У СВІТІ МАТЕМАТИКИ
Авторська програма гуртка «Кмітливі і допитливі»
для 6 класу
Сухомаячківський заклад загальної середньої освіти І-ІІІ ступенів
Трохименко Любов Іллівна
вчитель математики, учитель вищої
кваліфікаційної категорії
Програма «У світі математики» створена автором для конкретної школи з урахуванням потреб і можливостей учнів.
Зміст авторської програми сприяє формуванню математичного способу мислення, розвитку творчого потенціалу школярів, здібностей до плідної розумової діяльності.
Матеріали програми можуть бути використані в роботі вчителів математики, керівників гуртків відповідного профілю.
(6 КЛАС)
Трохименко Л.І., учитель
математики Сухомаячківського закладу
загальної середньої освіти І-ІІІ ступенів
Полтавського району Полтавської області
Авторська програма гуртка для учнів в 6 класі
Програму створено автором для конкретної школи з урахуванням потреб і можливостей учнів. Матеріали програми можуть бути використані в роботі вчителів математики, керівників гуртків, відповідного профілю як такі, що сприяють формуванню математичного способу мислення і розвитку творчого потенціалу школярів, здібностей до плідної розумової діяльності.
ВСТУП
Позакласна робота з предмета є важливою складовою роботи сучасної школи та закладів позашкільної освіти, невід’ємною частиною процесу навчання математики, складного процесу впливу на свідомість і поведінку учнів, поглиблення та розширення їхніх знань і вмінь.
Найважливішою метою проведення позакласної роботи є розвиток інтересу до математики.
Останніми роками в математиці виникли нові напрямки, які мають не тільки практичне значення, а й великий пізнавальний інтерес. Оновлення змісту основного курсу математики покликало оновлення позакласних занять із математики.
Для того щоб активізувати позакласну роботу, вчителі постійно відшукують можливості для більш якісного викладання предмета, а ситуація з чотирма годинами математики на тиждень спонукає до таких пошуків ще більш інтенсивно. Заняття гуртків для цього є досить зручною можливістю. У річному плані школи передбачено гурткову роботу з різних предметів. Проблема полягає у тому, що затверджених програм для викладання у гуртках недостатньо, зокрема з математики для учнів в 6 класі.
Математичний гурток – одна з найбільш дієвих і ефективних форм позакласної роботи. Основою гурткової роботи є принцип добровільності. У роботі гуртка беруть участь усі охочі. До учнів, які показують зовсім невисокі результати, необхідно більш уважно ставитися, намагатися закріпити й розвинути їх інтерес до математики, стежити, щоб робота була для них посильною. Головне – зберегти масовий характер гурткових занять, що є наслідком доступності відвідування засідань гуртка всіма охочими.
Гурткова робота не є дублюванням класних занять. До організації роботи гуртка корисно залучати учнів: доручати їм підготовку повідомлень із теми, підбір задач і вправ, підготовку довідок історичного характеру, виготовлення моделей, рисунків тощо. На засіданнях гуртка вчителеві бажано створити атмосферу вільного обміну думками й активної дискусії.
Основне завдання гуртка – за допомогою раціонально й ретельно підібраних завдань розкрити значення математики, силу її ідей і методів, сформувати математичний спосіб мислення.
Роботу гуртка можна спрямувати на розширення світогляду школярів. Для цього можна ознайомити учнів із деякими фактами історії математики, цікавими розв’язаннями відомих задач, а також із нерозв’язаними проблемами математики.
Для того щоб гуртківці не втратили інтересу до роботи, кожній темі доцільно присвячувати 2-3 заняття, використовувати завдання ігрового і практичного характеру, вправи на вимірювання, побудову тощо. Форми проведення засідань гуртка також треба обирати різноманітні. Нарівні з традиційними слід використовувати й активні та інтерактивні форми: мозковий штурм, математичний бій, карусель, марафон та інші.
Роботу гуртка спрямовано на розширення світогляду, розвиток творчих здібностей учнів, прищеплення навичок самостійної роботи, підвищення якості математичної підготовки учнів.
Заняття гуртка проводять протягом 1 години один раз на тиждень. Для школи такий формат цілком прийнятий.
Викладання за цією програмою потребує від учителя певних знань із педагогіки та володіння технологією інтерактивного навчання. Тому в роботі розглянуто методичні рекомендації щодо проведення занять (додаток).
Поурочне планування розраховане на урок, що триває одну академічну годину.
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
Запропонована програма гуртка має на меті сприяти розвитку творчого потенціалу школярів, здібностей до плідної розумової діяльності.
Завдання програми:
Реалізація поставлених завдань стає можливою за умови використання активних та інтерактивних форм навчання за оптимального поєднання з традиційними. Широко використовують такі методи і прийоми, як роботу в малих групах та парах, мозковий штурм, рольові ігри, дискусії, розв’язування проблемних і пізнавальних завдань, тренінгові вправи. Важливим елементом є самостійна індивідуальна робота дітей над домашнім завданням.
Для створення доброзичливої і комфортної атмосфери в групі педагог має володіти активними формами навчання, навичками активного слухання, вмінням організовувати дискусії, роботу в малих групах, застосовувати елементи психологічного тренінгу.
Контроль набутих знань, умінь і навичок проводять методами підсумкової рефлексії та само оцінювання.
Мета занять гуртка
• прищеплювати учням інтерес до математики;
• поглиблювати і розширювати знання учнів з математики;
• розвивати математичний кругозір, мислення, дослідницькі вміння та навички школярів;
• організовувати інтелектуально-практичну дослідницьку діяльність учнів;
• формувати логічне та абстрактне мислення, позитивні якості особистості (відповідальність, добросовісність, дисциплінованість, охайність, посидю-чість);
• виховувати вміння долати труднощі під час розв'язування математичних задач, наполегливість та ініціативу.
Завдання занять гуртка
• розширення уявлень учнів про математику як форму опису та метод пізнання дійсності;
• розширення розуміння значимості математики для потреб життя;
Характеристика структури програми
Програма представлена у табличному вигляді. Перша таблиця представляє розподіл навчального матеріалу за темами. Далі наведено зміст навчального матеріалу за темами та вимоги до навчальних досягнень учнів у результаті їх вивчення. У змісті вказано той навчальний матеріал, який має бути вивчений з тієї чи тієї теми. Вимоги до рівня навчальних досягнень учнів відображають рівень засвоєння навчального матеріалу.
