Арифметична прогресія у тандемі з лінійною функцією

Про матеріал

Арифметична прогресія є одним із найпоширеніших видів числових послідовностей, які вивчаються у шкільному курсі математики. Вона дозволяє описувати закономірності, що зустрічаються як у теоретичних задачах, так і в практичних ситуаціях. Проте значно ширші можливості для аналізу виникають тоді, коли елементи арифметичної прогресії зображуються на координатній площині. Графічне подання дозволяє чітко побачити характер зміни послідовності, визначити її властивості та простежити залежності між елементами прогресії.

Перегляд файлу

Арифметична прогресія у тандемі

з лінійною функцією

Роботу виконала:

Ікім Валентина Дмитрівна,

вчитель математики

Анотація

Робота присвячена вивченню властивостей арифметичної прогресії та особливостей її геометричного подання на координатній площині. На основі аналітичного підходу показано, що точки, координати яких утворюють арифметичну прогресію, розташовуються на одній прямій, а сама прогресія може бути представлена як рівновіддалені точки на цій прямій. Досліджено зв’язок між параметрами прогресії та геометричними властивостями відповідної лінійної функції. Проведено аналіз практичних прикладів, що демонструють можливості застосування арифметичних прогресій у задачах аналітичної геометрії. Результати роботи можуть бути використані під час викладання математики, у побудові графічних моделей та при розв’язуванні прикладних задач.

ЗМІСТ

ВСТУП .................................................................................................................. 3

РОЗДІЛ 1.

1.Взаємозв’язок між номером елемента арифметичної прогресії та його значенням. ……………………………………………………………………. 6

2. Розв’язування авторських задач двома способами: класичний (за допомогою кутового коефіцієнту) та за допомогою арифметичної прогресії. …………….. 8

3. Розв’язування авторських задач за допомогою арифметичної прогресії та перевірка способом побудови графіка функції) ……………………………… 14

4. Задачі на з´ясування залежності точок до однієї прямої, без побудови. ……19

5. Задачі на знаходження координат точки перетину двох прямих, які проходять відповідно через дві точки. …………………………………………………….. 21

Розділ 2

Арифметична прогресія - як окремий випадок лінійної функції…………… 26

ВИСНОВОК ……………………………………………………………………. 31

Вступ

У процесі навчання ми щодня стикаємося з різноманітними завданнями — математичними, природничими, логічними чи життєвими. Найбільшу цінність приносить уміння знаходити кілька різних шляхів до розв’язку. Це робить мислення гнучким, розвиває творчість і допомагає краще розуміти суть проблеми.

Використання кількох методів дозволяє глибше зрозуміти задачу. Коли розв’язуємо приклад лише за однією формулою чи схемою, можемо механічно виконати кроки, не замислюючись над суттю. Але якщо спробувати інший підхід — наприклад, замінити алгебраїчний метод геометричним або перевірити розв’язання логічним міркуванням — стає зрозуміліше, чому саме так працює правило чи формула. Тоді знання стають не поверхневими, а справжніми й міцними. Арифметична прогресія є одним із найпоширеніших видів числових послідовностей, які вивчаються у шкільному курсі математики. Вона дозволяє описувати закономірності, що зустрічаються як у теоретичних задачах, так і в практичних ситуаціях. Проте значно ширші можливості для аналізу виникають тоді, коли елементи арифметичної прогресії зображуються на координатній площині. Графічне подання дозволяє чітко побачити характер зміни послідовності, визначити її властивості та простежити залежності між елементами прогресії.

Актуальність даного дослідження полягає в тому, що поєднання алгебраїчних і геометричних методів робить розв’язання задач більш наочним, доступним і ефективним. Використання координатної площини допомагає краще зрозуміти суть арифметичної прогресії, формує стійкі навички роботи з графічними моделями та розвиває логічне мислення.

Метою роботи є з’ясування переваг використання арифметичної прогресії на координатній площині під час розв’язання задач та, навпаки, використання формул та властивостей лінійної функції при розв’язуванні задач арифметичної прогресії та визначення, яким чином цей підхід сприяє спрощенню математичних обчислень.

