Числові послідовності

Числові послідовностіАлгебра 9 клас

В повсякденному житті нам часто зустрічаються об’єкти з якими зручно мати справу, якщо їх попередньо пронумерувати. Наприклад, номери мають місяці та квартали року, дні тижня, під’їзди та квартири будинку, вагони поїзда, і навіть кожен учень класу має свій порядковий номер у класному журналі. Об’єкти, які пронумеровано натуральними числами 1, 2, 3, ..., n, ..., утворюють послідовності. Наприклад, сторінки у книзі, букви у слові, поверхи у будинку тощо. Об’єкти, які утворюють послідовність, називають членами послідовності. Якщо об’єкти, які утворюють послідовність є числа, то таку послідовність називають числовою.

З окремими числових послідовностей ви вже знайомі. Наприклад:1, 2, 3, 4, 5, ... — послідовність натуральних чисел;2, 4, 6, 8, 10, ... — послідовність парних натуральних чисел; 1, 3, 5, 7, 9, ... – послідовність непарних натуральних чисел та ін. 1, 4, 9, 16, 25, … - послідовність квадратів натуральних чисел.

Означення: Послiдовнiсть — функцiя, яка задана на множинi всiх натуральних чисел або на множинi перших n натуральних чисел. Числа, якi утворюють послiдовнiсть, називаються членами послiдовностi. Позначення (а𝑛) — послiдовнiсть 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑛— члени послiдовностi. 2. Числова послiдовнiсть визначена, якщо визначений закон, за яким кожному натуральному n ставиться у вiдповiднiсть дiйсне число 𝑎𝑛 або заданi всi її члени.  

Способи задання послiдовностi1 ) перелiк усiх її членiв; 2) описом; 3) табличний;4) формулою n-го члена (формула показує, як виражається кожний член послiдовностi через його номер);5) рекурентною формулою (формула показує, як виражається наступний член через попереднiй). Приклади1) 1; 2; 3; 4; 5; 6 — послiдовнiсть задана перелiком усiх її членiв; 2) 11,13,15,…послiдовнiсть двозначних непарних натуральних чисел — задана описом; 3) (а𝑛), а𝑛 = n, n ∈ N— послiдовнiсть задана формулою; 4) (а𝑛), а𝑛 = а𝑛−1+2, а1 = 1, n ∈ N— послiдовнiсть задана рекурентно(від латин. recurro – повертатися). 

Види послідовностей Скінченна: Приклад: 0; 1; 2; 3; …; 9— скiнченна послiдовнiсть цифр; нескінченна: Приклад: 2; 4; 6; 8;… — нескiнченна послiдовнiсть парних натуральних чисел;Зростаюча послідовність (𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 )— це послідовність, де кожен наступний член більший за попередній (наприклад: 2, 4, 6...). Спадна послідовність (𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 )-це послідовність, де кожен наступний член менший за попередній (наприклад: 10, 8, 6...). ) Вони є окремими видами монотонних послідовностей. Приклади: 1) 1; 4; 9; 16; … — зростаюча нескiнченна послiдовнiсть; 2) 1; 0; –1; –2; … — спадна нескiнченнa послiдовнiсть.  

№ 667а𝑛= 5n – 1. Знайти 𝑎1, 𝑎5, 𝑎7.а1= 5·1 – 1=4; а5= 5∙ 5– 1=24;а7= 5∙ 7– 1=34.  

№ 6711) х𝑛=4𝑛2 - 17. Знайти 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4. х1=4∙12 - 17 = -13;                          х2=4∙22 - 17 = -1;х3=4∙32 - 17 = 19; х4=4∙42 - 17 = 47. 3) 𝑥𝑛 = 2𝑛 −17𝑛+3 .  𝑥1 = 2∙1 −17 1+3 = - 3, 75; Знайти 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4. 𝑥2 = 2∙2 −17 2+3 = - 2,6; 𝑥4 = 2∙4 −17 4+3 = - 97 𝑥3 = 2∙3 −17 3+3 = - 116 ; 

Домашнє завдання. Вивчити § 15 , № 672 (2,4)