Зміст навчального матеріалу структуровано за темами з визначенням кількості годин на їх вивчення. Курс розрахований на 35 годин (у 6-ому класі).
Друга таблиця пропонує орієнтовне календарно-тематичне планування занять гуртка, що допоможе вчителю у доцільному підборі та раціональному розподілі матеріалу згідно з темами занять гуртка.
Розподіл навчального часу
(6 клас)
№ п/п |
Тема |
Кількість годин |
|
Вступ |
2 |
1 |
Старовинні міри довжини |
2 |
2 |
Задачі «Арифметики» Магніцького |
3 |
3 |
Діофантові рівняння |
2 |
4 |
Розв’язування задач за допомогою рівнянь |
2 |
5 |
Задачі на переправу |
2 |
6 |
Задачі на рух |
5 |
7 |
Розрахункові задачі на відсотки |
5 |
8 |
Задачі на розчини і сплави |
3 |
9 |
«Лавинні» задачі |
2 |
10 |
Задачі судоку |
2 |
11 |
Видатні математики |
3 |
12 |
Підсумкове заняття |
2 |
6 клас
35 годин
Вступ (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 1
Старовинні міри довжини (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 2
Задачі «Арифметики» Магніцького (3 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 3
Діофантові рівняння (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 4
Задачі, які розв’язуються за допомогою рівнянь (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 5
Задачі на переправу (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 6
Задачі на рух (5 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 7
Розрахункові задачі на відсотки (5 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 8
Задачі на розчини і сплави (3 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 9
«Лавинні задачі» (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 10
Задачі судоку (2 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 11
Видатні математики (3 год)
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Тема 12
Підсумкове заняття (2 год)
Українські генії математики
Усний математичний журнал
Мета:
Основні вимоги.
учні повинні вміти:
Календарно-тематичне планування
№ п/п |
Зміст матеріалу |
К-сть годин |
Примітки |
|
Вступ |
2 |
|
1 |
Задачі. Роль задач у шкільному курсі математики |
1 |
|
2 |
Класифікація задач |
1 |
|
І |
Старовинні міри довжини |
2 |
|
3 |
Розв’язування задач, що містять старовинні міри довжини |
1 |
|
4 |
Історичні повідомлення про сучасне застосування старовинних мір довжини |
1 |
|
ІІ |
Задачі «Арифметики» Магніцького |
3 |
|
5 |
Леонтій Пилипович Магніцький і його «Арифметика» |
1 |
|
6 |
Правило «хибного припущення» в задачах Магніцького |
1 |
|
7 |
Математичні забави в «Арифметиці» Магніцького |
1 |
|
ІІІ |
Діофантові рівняння |
2 |
|
8 |
Діофант Александрійський і його книги |
1 |
|
9 |
Розв’язування задач за допомогою діофантових рівнянь. Способи розв’язування найпростіших діофантових рівнянь |
1 |
|
ІV |
Розвʼязування задач за допомогою рівнянь |
2 |
|
10 |
Мухаммед ібн Муса аль - Хорезмі |
1 |
|
11 |
Розв’язування задач за допомогою рівнянь |
1 |
|
V |
Задачі на переправу |
2 |
|
12 |
Особливості умов задач на переправу |
1 |
|
13 |
Розв’язування задач на переправу |
1 |
|
VІ |
Задачі на рух |
5 |
|
14 |
Рух двох тіл у протилежних напрямках. Рух в одному напрямку |
1 |
|
15 |
Рух у середовищі, яке рухається |
1 |
|
16 |
Рух відносно предмета |
1 |
|
17 |
Середня швидкість |
1 |
|
18 |
Рух по колу |
1 |
|
VІІ |
Розрахункові задачі на відсотки |
5 |
|
19-20 |
Задачі, пов’язані з життям та побутом людини |
2 |
|
21-22 |
Задачі економічного змісту |
2 |
|
23 |
Розв’язування задач на відсотки |
1 |
|
VІІІ |
Задачі на розчини і сплави |
3 |
|
24 |
Основні типи задач на відсоткові розрахунки |
1 |
|
25-26 |
Розв’язування задач на розчини і сплави |
2 |
|
ІХ |
«Лавинні» задачі |
2 |
|
27-28 |
Розв’язування «лавинних» задач |
2 |
|
Х |
Задачі судоку |
2 |
|
29 |
Японська гра судоку |
1 |
|
30 |
Як створювати судоку? Що таке розв’язок судоку? |
1 |
|
ХІ |
Видатні математики |
3 |
|
31 |
Остроградський Михайло Васильович |
1 |
|
32 |
Геній математики з українським серцем(Г.Ф. Воро-ний) |
1 |
|
33 |
Світ не знав лише, що він-українець (М. П.Кравчук) |
1 |
|
ХІІ |
Підсумкове заняття |
2 |
|
34-35 |
Виховний захід, присвячений українським геніям математики |
2 |
|
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ПРОВЕДЕННЯ ЗАНЯТЬ
МАТЕМАТИЧНОГО ГУРТКА
Вступ
Роль задач у шкільному курсі математики
Мета:
Ознайомити учнів з роллю задач у курсі шкільної математики. Розглянути основні види задач прикладного змісту,їх класифікацію, методи розв'язування.
«Не махай на все рукою, не лінуйся, а учись. Бо чого навчишся в школі, знадобиться ще колись!»
У процесі навчання математики задачі виконують різноманітні функції. Навчальні математичні задачі є досить ефективним засобом засвоєння учнями понять та методів шкільного курсу математики зокрема і математичних теорій взагалі. Задачам належить велика роль у розвитку математичного мислення учнів, у формуванні в них умінь і навичок щодо практичного застосування математики. Саме тому на розв'язання задач відводиться половина навчального часу уроків математики. Правильна методика навчання розв'язання задач відіграє істотну роль у формуванні високого рівня математичних знань, умінь і навичок.
Яке ж значення математичних задач ?
їх кілька:
• Освітнє: розв'язуючи задачі, учень набуває знань, підвищує свою математичну освіту.