У цій роботі я дослідила взаємозв’язок між координатами точок, які належать одній прямій, зробила відповідні висновки, дослідила спосіб використання формул арифметичної прогресії при розв’язуванні задач геометрії з розділу «Координати на площині». А саме, при розв’язанні задач на знаходження невідомих координат точки, яка належить прямій, що проходить через дві задані точки; на з’ясування належності точки до однієї прямої; на знаходження координат точки перетину двох прямих, які проходять відповідно через дві задані точки. Використовую властивості та формули лінійної функції при знаходження невідомого елемента арифметичної прогресії, його порядковий номер. Надаю розв’язання заданих задач різними способами: класичним, авторським, графічним.

Початок форми

Розділ 1

Взаємозв’язок між номером елемента арифметичної прогресії та його значенням.

Нехай задана пряма: y = 2x +1. Знаходимо декілька пар чисел, які задовільнять задане рівняння, найкращий спосіб - накреслити таблицю:

x	1	2	3	4	…
y	3	5	7	9	…

Аналізувавши дані таблиці, розуміємо, що отримані числові послідовності, відповідно утворюють арифметичні прогресії.

Таблицю можна розглянути – як номер елементу арифметичної прогресії та його значення. Побудуємо міст між властивостями арифметичної прогресії та властивостями лінійної функції.

1.1 Нехай задані точки А (х₁; у₁), В (х₂; у₂). Різниця арифметичної прогресії, яку утворюють абсциси точок, позначимо через d₁, тоді d₁= х₂- х₁, Також, ординати цих точок утворюють іншу арифметичну прогресію, з різницею, нехай d₂, тоді d₂ = к ∙ d_1, так як:

d₂ =у₂- у₁ = (к ∙ х₂+ b) – (к ∙ х₁+ b) =

= к ∙ х₂+ b – к ∙ х₁– b = к ∙ х₂–к ∙ х₁ = к ∙ (х₂- х₁) = к ∙ d₁, отже d₂ = к ∙ d₁.

1.2 Із курсу геометрії відомо, що кутовий коефіцієнт к прямій, яка проходить через точки, нехай А (x₁; y₁), В (x₂; y₂), обчислюється формулою:

k = , так як d₁= х₂- х₁, та d₂ =у₂- у₁, тоді маємо:

k = – відношенню двох різниць арифметичних прогресій, утворені відповідно ординатами та абсцисами заданих точок. Якщо задані точки розташовані послідовно, тоді d₁=1, звідки k = d₂.

1.3. Лінійна функція задається формулою у = k∙ х + b - це є аналог формули

n- го елемента арифметичної прогресії:

а_n = а₁+ d ∙ ( n - 1) = а₁+ d ∙ n - d = d ∙ n + а₁– d, де d = k, n = х, а₁– d = b.

. Нехай задані точки А (x₁; y₁), В (x₂; y₂) та точка С – середина відрізка AB. З курсу геометрії, відомо, що координати середини відрізка дорівнюють середньому арифметичному абсцис та відповідно середньому арифметичному ординат кінців відрізка, тобто обчислюємо їх за формулами .

Та якщо, поставити у відповідність властивість будь якого елемента арифметичної прогресії, починаючи з другого, то він дорівнює середньому арифметичному своїх сусідів, а саме = , = ,…, = .

1.5. Координати однієї з заданих точок, буде перша пара чисел яка відзначає першу точку на прямій, координати другої точки - друга пара чисел яка відзначає другу точку на прямій, та координати третьої точки – третя пара чисел яка відзначає - третю точку на прямій, …., аналогічно, координати n-ї точки буде n - пара чисел яка відзначає n - точку на прямій.

a_n= b ( n; b )

a_m= l ( m; l )

a_s= j ( s; j )

2. Розв’язування авторських задач двома способами: класичний (за допомогою кутового коефіцієнту) та за допомогою арифметичної прогресії.

2.1. Задачі з однією невідомою координатою

№1. При якому значені m точки А (0;3), В (1;-5) та С (m; 11) лежать на одній прямій?

Розв’язання:

Класичний спосіб.

1.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через точки А та В.

k = . k = = = -8 (1)

2.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через точки А та С, або В та С. Обираю В та С.

k = , k = = =;

3.Складаємо рівняння з отриманих виразів (2) та (1):

4. Розв’язуємо отримане рівняння:

Відповідь: при m = -1

Спосіб за допомогою формул арифметичної прогресії.

Нехай (а_n)- арифметична прогресія, яка складається з абсцис заданих точок, та (с_n)- арифметична прогресія, яка складається з відповідних ординат цих точок.

Маємо:

(а_n): 0; 1; m. (с_n): 3; -5; 11.

