctg ;  4) (sin x + cos x)2  2sin x cos x.

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , ctg , якщо tg  =  і .

2) Спростити вираз  + ctg  tg .

2. Спростити вираз (1 + tg )2 + (1  tg )2.

3. Довести тотожність tg2   sin2  = tg2  sin2 .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність tg4 .

2. Відомо, що ctg  = 2. Обчислити .

3. Обчислити sin  cos , якщо sin  + cos  = 

 

 19.  Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) соs2  + sin2 ;  2) ctg 1 tg 1;  3) ctg2 17 + 1.

2. 1) 1  cos2 28;  2) –cos2   sin2 ; 3) .

3. Обчислити:

 1) sin , tg , ctg , якщо cos  = 0,8 і .

 2) cos2 , якщо tg  = 4.

 Спростити вираз:

 3) 1  sin  tg  cos ; 4) (1 + ctg )2  2ctg .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos , tg , якщо ctg  =  і .

2) Спростити вираз sin2  + cos4 (1 + tg2 ).

2. Спростити вираз (sin  + cos )2 + tg2   2sin  cos .

3. Довести тотожність  = cos .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність 1  3sin2  cos2  = sin6  + cos6 .

2. Відомо, що ctg  = 2. Обчислити .

3. tg  + ctg  = 3. Обчислити tg2  + ctg2 .


 20.  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) соs2 72 + sin2 72;  2) ctg tg ;  3) ctg2 3 + 1.

2. 1) 1  sin2 51;  2) –2cos2   2sin2 ; 3) .

3. Обчислити:

 1) cos , tg , ctg , якщо sin  = 0,6 і .

 2) sin2 , якщо ctg  = 2.

 Спростити вираз:

 3) 1  sin  ctg  cos ; 4) (1 + tg )2  2tg .

Достатній рівень

1. 1) Обчислити sin , cos  і ctg , якщо tg  =  і .

2) Спростити вираз cos2  + sin4 (1 + ctg2 ).

2. Спростити вираз (sin   cos )2 + ctg2  + 2sin  cos .

3. Довести тотожність  = sin .

Високий рівень

1. 1) Відомо, що , де . Знайти cos , tg  і ctg .

2) Довести тотожність  = 2 cos4 .

2. Відомо, що tg  = 2. Обчислити .

3. tg  + ctg  = 4. Обчислити tg2   ctg2 .

 


ТЕМА 5. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ СУМИ І РІЗНИЦІ ДВОХ ЧИСЕЛ ТА ПОДВІЙНОГО АРГУМЕНТУ

Самостійні роботи

 21.  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 9cos  + sin 9sin;  2) sin 7cos 2  sin 2cos 7;

 3) ; 4) 2sin 15cos 15; 5) cos210  sin2 10.

2. 1) cos ( + )  cos  cos ;  2) 2cos2 4  1.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз sin(60 + ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = 3;

2) cos 75, подавши кут 75, як суму 30 + 45;

3) sin 2, якщо sin  = 0,6 і кут 1 чверті.

2. Знайти значення виразу .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити sin ( + ), якщо , , і — кути І чверті.

2) Знайти tg, якщо і — кут ІІІ чверті.

3) Обчислити tg 2, якщо sin  = 0,6 і .

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність sin 3 = 3sin   4sin3 .

 


 22.  Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 11cos   sin 11sin; 2) sin 4cos 1 + sin 1cos 4;

 3) ; 4) 2sin 10cos 10; 5) cos215  sin2 15.

2. 1) cos (  )  sin  sin ;   2) 1  2sin2 4.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз sin(30  ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = 4;

2) cos 15, подавши кут 15, як різницю 45  30;

3) sin 2, якщо cos  = 0,6 і кут ІІ чверті.

2. Знайти значення виразу 2cos(60  )  .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити sin ( + ), якщо , , — кут ІІ чверті, — кут ІV чверті.

2) Знайти tg, якщо , .

3) Обчислити tg 2, якщо cos  = 0,8 і .

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність cos 3 = 4cos3   3cos .

 

 23.  Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 13 cos 17  sin 13 sin17; 2) sin 6 cos 2 + sin 2 cos 6;

 3) ; 4) 2sin 4cos 4; 5) cos242  sin2 42.

2. 1) sin  cos   sin (  );   2) 2cos2 10  1.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз cos(60  ).

Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = ;

2) sin 15, подавши кут 15, як різницю 45  30;

3) cos 2, якщо cos  = , .

2. Знайти значення виразу cos   2cos (  30) + sin .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити cos ( + ), якщо cos  = 0,5, sin  = 0,4, , .