• Практичне: під час розв'язання математичних задач учні навчаються застосовувати математичні знання для практичних потреб, готуються до практичної діяльності в майбутньому, до розв'язання задач, що висуває практика та повсякденне життя. Математичні задачі розв'язують у фізиці, хімії, біології, географії, електро- та радіотехніці, особливо в їх теоретичних основах. Це означає, що в процесі навчання математики учні повинні розв'язувати задачі, пов'язані з суміжними навчальними предметами, а також задачі з практичним та технічним змістом.
• Розвиток мислення: розв'язуючи задачі, вчаться аналізувати: виділяти умову і висновки, дані і шукані величини , знаходити спільне, порівнювати та протиставляти факти. В учнів при цьому формується особливий стиль мислення: збереження формально-логічної схеми міркувань, лаконічне висловлювання думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.
• Виховне значення математичних задач. Задача виховує своїм текстовим змістом, тому текстовий зміст математичних задач істотно змінюється в різні періоди розвитку суспільства. Сюжетний зміст задач, уміщених у сучасному підручнику, спрямовано на виховання в учнів високих моральних якостей, наукового світогляду. Виховує також сам процес навчання розв'язування математичних задач.
Пропонуючи розв'язання тієї чи тієї задачі, вчитель ставить на меті реалізувати певні цілі: педагогічну, дидактичну, навчальну.
Навчаюча ціль
а) Задачі для засвоєння математичних понять.
Формування математичних понять успішно проходить за умови ретельної та копіткої роботи над поняттями, їх означеннями і властивостями.
б) Задачі для оволодіння математичною символікою.
1) Однією з цілей, що ставиться під час вивчення математики навчити учнів -володіти математичною мовою і, отже, математичною символікою. Найпростіша символіка вводиться в початковій школі, в 5-6 класах (знаки дій, рівності та нерівності, дужки, знаки кута, паралельності, перпендикулярності прямих і т.д.), і користуємось нею весь час. Задачі для навчання доведенням.
Навчити доводити — одне з найголовніших завдань навчання математики. Найпростішими задачами такого змісту є задачі-запитання та [елементарні задачі на дослідження]. Розв'язання таких задач полягає в [знаходженні відповіді на запитання і доведенні її істинності].
г) Задачі на формування математичних умінь і навичок.
- Ті, що передують вивченню нових математичних фактів: вони сприяють концентрації уваги учнів на ідеях, поняттях, методах математики, які знову вивчають:
- за допомогою яких вводять нові поняття і методи:
- ті що створюють проблемну ситуацію з метою формування нових знань:
- розвиток мислення учнів у процесі розв'язання математичних задач.
Розв'язування задачі вимагає застосування багатьох розумових дій: аналізувати задачу, задану ситуацію; порівнювати дані і шукані, дану задачу, що розв'язується з тією, що була розв'язана раніше, встановлюючи приховані властивості заданої ситуації; конструювати найпростіші математичні моделі, здійснюючи мислений експеримент; синтезувати, відбираючи корисну для розв'язання задачі інформацію, систематизуючи, коротко та чітко, у вигляді тексту, символічно та графічно, оформляти думки, об'єктивно оцінювати отримані результати.
Підбираючи задачі, потрібно враховувати такі критерії:
- задачі, що містять елемент дослідження;
- задачі на доведення;
- задачі на встановлення помилок;
- цікаві задачі;
- знаходження різних варіантів і вибір кращого з них;
-самостійне складання задач учнями. Розв'язання математичних задач виховує: ретельність, уважність, зосередженість, наполегливість у подоланні
труднощів, упертості в досягненні поставленої мети, виховує почуття обов'язку та відповідальності.
Шляхом розв'язування задач учні навчаються математики. Вони засвоюють велику кількість математичних понять, символіку, набувають навичок виконувати доведення.
Розв'язування математичних задач допомагає виконанню дидактичних цілей:
- підготовка до вивчення теоретичних питань математики;
- закріплення тільки що набутих теоретичних знань:
- ілюстрація застосувань вивченого.
Задачі практичного змісту ілюструють застосування математики в техніці, побуті, суміжних навчальних предметах. Наприклад:
1. Визначення швидкості руху, часу чи відстані.
2. Визначення маси тіла.
3. Визначення масштабу, і т.д.
4. Формування вмінь.
5. Повторення раніше вивченого.
6. Контроль засвоєння математичних знань.
При організації роботи з розв'язування математичних задач доцільно використовувати такі види діяльності:
- фронтальне розв'язування задач-розв'язання однієї і тієї ж задачі з всіма учнями класу в один і той же час:
- індивідуальне розв'язування задач: при індивідуальному доборі задач враховують індивідуальні здібності та можливості учня.
Задачі практичного змісту виділяють прикладні аспекти математики. Вони сприяють виконанню багатьох завдань навчального процесу: розкривають методологічні питання взаємозв'язку теорії та практики; формують в учнів наукове світорозуміння; активізують пізнавальну діяльність учнів; підвищують інтерес до навчального предмета: забезпечують розвиток технічної творчості, здійснюють профорієнтаційну роботу.
Старовинні міри довжини
Пригадати, якими одиницями зручно вимірювати довжини відрізків, відстань між об’єктами. Як ці одиниці пов’язані між собою?
Ознайомитися з іншими мірами довжини, які були відомі задовго до того, як з’явилися метр, дециметр, сантиметр. Дізнаємося, як вимірювали в давнину.
Порівняти метричну і старовинну таблиці мір довжини.
Під час занять учні розв’язують задачі, що містять старовинні міри довжини.
Розв'язування задач, що містять старовинні міри довжини (тренувальні вправи)
1) Знайдіть зріст у міліметрах Дюймовочки з однойменної казки Андерсена.
2) У казці О. С. Пушкіна в царя Салтана народився син «в аршин». Знайдіть зріст майбутнього князя Гвідона в дюймах.
3) Морякам перед плаванням бажають «сім футів води під кілем». Знайдіть цю відстань у дециметрах.
4) Горщик має висоту дві п'яді. Знайдіть зріст у сантиметрах того, хто «від горшка два вершка» (мається на увазі вище на два вершка).
5) Про розумну людину кажуть: «У неї сім п'ядей у лобі». Чи можливо мати лоб такої висоти?