а₁ = 0; а₂ = 1; та а_n = m; відповідно: с₁ = 3; с₂ = -5; та с_n= 11

d₁ = 1 – 0 = 1, d₂ = -5 – 3 = -8

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

До речі, n тут не обов’язково має бути натуральне число, воно може бути будь яке число тому що, пряма нескінченна, та по обидва боки від заданої першої точки знаходяться безліч точок, та відстань від другої точки до наступної не завжди дорівнює відстані між двома заданими точками (першої та другої), та різниця (а_n – а₂) не обов’язково має бути кратною різниці (а₂ – а₁), яка дорівнює d₁, відповідно: різниця (с_n – с₂) не обов’язково має бути кратне різниці (с₂ – с₁), яка дорівнює d₂.

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

m = 0 + ( n - 1) ∙ 1, відповідно 11 = 3 + ( n - 1) ∙ (-8), звідки:

m = n -1, (1) 11 = 3 - 8n + 8,

8n = 3 + 8 – 11,

8n = 0,

n = 0. (2)

Підставляємо (2) у (1), отримаємо: m = 0 – 1, m = -1.

Відповідь: m = -1.

2.2. Задачі з декількома невідомими координатами та з взаємозв’язком між ними.

Класичний спосіб.

№2. (з двома невідомими координатами) При якому значенні змінної m точки M (0; 2), N (m; 0) та K (m +1; 1) належатимуть одній прямій?

Розв’язання:

1.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через будь які дві точки із заданих трьох, нехай будуть точки M та N.

k = . k = = ; (1)

2.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через точки M та K , або N та K. Обираю N та K.

k = , k = = = 1; (2)

3.Складаємо рівняння з отриманих виразів (1) та (2):

4. Розв’язуємо отримане рівняння:

Відповідь: при m = -2.

Спосіб за допомогою формул арифметичної прогресії.

Нехай (а_n)- арифметична прогресія, яка складається з абсцис заданих точок, у будь якому порядку, та (с_n)- арифметична прогресія, яка складається з відповідних ординат цих точок. Відомо що, M (0; 2), N (m; 0) та K (m +1; 1) Нехай будуть координати точок у наступній послідовності: N, K та M. Маємо:

(а_n): m; m + 1; 0. (с_n): 0; 1; 2.

а₁ = m; а₂ = m + 1; а_n = 0; відповідно: с₁ = 0; с₂ = 1; с_n= 2

d₁ = m + 1 – m = 1, d₂ = 1 – 0 = 1.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

0 = m + ( n - 1) ∙ 1, відповідно 2 = 0 + ( n - 1) ∙ 1, звідки:

0 = m + n -1, 2 = n - 1,

1 + 0= m + n, n = 1 + 2,

m + n = 1 (1) n = 3, (2)

Підставляємо (2) у (1), отримаємо: m + = 1, m = 1 - = ; Відповідь: m =2.

№3. (з усіма трьома невідомими абсцисами або ординатами)

При якому значенні m точки M (3; m), N (1; 2+m) та K (2; 1- m ) лежать на одній прямій?

k = . k = = ; (1)

2.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через точки M та K, або N та K. Обираю M та K.

k = , k = = = ; (2)

3.Складаємо рівняння з отриманих виразів (1) та (2):

4. Розв’язуємо отримане рівняння: Відповідь: при m = 0.

Спосіб за допомогою формул арифметичної прогресії.

Нехай (а_n)- арифметична прогресія, яка складається з абсцис заданих точок, у будь якому порядку, та (с_n)- арифметична прогресія, яка складається з відповідних ординат цих точок, M (3; m), N (1; 2+m) та K (2; 1- m ). Маємо:

(а_n): 3; 1; 2. (с_n): m; 2 + m; 1- m.

а₁ = 3; а₂ = 1; а_n = 2; відповідно: с₁ = m; с₂ = 2+m; с_n= 1- m;

d₁ = 1 - 3 = -2; d₂ = 2 + m – m = 2;

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

2 = 3 + ( n - 1) ∙ (-2), відповідно 1- m = m + ( n - 1) ∙ 2, 2 = 3 - 2n + 2, - m - m = 2n – 2 – 1,

-2m = 2n – 3, (2)

2n = 5 - 2 , 2n =3, n = 1,5. (1) підставляємо (1) у (2), отримаємо:

-2m = 2 ∙ 1,5 -3 = 3 – 3 = 0, звідки m =

Відповідь: при m =.