2) tg (  45) = 3. Знайти tg .

3) cos  = , . Знайти tg 2.

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність

 sin ( + )  sin  cos3   cos  sin3  = sin  cos  cos (  ).

 

 24.  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos 47 cos 2 + sin 47 sin 2; 2) sin 10 cos 4  sin 4 cos 10;

 3) ;  4) ; 5) .

2. 1) sin ( + )  sin  cos ; 2) 1  2cos2 8.

3. Використавши формулу додавання, перетворити вираз cos(45  ).


Достатній рівень

1. Обчислити:

 1) tg , якщо tg  = ;

2) sin 75, подавши кут 75, як суму 30 + 45;

3) cos 2, якщо sin  = , .

2. Знайти значення виразу sin (  45)  sin  + cos .

3. Довести тотожність .

Високий рівень

1. 1) Обчислити cos (  ), якщо sin  = , cos  = , , .

2) tg ( + 45) = 4. Знайти tg .

3) sin  = 0,96, . Обчислити tg 2.

2. Довести тотожність .

3. Довести тотожність

 cos (  )  sin  sin3   cos  cos3  = sin  cos  sin ( + ).

 

ТЕМА 6. ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Самостійні роботи

 25.  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 20:

  а) sin (90 + 20);   б) tg (180  20); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) cos;   б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (180  30);   б) ctg (270  60).

 2) Cпростити вираз sin.

3. 1) Обчислити:   а) cos 135;  б) sin 300.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) ctg 0,6;   б) tg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання, довести рівність sin ( + ) = sin .

2) Спростити вираз sin (90  )  cos (180  )  ctg (270 + ).

3) Обчислити:  а) sin ;  б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) sin ;   б) cos (  ).

3. Обчислити:   а) tg (330); б) cos 510.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність sin (45 + ) = cos (45  ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) sin 1914;   б) tg (1560).

3) Довести тотожність

tg (  )  ctg   cos (  ) = 2cos .

2. Довести, що коли , і — кути трикутника, то cos ( + ) = cos .

3. Довести, що рівність tg 1 tg 2 tg 3 tg 87 tg 88 tg 89 = 1 правильна.

 

 26.  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 35:

  а) tg (180 + 35);  б) cos (270  35); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) cos ;  б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (180 + 60);  б) tg (270  30).

 2) Cпростити вираз cos.

3. 1) Обчислити:  а) sin 135;  б) cos 210.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) tg ;   б) ctg 0,7;  б) tg 1,6.

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність cos  = sin .

2) Спростити вираз sin (180  ) + cos (90  ) + ctg (270  ).

3) Обчислити:  а) cos ;  б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) cos ;   б) sin (  ).

3. Обчислити:   а) sin (300); б) tg 480.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність cos (45 + ) = sin (45  ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 2024;   б) tg (1560).

3) Спростити вираз:

tg (  360)  ctg (  270)  sin (  180)  cos ( + 90).

2. Довести, що коли , і — кути трикутника, то sin ( + ) = sin .

3. Обчислити суму sin 0 + sin 1 + sin 2+ sin 3 sin 357 + sin 358 + sin 359 + sin 360.

 


 27.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 15:

  а) sin (180  15);  б) tg (270 + 15); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) ctg;  б) cos .

2. 1) Обчислити:

  а) cos (270  60);  б) tg (180  30).

 2) Cпростити вираз sin.

3. 1) Обчислити:  а) sin 150;  б) ctg 225.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 0,9;  б) tg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність tg (  ) = tg .

2) Спростити вираз sin (90 + ) + cos (180  ) + tg (270 + ) + ctg (360  ).

3) Обчислити:  а) cos ; б) tg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) ctg ;  б) cos (  2).

3. Обчислити:   а) cos 495;  б) tg (240).

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність tg (45 + ) = ctg (45  ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) sin 2030;  б) tg (865).

3) Спростити вираз:

sin  + cos (  )  tg  + ctg (2  ).

2. , і — кути трикутника. Довести, що sin  = cos .

3. Обчислити суму tg 20 + tg 40 + tg 60+  + tg 160 + tg 180.

 

 28.  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Звести до тригонометричної функції кута 50:

  а) sin (180 + 50);  б) cos (270  50); 

 2) Звести до тригонометричної функції кута :

  а) tg;  б) ctg .

2. 1) Обчислити:

  а) sin (270 + 45);  б) cos (180 + 30).

 2) Cпростити вираз tg.

3. 1) Обчислити:  а) sin 150; б) tg 330.