6) В одній приказці говориться: «П'ять верст до небес, і все лісом». Скільки метрів до «небес»?
7) Кільце баскетбольного кошика знаходиться на відстані 10 футів над землею. Знайдіть цю відстань у метрах, сантиметрах, міліметрах.
8) Довжина футбольних воріт 7 м 44 см, а висота 2 м 48 см. Знайдіть розміри воріт у футах, якщо 1 фут ͌ 31 см.
Виконують практичні завдання.
Практикум
Учні класу об'єднуються в пари і виконують практичні завдання.
1) Виміряйте розміри парти в долонях, ліктях, п’ядях, футах.
2) Виміряйте свій зошит та щоденник у дюймах та вершках.
3) Виміряйте в ліктях та аршинах довжину тканини.
Мають місце історичні повідомлення про сучасне застосування старовинних мір довжини.
Історичні повідомлення про сучасне застосування старовинних мір довжини
(Групи учнів отримали це завдання заздалегідь і мали змогу підготуватися.)
- Такі міри, як дюйм, сажень, лікоть, аршин, верста ми знаходимо в казках.
- Розміри автомобільних та велосипедних шин і зараз указують у дюймах.
- Діаметри водопровідних труб указують у дюймах.
- Розміри футбольних воріт 24x8 футів.
- Глибини морів та океанів на американських та англійських картах указано у футах.
- Зріст людини в Англії та Америці вказують у футах.
ТЛУМАЧНИЙ СЛОВНИЧОК ДЕЯКИХ МІР
Метр - від грецького «метрон» (палиця для вимірювання).
Дюйм - від голландського «дюім» (великий палець).
Фут - у перекладі з англійської означає «ступня».
Аршин - від персидського «арш» (лікоть).
Сажень - від слова «саджати» (малося на увазі саджати молоді деревця).
Міри довжини
1 верста = 1,07 кілометра
1 сажень = 2,13 метра
1 аршин = 71,12 сантиметра
1 вершок = 4,45 сантиметра
1 фут = 30,48 сантиметра
1 кілометр = 0,94 версти
1 географічна миля = 6,96 версти = 7,42 кілометра
1 морська миля = 1,74 версти = 1,85 кілометра
Задачі «Арифметики» Магніцького
Заняття гуртка розпочати вступним словом вчителя.
Вступне слово вчителя
З перших відомих письмових джерел ми дізнаємося, що математичні знання на Русі були розповсюджені уже в X-XI ст. Вони пов'язані з практичними потребами людей-літочислення, підрахунки поголів'я і вартості стада, визначення прибутку від збору врожаю тощо. У Х-ХІ ст. за часів Ярослава Мудрого було відкрито перші школи. Цілком можливо, що того часу могли з'явитися і перші навчальні посібники. Це так звані азбуковники - своєрідні енциклопедичні словники, у яких, крім алфавіту і молитв, уміщували тлумачення деяких слів, правила моралі й поведінки, календар, початки арифметики тощо. Уже тоді виділялися «числолюбці», яких цікавила математика.
У XVI-XVII ст. починає з'являтися і розповсюджуватися рукописна математична література.
Рукописи того часу відіграли значну роль у розповсюдженні математичних і практичних знань. Вони були тією основою, на якій створювали навчальну літературу XVIII ст.
Перебудова державного, громадського і культурного життя країни, розпочата Петром І, вимагала великої кількості спеціалістів у різних галузях господарства. Для підготовки таких кадрів, для розповсюдження математичних знань виникла потреба в підручниках. 1703-го року підручник було видано у типографський спосіб нечувано великим для того часу накладом - у кількості 2400 екземплярів. Це була «Арифметика» Магніцького.
Ознайомити учнів із біографією Л.П.Магніцького. Дати коротку характеристику його підручника «Арифметика». Звернути увагу на те, що ця книга насправді була глибоко продуманою, оригінальною працею самого Магніцького і за методичними достоїнствами стояла вище за сучасні їй підручники математики, поширені за кордоном.
Найважливішою особливістю цієї праці є прагнення не тільки догматично викласти основні правила й питання математики, але й роз'яснити їх на численних прикладах: весь виклад перейнятий бажанням дати учневі розуміння практичного застосування досліджуваних питань.
Деякі методи розв'язування задач «Арифметики» Магніцького корисно знати й сучасним школярам. Наприклад, правило «хибного припущення».
Діофантові рівняння
Програма з математики «забула» про діофантові рівняння, але вони зустрічаються на олімпіадах, різноманітних конкурсах, турнірах тощо. Тому ми вважаємо доцільним звернутися до цієї важливої та цікавої теми в позакласній роботі. Ця тема важлива ще й тому, що діофантові рівняння дають велику можливість для розвитку логічного мислення учнів, бо більшість таких рівнянь можна розв'язати, спираючись не на спеціальну теорію, а на здоровий глузд і кмітливість.
До кожного типу рівнянь треба підходити творчо, використовуючи пошукові методи, які в першу чергу спрямовані на формування учня як особистості, здатної до самостійної, творчої діяльності.
Метою цього заняття є:
На нашу думку, кожний учень здатний оволодіти способами розв’язання найпростіших діофантових рівнянь, якщо він має навички розв’язування звичайних (визначених) рівнянь.
Доцільним буде цікава інформація за цією темою.
Діофант Александрійський
Стародавні єгиптяни для зручності міркувань придумали спеціальне слово, яке означало невідоме, але вони не мали знаків рівності й знаків дій (на зразок наших плюса, мінуса), тому записувати рівняння вони не вміли. Перший крок у цьому напрямку зробив Діофант Александрійський (за назвою великого культурного, торговельного й наукового центру давнього світу - міста Александрії; це місто збереглося й на сьогодні, знаходиться у Єгипті) - учений, який використовував досягнення єгиптян, вавилонян і греків. Про його життя майже немає відомостей. Припускають, що він жив у III ст. Основні події життя записано на його надгробку.
Прах Діофанта гробниця ховає:
Вдивися — і камінь
Мудрим мистецтвом розкриє покійного вік:
З волі богів шосту частину життя був він дитина,
А ще половину шостої — стрів із пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з коханою він одружився,
З нею п'ять років проживши, сина діждався мудрець.