№4. (з трьома невідомими координатами: дві абсциси та одна ордината, або одна абсциса та дві ординати) При якому значенні m точки

A(0; 2m), B(m + 1; -12) та C (1; m ) лежать на одній прямій?

Розв’язання

Класичний спосіб

1.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через будь які дві точки із заданих трьох, нехай будуть точки A та C .

k = . k = = ; (1)

2.Обчислюємо значення кутового коефіцієнту k прямої, яка проходить через точки A та B , або B та C. Обираю B та C.

k = , k = = ; (2)

3.Складаємо рівняння з отриманих виразів (1) та (2):

4. Розв’язуємо отримане рівняння: , згідно оберненої теореми Вієта:

Відповідь: при m = -3, або m = 4.

Спосіб за допомогою формул арифметичної прогресії.

Нехай (а_n)- арифметична прогресія, яка складається з абсцис заданих точок, у будь якому порядку, та (с_n)- арифметична прогресія, яка складається з відповідних ординат цих точок, A(0; 2m), B(m + 1; 12) та C (1; m ). Нехай будуть координати точок у наступній послідовності: A, C та B. Маємо:

(а_n): 0; 1; m +1. (с_n): 2m; m; 12.

а₁ = 0; а₂ =1; а_n = m +1; відповідно: с₁ = 2m; с₂ = m ; с_n= -12.

d₁ =1 – 0 = 1 d₂ = m - 2m = -m.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

m + 1 = 0 + ( n - 1) ∙ 1, (1) відповідно -12 = 2m + ( n - 1) ∙ (-m) (2) m = n – 1 - 1,

m = n – 2, (1)

Підставляємо (1) в (2), отримаємо:

-12 = 2n – 4 + (n - 1) ∙ (-n + 2),

-12 = 2n - 4 - n² + 2n + n - 2,

n²- 5n + 6 – 12 = 0, n²- 5n – 6 = 0; згідно оберненої теореми Вієта:

Підставляємо (3) в (1), отримаємо:

m₁ = 6 – 2 = 4, m₂ = -1 – 2 = -3.

Відповідь: при m= 4 або m= -3.

Координати точок A(0; 2m), B(m + 1; -12) та C (1; m ), будуть наступними:

При m= 4, A(0; 8), B(5; -12) та C (1; 4).
При m= -3, A(0;-6), B(-2; -12) та C (1; -3).

Розв’язування авторських задач двома способами: класичний (за допомогою графіка функції) та за допомогою арифметичної прогресії.

№ 5. При якому значенні m точки A(2; -4), B(-3; 1) та C (m; 0) лежать на одній прямій? (з однією невідомою координатою)

Розв’язання:

(а_n): 2; -3; m. (с_n): -4; 1; 0.

а₁ = 2; а₂ = -3; а_n = m; відповідно: с₁ = -4; с₂ = 1; с_n= 0.

d₁ = - 3 – 2 = -5 d₂ = 1 – (- 4) = 5.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

m = 2 + ( n - 1) ∙ (-5), відповідно 0 = - 4 + ( n - 1) ∙ 5

m = 2 -5n +5, 0 = - 4 + 5n - 5,

m = 7 -5n, (1) - 5n = - 9,

n =. (2)

Підставляємо (2) в (1), отримаємо:

m = 7 – 5 ∙ = 7 – 9 = -2

Відповідь: при m= - 2.

Перевірка. Координати точок A(2; -4), B(-3; 1) та C (m; 0), будуть наступними:

При m= - 2, A(2; -4), B(-3; 1) та C (-2; 0).

Геометричне зображення прямої:

№ 6. (з двома невідомими координатами)При якому значенні m точки A(0;-2), B(1; - m) та C (-4; m -1) лежать на одній прямій?

Розв’язання:

(а_n): 0; 1; -4. (с_n): -2; - m; m -1 .

а₁ = 0; а₂ = 1; а_n = - 4; відповідно: с₁ = -2; с₂ = - m; с_n= m -1.

d₁ = 1 – 0 = 1 d₂ =- m – (- 2) = 2 - m.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

-4 = 0 + ( n - 1) ∙ 1, відповідно m -1 = - 2 + ( n - 1) ∙ (2 – m), (2)

-4 = n - 1,

n = -3, (1)

Підставляємо (1) в (2), отримаємо:

m = -2 + 1 + (-3-1) ∙ (2-m),

m = -1 – 4 ∙ (2-m),

m = -1 – 8 + 4m,

m - 4m = -9,

-3m = -9,

m = 3. Відповідь: при m= 3.