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 0,6;  б) ctg .

Достатній рівень

1. 1) За допомогою формули додавання довести рівність tg ( + ) = tg .

2) Спростити вираз sin (270 + ) + cos (180  ) + tg (90  ) + ctg (90 + ).

3) Обчислити:  а) sin ;  б) ctg.

2. Звести до тригонометричної функції гострого кута :

  а) tg ;   б) sin (  2).

3. Обчислити:   а) sin (315); б) cos 570.

Високий рівень

1. 1) Використавши формулу зведення, довести тотожність tg (45  ) = ctg (45 + ).

2) Звести до тригонометричної функції гострого кута:

 а) cos 300;   б) ctg (928).

3) Спростити вираз:

sin  + cos (  )  tg (  ) + ctg .

2. , і — кути трикутника. Довести, що tg  = ctg .

3. Обчислити суму cos 20 + cos 40 + cos 60+  + cos 160 + cos 180.

 

ТЕМА 7.ПЕРЕТВОРЕННЯ СУМИ І РІЗНИЦІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ У ДОБУТОК

Самостійні роботи

 

 29.  Варіант 1.

Середній рівень

1. Записати у вигляді добутку:

 1) sin 5 + sin ;  2) sin 40  sin 10;

 3) cos  + cos ;  4) cos 2  cos 7.

2. Cпростити вираз:

 1) sin 70 + sin 20;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) sin 28 cos 66;  2) + cos .

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin  + cos .

3) Довести тотожність tg  + tg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1 + 2cos .

3. sin  + sin 3 + sin 5 + sin 7.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) cos2   cos2 ;  2) sin  + sin  + sin ( + ).

3) Обчислити sin 5  sin 3, якщо sin  = .

2. Використовуючи формулу різниці косинусів, довести формулу sin  sin  =  і перетворити на суму добуток sin 10 sin 8.

3. , і — кути трикутника. Довести, що tg  + tg  + tg  = tg  tg  tg .

 


 30.  Варіант 2.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 7  sin ;  2) sin 2 + sin 4;  

 3) ;  4) cos 10  cos 20.

2. Cпростити вираз:

 1) sin 80  sin 10;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) cos 25 sin 25;  2) + sin .

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin   cos .

3) Довести тотожність ctg  + ctg = .

 Подати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1  2sin .

3. cos 2x  cos 4x  cos 6x + cos 8x.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) sin2   sin2 ;  2) sin  + sin  + sin (  ).

3) Обчислити cos 2  cos 6, якщо cos  = .

2. Використовуючи формулу різниці косинусів, довести формулу cos  cos  =  і перетворити на суму добуток cos 55  cos 15.

3. , і — кути трикутника. Довести, що sin  + sin  + sin  = 4cos  cos  cos .

 

 31.  Варіант 3.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 8 + sin 2;  2) sin 50  sin 20;

 3) ;  4) cos 3  cos 9.

2. Cпростити вираз:

 1) cos 10 + cos 50;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) sin 2+ cos 86;  2) + sin 10.

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз cos  + sin .

3) Довести тотожність tg   tg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. 1  sin .

3. cos  + sin 2 + cos 3 + sin 4.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) 3  4cos2;  2) sin   sin   sin ( + ).

3) Обчислити sin 3  sin 5, якщо sin  = .

2. Довести тотожність 1 + sin  + cos  =  cos cos .

3. , і — кути трикутника. Довести, що sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4sin  sin  sin .

 


 32.  Варіант 4.

Середній рівень

1.  Записати у вигляді добутку (1 —4):

 1) sin 75 + sin 5;  2) sin 12  sin 2;

 3) ;  4) cos 4  cos 6.

2. Cпростити вираз:

 1) cos 20  cos 70;  2) .

3. Записати у вигляді добутку вираз:

 1) cos 2+ sin 84;  2)  sin 5.

Достатній рівень

1. 1) Спростити вираз.

2) Подати у вигляді добутку вираз sin   cos .

3) Довести тотожність ctg   ctg = .

 Записати у вигляді добутку (2 — 3):

2. .

3. sin  + cos 2 + sin 3 + cos 4.

Високий рівень

1. Перетворити у добуток (1 — 2):

 1) 1  4sin2 ;  2) sin  + sin   sin ( + ).

3) Обчислити cos 3  cos 5, якщо sin  = .

2. Довести тотожність 1  cos  + sin  =  sin cos .

3. , і — кути трикутника. Довести, що sin  + sin  = 2cos.