Та півжиття свого тішився батько лиш сином:
Рано могила дитину у батька забрала.
Років двічі по два батько оплакував сина.
А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальний...
За часів Діофанта мовою науки була грецька. Але греки ще не знали цифр і позначали числа за допомогою букв свого алфавіту. Перші дев'ять букв: α (альфа), β (бета), γ (гамма), ... позначали числа від 1 до 9; наступні дев'ять: ι (йота), κ (каппа), ... позначали числа від 10 до 90; нарешті, наступні дев'ять: ρ (ро), σ (сигма), ... позначали числа від 100 до 900. Щоб не помилитися і не прийняти число за слово, над буквами, що позначають число, ставили рисочку. Алфавіт нараховував 28 букв, одна з них була особливою (сигма кінцева): ставилася тільки в кінці слів і числового значення не мала. Ось нею Діофант і став позначати перший степінь невідомого, так само як ми зазвичай позначаємо його буквою х. Діофант Александрійський почав писати замість «дорівнює» знак «і», тобто букву «і» (скорочення слова «ізос» — рівний). Для віднімання Діофант застосовував букву ψ (псі), тільки перевернуту, скорочену й спрощену за формою. А без знака додавання Діофант обходився досить просто — доданки записував поруч один із одним.
Задачі, які розв’зуються за допомогою рівнянь
На цьому занятті розглянемо нескладні задачі, тобто розв’яжемо кілька стародавніх задач.
Задача 1. Стародавня єгипетська задача
Кількість та її чверть дорівнюють разом 15. Знайти кількість.
Розв'язання задачі 1. Нехай х — кількість, тоді її чверть — 0,25х. Отже, (х + 0,25х) — загальна кількість. За умовою ця кількість дорівнює 15, звідси маємо рівняння: х + 0,25х = 15, звідки х = 12.
Задача 2. Стародавня російська задача
Хтось запитав учителя: «Скільки маєш учнів, бо я бажаю віддати сина до тебе на навчання». Учитель відповів: «Якщо до мене прийде учнів ще стільки ж, скільки маю, і півстільки, і чверть, і твій син, тоді буде в мене учнів 100». Скільки було в учителя учнів?
Задача 3. Стародавня російська задача
Летіла зграя гусей, а назустріч їм ще один. Гусак говорить: «Здрастуйте, сто гусей». А йому відповідають: «Нас не сто гусей, а менше. Якби нас було стільки, та ще стільки, та ще півстільки, та ще чверть стільки, та ти, гусаче, тоді нас було б сто гусей». Скільки гусей було в зграї?
Розв'язання задач 2 і 3. Нехай в учителя х учнів, тоді кількість учнів, яку називав учитель, дорівнює:
(х+ х+0,5 х+ 0,25 х+1).
За умовою ця кількість дорівнює 100, звідси маємо рівняння:
х+ х+0,5 х+ 0,25 х+1=100, х=36.
Відповідь. 36 учнів.
Задачі на переправу
Особливості умов задач на переправу пов’язані з обмеженою вантажопідйомністю плавальних засобів, із кількістю й особливостями пасажирів.
Для запису ходу розв’язання таких задач використовують схему, яку складають у такий спосіб: схематично зображують річку, береги й плавальний засіб; кожний етап переправи відділяють горизонтальною рискою; напрямок руху плавального засобу вказують "стрілкою над позначенням тих, хто переправляється на поточному етапі.
Задача 1. Батькові з двома синами потрібно на плоту переправитися через річку. Пліт витримує на воді або батька, або двох синів. Як переправитися на другий берег батькові й синам? Скільки часу (мінімально) буде потрібно на переправу, якщо кожна поїздка через річку займає 3 хвилини?
Розв'язання. Порядок переправи на другий берег подано в таблиці (С1 - перший син, С2 - другий син, Б - батько).
Берег 1 |
Річка |
Берег 2 |
С1 С2 Б |
|
|
Б |
С2 С1 |
|
Б |
С1 |
С2 |
С1 |
Б |
С2 |
С1 |
С2 |
Б |
|
С1С2 |
Б |
|
|
Б С2 С1 |
Відповідь. На переправу потрібно 15 хвилин.
Задача 2. Селянинові потрібно перевезти через річку вовка, козу й капусту. Але човен такий, що в ньому може поміститися селянин або тільки з вовком, або тільки з козою, або тільки з капустою. Якщо залишити вовка з козою наодинці, то вовк з'їсть козу, а якщо залишити козу одну з капустою, то коза з'їсть капусту. Як перевіз свій вантаж селянин?
Розв’язання. Спочатку селянин переправляє козу, потім повертається й перевозить на другий берег капусту. Залишивши на цьому березі капусту, він везе козу назад. Наступним рейсом селянин перевозить вовка. І нарешті їде по козу. Можливе й інше розв'язання.
Задача 3. До річки під'їхали чотири лицарі зі зброєносцями й знайшли один тримісний човен. Чи можуть вони переправитися на другий берег за умови, що, опинившись окремо від свого лицаря, жоден зброєносець не перебував би при цьому в товаристві інших лицарів? Лицарі теж погодилися гребти.
Розв’язання. Позначимо лицарів буквами А, Б, В, Г, а їх зброєносців — відповідно а, б, в, г. Спочатку переправляються на другий берег зброєносці б, в, г. Зброєносець б повертається, а лицарі В і Г переправляються на другий бік. Лицар В і його зброєносець повертаються назад. Потім лицарі А, Б, В, переправляються на другий берег. Зброєносець г забирає зброєносців б і 6. Один зі зброєносців перевозить останнього зброєносця а.
Задачі на рух
Задачам на рух відведено значну роль серед усіх задач, які розв'язують у школі.
Труднощі, що виникають під час їх розв'язування, пов'язані з багатьма обставинами, зокрема з великою різноманітністю типів задач: на зустрічний рух, на рух у протилежних напрямках з одного пункту, в одному напрямку з одного або різних пунктів, причому, як за одночасного, так і за неодночасного початку руху, на рух за течією й проти течії, а також на рух одного предмета щодо іншого. Одне із завдань навчання математики — сформувати вміння вивчати рух.
Задачі на рух можна розподілити на такі види:
• Задачі на односторонній рух.
• Задачі на рух в різних напрямах.
• Задачі на зустрічний рух.