Перевірка. Координати точок A(0; -2), B(1; - m) та C (-4; m -1), будуть наступними:

При m= 3, A(0; -2), B(1; -3) та C (-4; 2).

Геометричне зображення прямої:

№ 7. При якому значенні m точки A(0;- m), B(-1; 2 - m) та C (3m; 7) лежать на одній прямій? (з трьома невідомими координатами: дві абсциси та одна ордината, або одна абсциса та дві ординати)

Розв’язування:

(а_n): 0; - 1; 3m. (с_n): - m; 2 - m; 7 .

а₁ = 0; а₂ = -1; а_n = 3m; відповідно: с₁ = -m; с₂ = 2 - m; с_n= 7.

d₁ = - 1 – 0 = - 1 d₂ = 2- m – (-m ) = 2.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії:

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

3m = 0 + ( n - 1) ∙(-1), відповідно 7 = - m + ( n - 1) ∙ 2, (2)

3m = - n + 1,

n = 1 - 3m, (1)

Підставляємо (1) в (2), отримаємо:

7 = - m + ( 1 - 3m - 1) ∙ 2,

7 = - m + (- 3m) ∙ 2, 7 = -7 m, m = -1.

Перевірка. Координати точок A(0;- m), B(-1; 2 - m) та C (3m; 7), будуть наступними:

При m= -1, A(0; 1), B(-1; 3) та C (-3; 7). Геометричне зображення прямої:

№ 8. (з чотирма невідомими координатами) При якому значенні m точки

A(0;- 0,5m), B(m -1; m) та C (-5;- 3m) лежать на одній прямій?

Розв’язування:

(а_n): 0; m - 1; -5. (с_n): -0,5m; m; -3m .

а₁ = 0; а₂ = m -1; а_n = -5; відповідно: с₁ = -0,5m; с₂ = m; с_n= -3m.

d₁ = m - 1 – 0 = m - 1 d₂ = m – (-0,5m ) = 1,5 m.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії:

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

-5 = 0 + ( n - 1) ∙( m -1), (1) відповідно -3m = - 0,5m + ( n - 1) ∙ 1,5m,

-3m + 0,5m = ( n - 1) ∙ 1,5m,

- 2,5m = ( n - 1) ∙ 1,5m|: (0,5m)

- 5 = 3( n - 1), n – 1= -5:3 =

n = = (2)

Підставляємо (1) в (2), отримаємо:

-5 = (- 1) ∙( m -1), -5 = (- ) ∙( m -1), -5 = - ∙( m -1)|∙ , -3 = -( m -1),

m - 1= 3, m = 4.

Перевірка. Координати точок A(0;- 0,5m), B(m -1; m) та C (-5;- 3m), будуть наступними:

При m= 4, A(0; -2), B(3; 4) та C (-5; -12).

Геометричне зображення прямої:

4.Задачи на зясування залежності точок до однієї прямої, без побудови.

№9. Без побудови графіка з´ясуйте, чи лежать точки А(3;-2), B(0;5), С(-4;1) одній прямій?

Розв’язання:

(а_n): 3; 0; -4. (с_n): -2; 5; 1.

а₁ = 3; а₂ = 0; а_n = -4; відповідно: с₁ = -2; с₂ = 5; с_n= 1.

d₁ = 0 - 3 = -3 d₂ = 5 – (- 2 ) = 7.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

-4 = 3 + ( n - 1) ∙ (-3) , відповідно 1 = -2 + ( n - 1) ∙ 7, звідки:

-4 = 3 - 3 n + 3, 1 = -2 + 7n – 7,

3 n = 6 + 4, -7n = - 9 - 1 ,

3 n = 10, -7n = - 10

n = 10 : 3 n = 10 : 7

n = n =

Відповідь: Ні.

Перевірка. Накреслимо пряму, яка проходить через точки, нехай, А та В.

Геометричне зображення прямої:

№10. Без побудови графіка зясуйте, чи лежать точки А(-1;2), B(0;3), С(2;5) одній прямій?

Розв’язання:

(а_n): -1; 0; 2. (с_n): 2; 3; 5.

а₁ = -1; а₂ = 0; а_n = 2; відповідно: с₁ = 2; с₂ = 3; с_n= 5.

d₁ = 0 – (-1) = 1 d₂ = 3 - 2 = 1.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

2 = -1 + ( n - 1) ∙ 1 , відповідно 5 = 2 + ( n - 1) ∙ 1, звідки:

= -1 + n -1, 5 = 2 + n – 1,

-n = -2 - 2, -n = 1 - 5 ,

- n = -4, -n = - 4,

n = 4. n = 4

Відповідь: Так.