 


Тематичне оцінювання: теми 4  7

Контрольна робота 2

 33.  Варіант 1.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) cos2 8 + sin2 8;  2) cos2 8  sin2 8;

 3)   ;  4) sin 50 + sin 40.

2. 1) cos ( + ) + sin  sin ; 2) .

3. 1) sin  = 0,6;  <  < . Обчислити: cos , tg , sin 2.              

 2) tg  = 3; 0 <  < . Обчислити: cos2 , cos , tg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , sin 2, sin 4.

2) Обчислити tg15.

3) Довести, що sin 35 + cos 65 = cos 5.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( + ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута: tg 2005.

3) Довести, що .

2. Довести тотожність .

3. Довести, що .

 

 34.  Варіант 2.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 1 + sin2 12 + cos2 12; 2) 2sin 12 cos 12;

 3)   ;  4) cos 50 + cos 40.

2. 1) sin (  )  sin  cos ; 2) .

3. 1) cos  = ;  <  < . Обчислити: sin , ctg , cos 2.  

 2) ctg  = 3; 0 <  < . Обчислити: sin , tg 2, ctg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , cos 2, cos 4.

2) Обчислити tg75.

3) Довести, що cos 12  sin 42 = sin 18.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg (  ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута: sin 2005.

3) Довести, що .

2. Довести тотожність .

3. Довести, що .

 

 35.  Варіант 3.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 6 + sin2 6 + cos2 6; 2) 2sin 6  cos 6;

 3)   ; 4) sin 50  sin 40.

2. 1) sin  cos   sin ( + ); 2) .

3. 1) sin  = ; 0 <  < . Обчислити: cos , ctg , cos 2.  

 2) tg  = 2;  <  < 2. Обчислити: cos , tg 2, ctg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити tg , tg 2, tg 4.

2) Обчислити tg105.

3) Довести, що sin 40 + cos 70 = cos 10.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg (  ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кут sin 594.

3) Довести, що .

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. Довести, що .

 


 36.  Варіант 4.

Середній рівень

 Спростити вираз (1 — 2):

1. 1) 14 + cos2 14 + sin2 14;  2) cos2 14 sin2 14;

 3)   ;  4) cos 50  cos 40.

2. 1) cos (  )  cos  cos ; 2) .

3. 1) cos  = ; 0 <  < . Обчислити: sin , cos 2, sin 2.  

 2) ctg  = 2;  <  < . Обчислити: cos , tg 2, сtg 2.

Достатній рівень

1. 1) , . Обчислити sin , sin 2, sin 4.

2) Обчислити sin 105.

3) Довести, що cos 20  sin 50 = sin 10.

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. .

Високий рівень

1. 1) , , , . Обчислити ctg ( + ).

 2) Звести до тригонометричної функції гострого кута tg 624.

3) Довести, що .

 Довести тотожність (2 — 3):

2. .

3. Довести, що .

 


ІІ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

ТЕМА 8.ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Самостійні роботи

 37.  Варіант 1.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arcsin  = ;  б) arctg (1) = .

 2) Знайти:  а) arcsin ; б) arccos ;        в) arcctg (1).

2. Побудувати графік функції y = arcsin x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 4 клітинки. Позначити точку P0 (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P0A = arcsin; б) P0B = arccos; в) P0C = arctg 2.

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ; б) tg.

2) Побудувати графік функції у = 2arccos x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arcsin (x  2).

3. Розв’язати рівняння arctg (2x  1) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) sin; б) tg .

2) Побудувати графік функції y = arccos (x + 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcsin (x) = arcsin x.

2. Обчислити cos .

3. Побудувати графік функції y = sin(arcsin x).


 38.  Варіант 2.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arccos  = ;  б) arсctg  = 150.

 2) Знайти:

  а) arcsin ;  б) arccos ;  в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arccos x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 3 клітинки. Позначити точку P0 (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P0A = arcsin; б) P0B = arccos; в) P0C = arctg (2).

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) tg.

2) Побудувати графік функції у = 2arcsin x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arccos (x + 3).

3. Розв’язати рівняння arcctg (3x  1) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) cos; б) tg .

2) Побудувати графік функції y = arcsin (x  1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcctg (x) =  arcctg x.

2. Обчислити sin .

3. Побудувати графік функції y = cos(arccos x).

 

 39.  Варіант 3.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arcsin (1) = ; б) arcctg  = .

 2) Знайти:

  а) arccos ;  б) arcsin ; в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 5 клітинок. Позначити точку P0 (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P0A = arcsin;    б) P0B = arccos;    в) P0C = arcctg .

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) cos.

2) Побудувати графік функції у = 2arcctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arcsin (3x  1).