• Задачі на рух за течією та проти течії.
Одним із способів розв'язування текстових задач є арифметичний, що спрямований на розвиток мислення. Доцільно ще раз повторити, яка залежність є між даними величинами: відстанню, часом та швидкістю:
Швидкість показує, яку відстань проходить об'єкт за одиницю часу; наприклад, скільки кілометрів за одну годину проїжджає автомобіль; скільки метрів за одну хвилину пропливає плавець; скільки метрів за одну секунду пробігає спортсмен.
Для перевірки уміння розв'язувати задачі можна запропонувати завдання такого плану:
1. Автомобіль проїхав 120 км за 3 години. З якою швидкістю їхав автомобіль?
2. Автомобіль їде із швидкістю 60 км/год. Яку відстань проїде він за 4 год?
3. Автомобіль їде із швидкістю 50 км/год. За який час він проїде 100 км?
4. Заповніть таблицю, де S - це шлях, t – час руху, V - швидкість руху, і запиши формули залежності величин:
t год |
1 |
|
3 |
4 |
S км |
60 |
180 |
|
|
V км/год |
|
60 |
150 |
50 |
Текст задачі і розв'язання записуємо в зошит, і використовуємо як опорний конспект у разі виникнення труднощів.
При розв'язуванні задач на зустрічний рух і рух у протилежних напрямах знайомимо учнів з термінами «швидкість віддалення» та «швидкість зближення».
Якщо два об'єкти рухаються рівномірно (з постійними швидкостями), то відстань між ними за кожну одиницю часу або зменшується, або збільшується на однакову кількість одиниць.
Відстань, на яку зближуються об'єкти за одиницю часу, називається швидкістю зближення.
Відстань, на яку віддаляються об'єкти за одиницю часу, називається швидкістю віддалення.
Рух у протилежному напрямі
Рух з відставанням
Рух навздогін
Зустрічний рух
Важливо впевнитись, що учні розуміють усі поняття та терміни, а також ситуацію, описану в задачі. Досить часто цю ситуацію корисно навіть розіграти, доцільним є використання схематичних малюнків, моделей, що дозволяють представити наочно умову задачі. Учні повинні набути навичок зображати умову задачі у вигляді схематичного малюнка. Це допоможе їм зрозуміти та запам'ятати умову, побачити спосіб розв'язання задачі і перевірити правильність її розв'язання.
Одночасний рух:
За малюнком одночасного руху можна визначити:
1) з яких точок почався рух;
2) в якому напрямку і з якою швидкістю він відбувався;
3) як змінилась відстань між об'єктами, що рухаються, зменшувалась чи збільшувалась, і на скільки;
4) на якій відстані один від одного перебували об'єкти в заданий момент часу;
5) де і коли відбулася зустріч, якщо вона відбулася.
Розв'язання текстових задач арифметичним способом сприяє розвитку мовлення: переказуючи умову, аналізуючи, переформульовуючи її, ставлячи запитання та даючи на них розгорнуту відповідь.
Корисним є детальне розв'язання задачі із повним записом у зошиті, який можна використовувати як зразок.
Розрахункові задачі на відсотки
Створення ринкової економіки, утворення спільних підприємств, ВАТ, відкриття банків і фірм, випуск акцій і цінних паперів, розвиток орендних відносин став на сьогодні одним із важливих досягнень людства. Ринкова система постійно розширюється та вдосконалюється. Важливу роль у ринкових відносинах відіграють комерційні банки, які виконують дві основні функції: зберігають грошові вклади і надають кредити. Тож сьогодні майбутнє дітей дуже складно уявити без якісної математично-економічної освіти. Життя постійно вимагатиме від них уміння бути діловою людиною. На цьому занятті гуртка вчитимемося складати та розв'язувати задачі на відсотки бізнесово-фінансового характеру, виконуватимемо та перевірятимемо розрахунки банківських відсотків (простих і складних).
Серед задач прикладного змісту необхідно виділити задачі на відсотки. їх можна розділити на дві основні групи. Перша група — знаходження відсотків від числа, друга група-знаходження числа за його відсотками. Задачі на відсотки дуже різноманітні, поняття відсотка використовується в різних галузях науки і практики: сплави і суміші, кулінарні рецепти, економічні та банківські розрахунки, і т.д. Розв'язання задач можна здійснювати арифметичним, алгебраїчним і геометричним методом, за допомогою пропорції. Відсотки також використовують при вивченні діаграм.
Наприклад: річний відсоток по банківському внеску становить 8%. Скільки це буде становити в гривнях, якщо вкласти в банк 35 тисяч гривень?
Розв'язання
Нехай х—шукане число, тоді
35000_____100%
х_________ 8%
= , =
Відповідь: 2800 гривень.
Учням варто запропонувати опорні конспекти для розв'язування задач на відсотки.
де А, В — деякі величини.
Варто учням запропонувати задачі такого плану, щоб показати «підступність» відсотків.
Наприклад: Ціну товару збільшили на 30%,а через деякий час зменшили на 30%. Порівняти початкову і нову ціну товара, якщо він коштував 80 грн.
Відповідь: початкова ціна більша за нову.
Але як правило, не розв’язуючи задачу, учні роблять висновок, що ціни однакові.
Задачі на розчини і сплави
Розв'язування задач на розчини і сплави пов'язане з поняттями «концентрація», «відсотковий уміст» і базується на таких положеннях:
1) усі суміші (сплави, розчини) однорідні;
2) якщо суміш (сплав, розчин) маси т складається з речовин А, В, С, які мають відповідно маси т1, т2, т3, то величини ,, називаються концентраціями відповідно речовин А, В, С у суміші;
3) величина 100% (100%, 100%) називається відсотковим умістом речовини А (В, С) у суміші;
Речовини, що входять до складу суміші масою т |
Маса |
Концентрація |
Відсотковий уміст |
А |
m1 |
|
100% |
В |
m2 |
|
100%, |
С |
m3 |
|
100% |
4) кількість речовин, узятих до змішування, дорівнює кількості речовин, отриманих після змішування (наприклад, якщо до розчину, у якому міститься т г солі, долили води, то в отриманому розчині буде т г солі; якщо змішати два розчини, один із яких містить т г солі, а другий — п г солі, то в отриманому розчині дістанемо (т + п) г солі).