Перевірка. Накреслимо пряму, яка проходить через точки, нехай, А та В.

Геометричне зображення прямої:

5. Задачі на знаходження координат точки перетину двох прямих, які проходять відповідно через дві точки.

№11 Задано точки A(1; 0), B(2; -1), C (-3; -2) та D (0;-4). Знайдіть координати точки перетину прямих AB та CD, або доведіть, що вони не перетинаються, тобто паралельні.

Розв’язування:

Нехай шукана точка М (x;y). Так, як точка М - точка перетину двох прямих, тоді вона належить і прямій AB і прямій CD, звідки маємо що, її координати утворюють арифметичні прогресії разом з відповідними координатами точок A та B, та також утворюють інші арифметичні прогресії разом з відповідними координатами точок C та D.

Зауважимо, що порядкові номера точки М у складі окремої арифметичної прогресії будуть різні. Нехай будуть n₁ та n₂.

Алгоритм дій наступний:

Знаходимо вирази, яким дорівнюють координати точки М з першої пари арифметичних прогресій. (1)
Знаходимо вирази, яким дорівнюють координати точки М з другої пари арифметичних прогресій. (2)
З відповідних виразів утворюємо систему рівнянь та обчислюємо значення n₁ та n₂.
Підставляємо у (1) або (2) та обчислюємо x та y точки М.

Розв’язання:

Нехай (а_n) - арифметична прогресія, яка складається з абсцис перших двох точок та точки М, у будь якому порядку, та (с_n) - арифметична прогресія, яка складається з відповідних ординат цих точок. Маємо:

(а_n): 1; 2; х . (с_n): 0; -1; у.

а₁ = 1; а₂ =2 ; а_n = х; відповідно: с₁ = 0; с₂ = -1; с_n= у.

d₁ = 2 – 1 = 1 d₂ = -1- 0 = -1.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

А саме, а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

х = 1 + ( n₁ - 1) ∙ 1 , відповідно у = 0 + ( n₁ - 1) ∙ (-1), звідки:

х = 1 + n₁ -1, у = - n₁ + 1,

х = n₁. (1) у = 1 – n₁. (2)

Складаємо дві інші арифметичні прогресії, нехай (b_n) та (f_n)

(b_n): -3; 0; х . (f_n): -2; -4; у.

а₁ = -3; а₂ =0; а_n = х; відповідно: с₁ = -2; с₂ = -4; с_n= у.

d₁ = 0 – (-3) = 3 d₂ = -4 – (-2) = -2.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії:

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

х = -3 + ( n₂ - 1) ∙ 3 , відповідно у = -2 + ( n₂ - 1) ∙ (-2), звідки:

х = -3 + 3n₂ -3, у = -2 - 2n₂ + 2,

х = 3n₂ -6. (3) у = – 2n₂. (4)

Складаємо рівняння з отриманих виразів: (1) та (3), (2) та (4):

n₁= 3n₂ – 6, 1 – n₁ = – 2n₂, отримали систему:

, ,

Підставляємо у (3) та у (4):

х = 3n₂ - 6 = 3 ∙ 7 – 6 = 15;

у = – 2n₂ = -2 ∙ 7 = -14. Відповідь: точка М (15; -14).

Перевірка. Накреслимо прямі AB та CD та знаходимо координати точки їх перетину.

Геометричне зображення прямих:

№12 Задано точки A(0; -1), B(2; 3), C (0; 1) та D (1;3). Знайдіть координати точки перетину прямих AB та CD, або доведіть, що вони не перетинаються, тобто паралельні.

Розв’язання:

(а_n): 0; 2; х . (с_n): -1; 3; у.

а₁ = 0; а₂ =2 ; а_n = х; відповідно: с₁ = -1; с₂ = 3; с_n= у.

d₁ = 2 – 0 = 2 d₂ = 3 – (-1) = 4.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії.

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

х = 0 + ( n₁ - 1) ∙ 2 , відповідно у = -1 + ( n₁ - 1) ∙ 4, звідки:

х = 2n₁ - 2, (1) у = -1 + 4n₁ + 4,

у = 4n₁ + 3. (2)

Складаємо дві інші арифметичні прогресії, нехай (b_n) та (f_n)

(b_n): 0; 1; х . (f_n): 1; 3; у.

