:Урок: Арифметична прогресія та її властивості.

Тема уроку:  Арифметична прогресія та її властивості.

Мета уроку:  ввести поняття арифметичної прогресії; познайомити учнів з  властивостями арифметичної прогресії;сформувати вміння застосовувати поняття та властивості арифметичної прогресії до розв’язування задач.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь, навичок.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

   Повідомлення теми уроку, мети уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність домашнього завдання перевіряють чергові.
2. Перевіряємо виконання деяких вправ домашнього завдання.
3. Математичний диктант.

    Завдання заздалегідь написані на дошці. Два учні працюють на скритій дошці. По їх роботах перевіряємо результати роботи класу.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

      Дану тему викладаю у вигляді шкільної лекції за планом. До розкриття окремих пунктів плану залучаю учнів.

План вивчення теми.

1. Означення арифметичної прогресії.
2. Різниця арифметичної прогресії.
3.  Властивості арифметичної прогресії.

Розповідь вчителя.

1.Звертаємось до №1 з математичного диктанту.

     Послідовність парних натуральних чисел. Кожен наступний член послідовності більший від попереднього на 3 ( 4-2=2, 6-4=2, 8-6=2 і т. д. ) .      Послідовність  натуральних чисел, що кратні 5. Кожен наступний член послідовності більший від попереднього на 5 ( 10-5=5, 15-10=5 і т. д.).

   Означення . Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число.

2. Стале для даної прогресії число називають різницею, його позначають d. У наших прикладах d=2 та d=5.

    Якщо а₁, а₂, а₃, … , a_n, … - арифметична прогресія, то

                                 а₂= а₁+ d,      а₃= а₂+ d,   …  , а_n= а_n-1 + d.

Запитання до класу.

1. Які з даних послідовностей є арифметичною прогресією? Назвати різницю цих прогресій:

      а) 4; 3; 2; 1; 0 (d= -1).

      б) -3; -1; 1; 4; 6( не є арифметичною прогресією).

      в) 2; 5; 8; 11; … (d= 3).

     г)  5; 5; 5; 5; … (d= 0).

2. Яка з наведених арифметичних прогресій зростаюча? Яка спадна? Чому?
3. Написати п’ять перших членів прогресії, у якої  а₁=2, d=5.

Учні дають свої відповіді, посилаючись на відповідний теоретичний матеріал.

3. Теорема 1. Будь-який член арифметичної прогресії, крім першого, дорівнює         півсумі двох сусідніх з ним членів:  a_n = .

Доведення.

  За означення: d = a_n+1 – a_n ,  d = a_n – a_n-1 .

  Отже,   a_n+1 – a_n = a_n – a_n-1, звідси  a_n = .

  Правильне й обернене твердження. Учні доводять  його самостійно.

4. Теорема 2. Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів  a_k + a_{n –(k-1)} = a₁ + a_n.

Доведення.

  Нехай дано n членів скінченної арифметичної прогресії:

            а₁,  а₂,  а₃,  а₄, … , a_n-3,  a_n-2,  a_n-1, a_n.

Нехай a₁ + a_n = m. Тоді a₂ + a_n-1=( а₁+ d)+( а_n – d)= a₁ + a_n = m,

                                      a₃ + a_n-2=( а₂+ d)+( а_n-1 – d)= a₂ + a_n-1 = m,

 a₄ + a_n-3=( а₃+ d)+( а_n-2 – d)= a₃ + a_n-2 = m  і т. д.

Отже, a_k + a_{n –(k-1)} = a₁ + a_n.

ІV. Закріплення нових знань та вмінь учнів.

       Роздаю учням листочки із завданнями,  які потрібно розв’язати на уроці. Працюємо колективно, обговорюючи план розв’язання та записуємо розв’язки на дошці та у зошити до окремих завдань. Учні, які зрозуміли теоретичний матеріал працюють самостійно, перевіряючи себе по даних відповідях на дошці.

№1. Вкажіть перший член і різницю арифметичної прогресії (a_n):

                 а) 2; 7; 12; … ;                              б)   6; 5,5; 5; … .

№2. Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії (a_n):

                а) 7; 11; 15; …;                             б) 13; 10; 7; … .

№3. Знайдіть різницю і перший член  арифметичної прогресії (a_n):

                а) a₁; 4; 7; …;                                б) a₁; 5; 3; … .

№4. Знайдіть другий член арифметичної прогресії (a_n), у якій:

                а) a₁ = 10,  d = 5;                         б)  a₁ = 4,5;  d = - 0,5.

№5. Знайдіть шостий член арифметичної прогресії, якщо п’ятий та сьомий її члени відповідно дорівнюють:

              а) 4,8 і 7, 8;                                     б) -16, 8 і 22.

№6. Чи є послідовними членами арифметичної прогресії числа:

          а) 7+; 9+ 2; 10 + 3;              б) 4; ; 4- 4?

№7. Між числами -5 і -11 вставте число так, щоб ці три числа утворювали арифметичну прогресію.

№8. Знайдіть другий і четвертий члени арифметичної прогресії:                                                                   а) 1; с₂; 0,9; с₄; … ;                          б) -; а₂; 3; а₄; … .

№9. При яких значеннях  m  числа   2,  2m-30  і  m-8  є трьома послідовними членами арифметичної прогресії?

№10. Олег, Петро, Сергій та Андрій ловили рибу. Кількості рибин, які вони впіймали, утворюють арифметичну прогресію. Найменше рибин – 9 – упіймав Петро, а найбільше – 18 – Олег. Скільки рибин упіймали Сергій та Андрій разом? Скільки всього рибин упіймали хлопці?

V. Підсумок уроку.

       Обговорюємо вивчений матеріал та повторюємо основні визначення. Відповідаю на питання учнів, що виникли при виконанні вправ.

VІ. Домашнє завдання.

     §21, №866 – 869, 906.