ПОВТОРЕННЯ ОСНОВНИХ ТИПІВ ЗАДАЧ НА ВІДСОТКОВІ РОЗРАХУНКИ
1.Знаходження відсотків від числа |
|
Скільки грамів солі міститься в 120 г 20 % -го розчину? |
Знайти 20 % від числа 120; 20% = 0,2; 120∙ 0,2 = 24 г. Відповідь. 24 г |
2.Знаходження числа за його відсотками |
|
Знайдіть масу 30%-го розчину солі, якщо чистої солі в ньому 36 г |
Знайти число, якщо 30% від нього становить 36. 30% = 0,3; 36:0,3 = 120 г. Відповідь. 120 г |
3.Знаходження відсоткового відношення двох чисел |
|
У 120 г розчину солі міститься 48 г солі. Чому дорівнює відсотковий уміст солі? |
100% = 40%
Відповідь. 40 % |
Розв’язування задач
Задача
Скільки грамів 10%-го і 15%-го розчинів солі необхідно взяти, щоб одержати 40 г 12%-го розчину?
Розв'язання. Нехай для утворення суміші необхідно взяти х г 10%-го розчину. Систематизуємо дані задачі у вигляді таблиці:
Вид розчину |
Маса розчину, г |
Маса солі, г |
10%-й |
х |
0,1 х |
15%-й |
40- х |
0,15(40 - х) |
12%-й |
40 |
0,12∙40 |
За умовою задачі складаємо рівняння:
0,l х+0,15(40- х) = 0,12∙40, 0,1 х+6-0,15х = 4,8,
0,05х = 1,2, х = 24.
Отже, треба взяти 24 г 10 %-го розчину і 40-24 = 16г 15%-го розчину.
Відповідь. 24 г і 16 г.
«Лавинні задачі»
Іноді зустрічаються обчислення, які ми, не замислюючись, відразу починаємо виконувати в зазначеному порядку, якими б громіздкими вони не виявилися. Тим часом нерідко буває, що досить змінити порядок дій, винести який-небудь множник за дужки або зробити інші подібні найпростіші перетворення, що спираються на основні закони арифметики, — і обчислення значно спроститься.
Назвемо «лавинними» задачі, під час розв'язування яких після застосування ефективного й ефектного прийому починається процес скорочення або спрощення, завдяки чому розв'язання стає легким, простим.
На цьому занятті розв’жемо такі задачі:
Задача 1. Відомий німецький математик Гаусс дуже рано виявив блискучі здібності до математики. Розповідають, що одного разу його шкільний учитель запропонував учням знайти суму всіх чисел від 1 до 100 включно. Тільки вчитель прочитав завдання, як маленький Гаусс сказав: «Готово! 5050». Як він міг швидко обчислити цю суму?
Розв'язання. Гаусс помітив, що пари чисел, які віддалені від кінців ряду 1, 2, 3, ...,98, 99, 100: 1 і 100, 2 і 99, 3 і 98 і таке інше, складають у сумі 101. Тобто:
1 + 2 + 3+4+5+6 + ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99+100 = (1 + 100)+(2 + 99) + (3 + +98) + (4 + 97) + (5+96)+...+(50 + 51).
Оскільки таких пар 50, то потрібно 101 помножити на 50, дістанемо 5050.
Задача 2. Знайдіть простий спосіб й скористайтеся ним для обчислення суми: + + + …+ .
Розв'язання. Оскільки = 1-, = - і т. ін., то + + + …+ = (1-)+( - )+…+( - ) = 1- = .
Задача 3. Обчисліть усно:
.
Розв'язання. Обчислення прикладу спроститься, якщо зауважити, що
102 +112 +122 = 132 +142 =365.
Тоді
= + = 1+1=2.
Задачі судоку
Останнім часом у світі набула поширення японська гра судоку, яка зводиться до такого: дається квадрат 9x9, у деяких клітинах якого написано цифри від 1 до 9; пропонується всі порожні клітини заповнити цифрами так, щоб у кожному рядку, кожному стовпці і в кожному з дев'яти виділених квадратів усі цифри були різні. Ця гра подобається багатьом дорослим, тому завдання судоку часто друкується в газетах і журналах. Дітям вона подобається ще більше. А гра ця суто математична: судоку — це цікава математична задача. Тому було б непогано, коли б і школярі ознайомилися з нею. Крім усього іншого, гра судоку розвиває в учнів своєрідну «просторову уяву»: учень вчиться бачити всю таблицю, окремо — її рядки, стовпці і виокремлювати квадрати 3x3. Цим вона схожа на шахи, але набагато простіша й зрозуміліша.
Вправи судоку бувають різних рівнів складності. Є досить прості, доступні навіть учням початкових класів, є важчі — для старшокласників і студентів. Залишаються ще й нерозв'язані проблеми — непогані теми для дослідження науковців. У навчанні математики гру судоку можна використовувати по-різному. Наведу вправу, пристосовану для занять гуртка.
Задача. Яку цифру слід поставити в центральній клітині судоку на рисунку 1?
|
8 |
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
5 |
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
7 |
|
|
|
9 |
|
|
8 |
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
9 |
8 |
|
|
|
4 |
|
Рис. 1
Розв'язання. У четвертому й шостому стовпцях є одна й та сама цифра 6. Тому в центральному квадраті ця цифра не може бути ні в лівому, ні в правому стовпці. Отже, вона може бути в середньому стовпці.
Відповідь. Цифра 6.
На сьогодні опрацьованої теорії судоку поки що не існує. Є спроби застосувати до розв'язування судоку многочлени спеціальних видів, різнокольорові графи тощо. Але всі вони малоефективні і потребують часу в кілька разів більше, ніж звичайно. Усе ж для дослідників-початківців тут багато цікавих проблем.
Як створювати судоку? Якщо накреслити квадрат 9x9 і в деяких клітинах написати довільно цифри від 1 до 9, то найімовірніше, що в такому разі судоку не матиме розв'язку. Найцікавіші судоку, які мають один розв'язок. Скільки розв'язків може мати судоку? Як і решта математичних задач, головоломка судоку може бути визначеною, якщо має єдиний розв'язок, або невизначеною, якщо має кілька розв'язків. Трапляються і некоректно складені судоку, які не мають жодного розв'язку.