а₁ = 0; а₂ =1; а_n = х; відповідно: с₁ = 1; с₂ = 3; с_n= у.

d₁ = 1 – 0 = 1 d₂ = 3 – 1 = 2.

Використовуємо формулу n - го члена арифметичної прогресії:

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо:

х = 0 + ( n₂ - 1) ∙ 1 , відповідно у = 1 + ( n₂ - 1) ∙ 2, звідки:

х = n₂ - 1, (3) у = 1 + 2n₂ - 2,

у = 2n₂ -1. (4)

Складаємо рівняння з отриманих виразів: (1) та (3), (2) та (4):

2n₁ -2= n₂ – 1, 4n₁ + 3 = 2n₂– 1, отримали систему:

Система не має розв’язків, робимо висновок, що прямі AB та CD паралельні.

Перевірка. Накреслимо прямі AB та CD та знаходимо координати точки їх перетину.

Геометричне зображення прямих:

Розділ 2

Арифметична прогресія- як окремий випадок лінійної функції.

Нехай задана арифметична прогресія (а_n): а₁, а₂, а₃, …, а_n.

Кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення, отримаємо пари: (1; a₁), (2; a₂), (3; a₃), …, (n; a_n). Отримані пари – це координати точок однієї прямої.

Доводимо: 1.Нехай задана послідовність: (1; a₁), (2; a₂), (3; a₃), …, (n; a_n), обираємо дві пари чисел та складемо рівняння прямої, яка проходить через них. Нехай це будуть пари (n -1; a_n-1) та (n; a_n), відомо що ,

у = k∙ х + b -формула лінійної функції. Обчислюємо кутовий коефіцієнт к прямій, яка проходить через точки з заданими координатами:

k = = d.

Обчислюємо b: підставляємо у формулі лінійної функції числа однієї із заданих пар та ще значення k, отримаємо:

a_n = d ∙ n + b, b = a_n - d ∙ n = a₁ + (n -1) ∙ d - d ∙ n = a₁ + d ∙ n - d - d ∙ n,

b = a₁– d.

Підставляємо у формулі лінійної функції, отримаємо формулу:

у = d ∙ х + a₁– d.

Обираємо будь яку пару послідовності: (1; a₁), (2; a₂), (3; a₃), …,

(n; a_n), підставимо в отриману формулу та доводимо, що вона задовольняє її, нехай це пара (n +1; a_n+1), отримаємо:

a_n+1 = d (n +1) + a₁– d = dn + d + a₁– d = dn + a₁, a_n+1 = a₁+ nd.

a₁+ nd = dn + a₁, 0=0. Отже, пари: (1; a₁), (2; a₂), (3; a₃), …, (n; a_n) – це координати точок однієї прямої.

Із цього маємо зробити висновок, що формули та властивості лінійної функції можна застосовувати при розв’язанні задач з теми: «Арифметичної прогресія».

№13 Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₁= 2, d = 0,2. Обчисліть а₆.

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (1; 2), (6; a₆). Вище була записана формула кутового коефіцієнта:

k =

2.Також знаємо, що кутовий коефіцієнт к прямій, яка проходить через точки, нехай А (x₁; y₁), В (x₂; y₂), обчислюється формулою:

підставляємо: k = = .

3.Складаємо рівняння із отриманих виразів: ,

Відповідь:

№14 Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₁= 4, d = 3. Обчисліть а₇.

Відповідь: а₇ = 22.

№15. Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₄= 6, d = 0,4. Обчисліть а₉. Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (4; 6), (9; a₉). Також, k =

Знаємо, що кутовий коефіцієнт к прямій, яка проходить через точки, нехай А (x₁; y₁), В (x₂; y₂), обчислюється формулою:

k = , підставляємо: k = = .

3. Складаємо рівняння із отриманих виразів: ,

Відповідь:

№16 Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₂= 7, а₁₀ = -3. Обчисліть а₆.

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (2; 7), (10; -3), (6; а₆ ).

2.Використовуємо формулу кутового коефіцієнта двічі: k = ,

k = , з отриманих виразів складаємо рівняння , звідки = 5, отримаємо:

Відповідь: .

Класичний спосіб (для порівняння)

1.З умови задачі відомо, що а₂= 7, а₁₀ = -3, тоді згідно формули

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо: а₂ = а₁ + d та а₁₀ = а₁ +9d.

