Розкладання натуральних чисел на прості множники

Число 130 складене, і його можна розкласти у добуток чисел, які не дорівнюють одиниці: 110 = 10·13. Але число 10 саме складене, і його також можна розкласти на добуток: 10 = 2·5. Отримуємо: 130 = 2·5·13.

Тепер у правій частині рівності всі множники – прості числа. Ми записали число 130 у вигляді добутку простих чисел, або, як кажуть, розклали його на прості множники.

Розкласти натуральне число на прості множники - значить подати його у вигляді добутку простих чисел.

Які натуральні числа можна розкласти на прості множники? Щоб дати відповідь, потрібно врахувати, що кожне натуральне число або просте, або складене, або воно дорівнює 1.  Одиниця, звичайно, не розкладається на прості множини.

Якщо взяти просте число, то можна сказати, що воно для себе буде єдиним простим множником. 

Ну, а будь-яке складене число можна розкласти у добуток кількох простих множників. При будь-якому способі виходить те саме розкладання, якщо не враховувати порядку запису множників. Це твердження є так званою основною теоремою арифметики. Тому складені числа і назвали складеними: вони складені з простих множників. 

Дано складене число п. Як розкласти його на прості множники? Зазвичай роблять так. Спочатку за допомогою ознак подільності на 2, 3, 5 перевіряють, чи ділиться п  на одне з цих простих чисел. Якщо ділиться, знаходять частку. Якщо частка просте число, то одразу виходить потрібне розкладання, а якщо частка складене, то продовжують розкладати у добуток.

Приклад 1. Число 55 складене, воно ділиться на 5. Частка 65:5 = 11 - просте число. Тому відразу одержуємо розкладання числа 65 на прості множники: 65 = 5·11.

Приклад 2. Число 210 складене, воно ділиться на 2. Частка 210:2 = 105 - знову складене число, воно ділиться на 3. Наступна частка 105:3 = 35 - також складене число, кратне 5. І тільки частка 35:5 = 7, нарешті буде простим числом.

Отримуємо ланцюжок рівностей  210 = 2 · 105 = 2·3·35 = 2·3·5·7.

З'єднуючи його початок та кінець знаком «=», записуємо розкладання числа 210 на прості множники: 210 = 2·3·5·7.

 Обчислення, які виконують при розкладанні складеного числа на прості множники, зручно записувати так. 

Праворуч від складеного числа пишуть його простий дільник. частку пишуть нижче за дане число, праворуч від частки — її простий дільник. Наступну частку пишуть під попередьою і т. д. У записі виникають два стовпчики чисел. Обчислення закінчують, коли в лівому стовпчику з'являється число 1. Прості числа, записані в правому стовпчику, і будуть простими множниками, на які розкладається вихідне число.

                                2                               72      2

                                3                               36      2

                                5                               18      2

7          9      3    3      3

                                                                             1   

    510 = 2·3·5·7                    72 = 2·2·2·3·3

 У розкладі на прості множники числа 72  є кілька однакових простих множників: три рази зустрічається число 2 і два рази — число 3. У такому випадку розкладання можна записати коротше, замінюючи добуток однакових множників степенем. 

Так як 2 · 2 · 2 = = 2³, 3 · 3 = 3², отримуємо 72 = 2³ · 3².  Якщо число, яке потрібно розкласти на прості множники, не ділиться ні на 2, ні на 3, ні на 5, підбирають його простий дільник серед простих чисел 7, 11, 13, 17, 19, ... перевіряючи їх одне за одним по порядку. А далі знаходять частку та діють так само, як і раніше.

Завдання

1.  (У)  Розкладіть на прості множники число: а)  10; б) 15; в) 8; г) 12; д) 16; е) 24; ж) 30; з) 33; і) 28; к) 49; л) 77.

2.  Розкладіть на прості множники число: а) 100; б) 42; в) 105; г) 111; д) 225; е) 216; ж) 441;  з) 1000; і)  3600; к)*  539; л)*  1001; м)*  847; н)*   689; о)*   961.

3.  Визначте, які з цих чисел є простими, а які складеними. Складені числа розкладіть на прості множники: а) 313; б) 341; в) 343; г) 347; д) 349; е) 377; ж) 383; з) 391; і) 397; к) 401.

4.  Знайдіть усі прості дільники числа: а)  300; б)  512; в) 729; г) 980; д) 625; е)   1024.

5.  Клоун написав кілька рівностей і стверджував, що це розкладання чисел на прості множники:

120 = 2·3·4·5;        1539 = 9²·19; 7497 = 3·7²·51.

 Публіка сміялася: усі бачили, що клоун помиляється. Поясніть, чому твердження клоуна неправильні, і напишіть правильні розкладання чисел  120, 1539 и 7497 на прості множники.

6.  Розкладіть на прості дільники;

 а) 24, 32, 51, 65, 84;

 б) 96, 120, 200, 240, 248, 300, 360, 400.

7.  Знайдіть усі прості дільники чисел:

а) 40, 63, 64, 76, 105, 140, 144, 150;

б) 124, 180, 210, 220.

Назвіть найменший і найбільший дільник кожного з цих чисел.

8.  Знайдіть всі дільники чисел:

а) 12, 18, 27, 33, 36, 40;

б) 42, 58, 70, 136, 140, 150.

9.  На скільки одиниць число, яке розкладається на множники 2,

5, 9 і 11, більше від числа, яке розкладається на доданки 2, 5, 9 і 11?

10.              Число розкладається на два двозначні прості множники, різниця яких дорівнює 2. Знайдіть усі такі числа.

11.              *  Замініть зірочки такими цифрами, щоб рівність була правильною:

   а) 577* = *5 · 7 · 11; б) 8*5 = *3 · 5 · 7.

12.              З цифр 3, 4, 5 та 6 складіть усі трицифрові числа, які діляться на 15.

Література

1.       Мерзляк А.Г. Полонський В.Б. Якір М.С. Підручник Математика 6 клас.  Гімназія, 2014

2.       Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. М.: ГУПИ, 1938

3.       Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972

4.       Шнирельман Л.Г. Простые числа. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940