3. Розв’язати рівняння arccos (3x + 4) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) ctg; б) cos .

2) Побудувати графік функції y = arcsin (x + 1) і записати її властивості.

3) Довести, що arcsin x =  arccos x.

2. Обчислити cos .

3. Побудувати графік функції y = .

 

 40.  Варіант 4.

Середній рівень

1. 1) Записати за допомогою тригонометричної функції рівність:

  а) arccos 0 = ;  б) arcsin  = .

 2) Знайти:

  а) arccos ;  б) arctg ;  в) arcctg .

2. Побудувати графік функції y = arcctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

3. Накреслити систему координат і одиничне коло з центром у початку координат, взявши за одиничний відрізок 2 клітинки. Позначити точку P0 (1; 0) і побудувати дугу:

  а) P0A = arcsin; б) P0B = arctg 2;        в) P0C = arcctg (3).

Достатній рівень

1. 1) Знайти:  а) ;  б) ctg.

2) Побудувати графік функції у = 2arctg x і записати її властивості (область визначення, область значень, монотонність, парність).

2. Знайти область визначення функції у = arccos .

3. Розв’язати рівняння arcctg (2x + 5) = .

Високий рівень

1. 1) Обчислити: а) sin; б) ctg .

2) Побудувати графік функції y = arccos (x  1) і записати її властивості.

3) Довести, що arctg x =  arcctg x.

2. Обчислити sin .

3. Побудувати графік функції y = .

 

ТЕМА 9. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Самостійні роботи

 41.  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) sin 2x = ;  2) cos = 1;

2. tg2x + 2tg x  3 = 0.

3. sin 3x + sin x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) 2sin2 x + 5cos x  4 = 0;  2) cos 10x = cos2 x  sin2x.

2. sin2 x + 10cos2 x = 11sin x cos x.

3. sin x + cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 5cos x  3sin x = ;   2) tg x = tg 2x.

2. sin2 x + sin2 3x = 1.

3. Розв’язати систему рівнянь

 42.  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) tg 2x = ;  2) sin = 0;

2. сos2x  11cos x + 10 = 0.

3. sin 10x  sin 4x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x + 8sin x  7 = 0;  2) sin 4x = cos2 x  sin2x.

2. 6sin2 x  7sin x cos x + cos2 x = 0.

3. sin x  cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 9cos x  13sin x = ;  2) tg 4x = tg x.

2. cos2 x + cos2 2x = 1.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

 43.  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 4x = ;   2) tg = 0;

2. sin2x + 3sin x  4 = 0.

3. cos 3x + cos x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x + 8sin x  7 = 0.

2) cos x + cos 3x  cos 2x = 0.

2. 3sin2 x  8sin x cos x + 7 cos2 x = 1.

3. sin x  cos x = 1.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) 2(cos4 x  sin4 x) = 1; 2) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

2. cos 7x cos 10x = cos 2x cos 15x.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

 44.  Варіант 4.

Середній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) sin 4x = ;  2) tg = 0;

2. ctg2x  8ctg x + 7 = 0.

3. cos 9x  cos x = 0.

Достатній рівень

 Розв’язати рівняння:

1. 1) cos 2x  10cos x  11 = 0.

2) cos 6x = cos2 2x  sin2 2x.

2. 2sin2 x  8sin x cos x + 8 cos2 x = 1.

3. cos x + sin x = 2.

Високий рівень

 Розв’язати рівняння (1 — 2):

1. 1) cos4 1,5x  sin4 1,5x = ;  2) cos 3x + sin 3x = cos x + sin x.

2. sin 5x sin 3x + cos 7x cos x = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь

 

ТЕМА 10. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Самостійні роботи

 45.  Варіант 1.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) sin x > ;   2) tg x < ;

2. ctg 2x < .   3. 2cos x  1  0.

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos .   2. 4sin 4x cos 4x > .

3. cos 5x cos x  sin 5x sin x < .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2sin2 x + sin x  1 < 0. 2. sin x + sin 3x + sin 2x > 0.

3. 2cos2 >1.

 

 46.  Варіант 2.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) cos x > ;  2) ctg x < ;

2. tg < 1.   3. 2sin x + .

Достатній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. tg .  2. sin x cos x < .

3. sin 2x sin 5x + cos 2x cos 5x > .

Високий рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 2cos2 x  cos x  1 < 0. 2. sin x + sin 3x  sin 2x < 0.

3. tg2 x < 1.

 47.  Варіант 3.

Середній рівень

 Розв’язати нерівність:

1. 1) cos