Підставляємо данні:

, ,
Підставляємо у будь якому рівнянні:
а₆ = а₁ + 5d = 8,25 + 5 ∙ (-1,25) = 8,25 - 6,25 = 2. Відповідь: а₆= 2.

Відповіді однакові, але розрахунків менше за допомогою формул лінійної функції.

№17 Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₁= 1, а₃ = 2, а_n=7. Обчисліть n.

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (1; 1), (3; 2), (n; 7).

Використовуємо формулу кутового коефіцієнта двічі: k = ,

k = , з отриманих виразів складаємо рівняння , звідки = 12, отримаємо:

Відповідь:

Класичний спосіб (для порівняння)

1.З умови задачі відомо, що а₁= 1, а₃= 2, а_n = 7, тоді згідно формули

а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d, отримаємо: а₃ = а₁ +2d та а_n = а₁ + ( n - 1) ∙ d = 7.

Підставляємо данні: 1 = 1 +2d, звідки d = 0,5; 7 = 1 + ( n - 1) ∙ 0,5 ;

6 = ( n - 1) ∙ 0,5; n - 1 = 6 : 0,5; n – 1 = 12; n = 13.

Відповіді однакові, але розрахунків менше за допомогою формул лінійної функції.

№18 Задана арифметична прогресія (а_n), відомо, що а₃= 4, а₇ = -6, а_n= - 1. Обчисліть n.

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (3; 4), (7; -6), (n; -1).

Використовуємо формулу кутового коефіцієнта двічі: k = ,

k = , з отриманих виразів складаємо рівняння , звідки =, отримаємо:

Відповідь:

№19 Між числами -4,5 та 5,1 вставте п’ять чисел так, щоб отримана послідовність була арифметичною прогресією.

Розв’язання:

Розв’яжемо задачу частково за допомогою формул лінійної функції та частково за допомогою формул арифметичної прогресії:

1. Нехай задана послідовність: -4,5; b; c; d; e; f; 5,1. Складаємо пари чисел:

(1; -4,5), (2; b), (3; c), (4; d ), (5; e), (6; f ), (7; 5,1).

Використовуємо першу та останню пару чисел та обчислюємо кутовий коефіцієнт: k = ,

k =

в) -1,3 + 1,6 = 0,3; ;

г) 0,3 + 1,6 = 1,9; ;

д) 1,9 + 1,6 = 3,5;

№20 Чи є число 30 елементом арифметичної прогресії 2; 3,4; 4,8; …?

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення : (1; 2), (2; 3,4), (3; 4,8), (х; 30).

2. Використовуємо формулу кутового коефіцієнта двічі: k = ,

k = , з отриманих виразів складаємо рівняння Число 21 є натуральним, отже число 30 є елементом заданої арифметичної прогресії.

Відповідь: так, число 30 є елементом заданої арифметичної прогресії.

№ 21 На якому місці у арифметичній прогресії: -12,4; -10,6; -8,8;…, розташований перший додатний елемент?

Розв’язання:

1.Складаємо пари, кожному елементу прогресії ставимо у відповідність його значення: (1; -12,4), (2; -10,6), (3; -8,8).

2. Складаємо формулу прямої, яка проходить через задані точки: обчислюємо

k = ;

3. Отримали формулу: y = 1,8 ∙ x .

4. Складаємо нерівність та розв’яжемо її: 1,8 ∙ x 1,8 ∙ x

x ; x ; x ; x ; перше натуральне число більше за отже x = 8.

Висновок

Арифметична прогресія може наочно й ефективно відображатися у вигляді точок на координатній площині. Розміщення елементів прогресії у декартовій системі координат показало, що:

кожна арифметична прогресія може бути подана як множина точок, що лежать на одній прямій;
кут нахилу цієї прямої визначається значенням різниці прогресії;
координати кожної точки на прямій – це відповідність між порядковим номером елементу арифметичної прогресії та його значенням;
дослідження на координатній площині сприяє формуванню просторових уявлень про прогресії та допомагає пов’язати алгебраїчні властивості з геометричними.

Використання властивостей арифметичної прогресії на координатної площини робить процес аналізу більш наочним, та відкриває можливість поєднання алгебраїчного та геометричного підходів, поглиблюючи математичне розуміння явища.

docx

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Ікім Валентина Дмитрівна

Пов’язані теми

Алгебра, 9 клас, Матеріали до уроків

Додано

7 лютого

Переглядів

Оцінка розробки

Відгуки відсутні