Що таке розв'язок судоку? Якщо в завданні не вказується, які клітини слід заповнювати, то мається на увазі, що заповнити треба всі порожні клітини. У цьому випадку розв'язок судоку — це правильно заповнена цифрами вся таблиця. Тобто заповнена так, що в кожному її рядку, кожному стовпці і в кожному виділеному квадраті всі цифри різні.
Трапляється, що задача має два чи більше різних розв'язки.
Звичайно, судоку — гра для одного. Але її можна пристосувати для змагання кількох. Наприклад, копії одного й того самого судоку роздати учасникам гри і провести змагання: хто заповнить швидше. Можна на всьому полі судоку виділити рівні за площею частини для кожного гравця і змагатися: хто перший правильно заповнить свою частину. Можливі й інші варіанти. А взагалі гра судоку заслуговує на те, щоб із нею ознайомити учнів. Найкраще це зробити на уроках математики або на заняттях математичного гуртка.
Видатні математики
ЧОМУ ПОТРІБНО ВИВЧАТИ БІОГРАФІЇ ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ?
Чинна програма з математики зазначає про необхідність широко використовувати у вивченні предмета відомостей з історії науки, ознайомлювати з боротьбою ідей, долею математичних відкриттів та їх авторів тощо. Головна мета використання на уроках історичного матеріалу та біографій видатних математиків — сприяти зацікавленості предметом, підвищити загальну культуру, розширити світогляд, активізувати пізнавальну діяльність учнів. Завдяки історичному матеріалу учні формують уявлення про математику як невід'ємну частину загальнолюдської культури, залучаються до наукової творчості, краще розуміють сучасний стан науки. Розуміння історії математики, внеску вітчизняних учених у її розвиток є одним із головних аспектів гуманітаризованого світогляду як основи загальноосвітнього стандарту з математики. Формування позитивних рис характеру особистості належить до завдань освітньої галузі «Математика» у середній школі, виконанню яких сприяє також ознайомлення з історико-біографічним матеріалом. Уведення у викладання людського фактору дозволяє подавати учням науку, не лише згадуючи прізвища її творців, а й ознайомлюючи з життям конкретних особистостей, досягнення яких можна брати за зразок. У пошуках життєвого вибору дитині дуже важливо мати взірець для наслідування; не виключено, що таким може стати хтось із видатних математиків.
Ознайомлення з біографіями творців математики дозволяє по-справжньому полюбити цю науку. За словами. М. І. Кованцова, «любов до математики стане ще більшою, коли побачиш не тільки саму науку, а й тих численних подвижників, які, не шкодуючи зусиль, цілком віддали себе великій справі служіння математиці і, неначе яскраві факели, освітлювали в ній шлях далеко вперед». Вивчення життя і творчості видатних математиків сприяє вихованню почуття патріотизму, культури поведінки, «узагальнює культуру мислення, дисциплінує її, виховує об'єктивність, інтелектуальну чесність, і таким чином сприяє формуванню наукового світогляду ».
Значно більше можливостей ознайомити з біографіями творців науки вчитель має в позакласній роботі з математики.
Підсумкове заняття
Математика — це не тільки формули, закони і графіки, але й люди, їхнє життя, почуття, доля. Кожен період історії математики багатий на видатних учених. Одні зажили слави і безсмертя ще за життя, іншим судилося пройти складний шлях і розділити трагічну долю свого народу. Багато визначних математиків стали зразками патріотизму й щирої відданості науці.
Усупереч складній історичній долі, численним поневолювачам, наша Україна все ж дала світові геніальних сподвижників слова, культури, освіти, науки й технологій. Нині є актуальним завдання правдиво відтворити історію розвитку науки й культури в Україні, не забути жодного імені серед учених, творіння якого послужать гідним зразком для нащадків, викличуть гордість українців як етносу, який долучив до світового прогресу.
Доробок генія належить цілому світові. І це правильно. Але серце кожного належить своїй і тільки своїй Вітчизні.
Щедра талантами українська земля подарувала людству не тільки чудових співаків, композиторів, письменників, а й визначних математиків.
Підсумкове заняття математичного гуртка доцільно провести за таким планом:
1. Вступ.
2. Остроградський Михайло Васильович.
3. Геній з українським серцем.
4. Світ не знав лише, що він українець.
Література:
1.Депман І.Я. Історія арифметики: посібник для вчителів. - М.: Просвітництво, 1965.
2. Олехнік С.Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. Старовинні цікаві завдання. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1988.
3. Перельман Я. І. Цікава алгебра. Цікава геометрія. - М.: ACT, 2006.
4. Бабінська І. Л. Завдання математичних олімпіад. - М.: Наука, 1975.
5. Пічурін Л. Ф. За сторінками підручника алгебри. - М.: Просвітництво, 1990.
6. Глейзер Г. І. Історія математики у школі. VII-VIII кл.: Посібник для вчителів. - М.: Просвітництво, 1982.
7. Мантуров О. В. та ін. Математика в поняттях, визначеннях та термінах. -М.: Просвітництво, 1978.
8. Бевз Г. П. Математика: 6 кл.: підр. для загальноосвіт. навч. закл. - К.: Генеза, 2006.
9. Депман І. Я., Віленкін Н. Я. За сторінками підручника математики: посібник для учнів 5-6 кл. середовищ. шк. - М.: Просвітництво, 1989.
10. Пічурін Л. Ф. За сторінками підручника алгебри: кн. для учнів 7-9 кл. середовищ. шк. - М.: Просвітництво, 1990.
11. Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика/глав, ред. М. Д. Аксьонова. - М: Аванта +, 2002.
12. Литвиненко Г. Н., Мордкович А Г. Практикум з елементарної математики. - М.: Просвітництво, 1991.
13. www.encspb. ru
14. www.bank. gov. ua
15. studprofkom. ntu-kpi.kiev.ua
16. www. peoples, ru/science
18. www.zn.ua
20. Романець Д. Діаграми Вороного // Україна молода. — 2008.
21. Боднарук Л. Український геній математики // Шлях перемоги. — 2004.
23. Шокало О. Видатні українці // ІМІДЖ UA. — 2009. — № 1(6). — С. 105