Елементи аналітичної геометрії

 Пряма на площині

Є кілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, зручно скористатись для її розв’язання тим чи іншим типом рівняння.

а) Загальне рівняння прямої на площині

У прямокутній декартовій системі координат пряма  перпендикулярна вектору , який називають нормальним вектором  прямої.

б) Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно вектору

в)   Рівняння   прямої,   яка   проходить   через   точку   паралельно напрямному вектору

г)   Рівняння  прямої,  яка  проходить  через  точки  та

.

Зауваження.  Якщо  , то рівняння прямої має вигляд  ; аналогічно при рівняння прямої має вигляд .

д) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

де – кутовий коефіцієнт.

е)  Рівняння   прямої,   яка  проходить  через  точку   і  має кутовий коефіцієнт

Якщо дві прямі задані  загальними рівняннями і  , то один з кутів між ними знаходиться з формули

Умова перпендикулярності прямих:

Умова паралельності прямих:

(при прямі паралельні, при прямі співпадають).

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами і , то один з кутів між ними знаходиться з формули

Умова перпендикулярності прямих:

Умова паралельності прямих:

Відстань від точки до прямої обчислюють за формулою

Вправи для самостійного розв’язання

1.  Визначити, які з точок , , , лежать на прямій .

2.  На прямій знайти точку, у якої координата .

3.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно вектору .

4.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно вектору .

5.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через дві точки і .

6.  Знайти точку перетину прямих і .

7.  Знайти рівняння прямої, яка відтинає від осі відрізок і утворює кут з додатним напрямом осі .

8.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку і утворює кут з додатним напрямом осі .

9.  Знайти кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки і .

10.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої .

11.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно до прямої .

12.  Відомі координати вершин трикутника , , . Знайти рівняння середньої лінії цього трикутника, яка паралельна до сторони .

13.  Відомі координати вершин трикутника: , , . Знайти рівняння висоти цього трикутника, проведеної з вершини до сторони .

14.  Визначити кут між прямими:

а) і ;

б) і .

15.  Перевірити, чи перпендикулярні прямі:

а) і ,

б) і .

16.  Перевірити, чи паралельні прямі:

а) і ;

б) і .

17.  Знайти відстань від точки до прямої .

18.  Знайти відстань між паралельними прямими і .