22 серпня о 18:00Вебінар: Як зробити урок цікавим: перевірені лайфхаки

Цікаві задачі з теми "Многочлени"

Про матеріал
Цікаві задачі для кмітливих учнів зробить урок захоплюючим , а домашні завдання цікавими для допитливих дітей.
Перегляд файлу

Цікаві задачі на кмітливість

1.Знайти два числа, сума яких 20, а добуток 96.

Розв’язування Діофанта

Він не складав рівнянь: нехай 2х є різниця чисел. Тоді більше дорівнює 10+х, а менше – 10 – х. За умовою добуток (10+х)(10 – х)=96, →100 – х2=96, →х2=4, отже х=2. Шукані числа 12 і 8.

 

 

 

2.Задача про життя Діофанта

Подорожній! Поховано тут Діофанта.

І числа розкажуть тобі,

Який довгий шлях він життєвий пройшов

Х

Шосту частину його життя становило

Веселе дитинство.

Минула  частина дванадцята –

Й пухом покрилося його підборіддя.

Сьому – в бездітному шлюбі прожив Діофант.

Минуло п’ять літ.

5

Ощасливлений він був народженням

Первістка –сина, якому судилось лише

Половину життя його батька.

І в глибокій журбі

Старець закінчив свій шлях на Землі,

 Де прожив років чотири з часу,

Коли сина не стало.

4

Скажи: віку якого досягши,

Славетний помер Діофант?

Х= + + + 5 + + 4.

 

Відповідь: 84 роки.

 

Задача про чотирьох братів.

У чотирьох братів 45 рублів. Якщо кошти першого збільшити на 2 рублі, кошти другого зменшити на 2 рублі, кошти третього збільшити вдвічі, а гроші четвертого зменшити вдвічі, то у всіх буде порівну. Скільки було у кожного?

 

 

Розв'язання:

У 4 братів 45 руб.

х+у+с+в=45

Гроші першого збільшити на 2 руб.

Х+2

Гроші другого зменшити на 2 руб.

У-2

Гроші третього збільшити вдвічі

Гроші четвертого зменшити вдвічі

То у всіх буде порівну

Х+2=у-2=2с=

 

Розділяємо останнє рівняння на три окремих:

Х+2=у-2;  х+2=2с;  х+2= , звідки у=х+4;  с= ;  в=2х+4. Підставивши ці значення в перше рівняння, отримаємо:

х+х+4+ +2х+4 = 45, звідки х=8. Потім отримуємо: у=12, с=5, в=20.

Відповідь: 8, 12, 5, 20 .

Задача «Прогулянка»

  • Зайди до мене завтра вдень, -сказав старий лікар своєму знайомому.
  • Прошу вас. Я вийду о третій годині. Можливо і ви захочете прогулятися, тож виходьте в той же час, зустрінемося на півдорозі.
  • Ви забуваєте, що я старець, крокую за годину лише 3 км, а ви молода людина, крокуєте при повільному кроці 4 км за годину. Зжальтеся над мною.
  • Справедливо. Так як я прохожу на 1 км за годину більше, то щоб зрівняти нас, віддам вам цей кілометр, тобто вийду на чверть години раніше. Достатньо?
  • Дуже дякую.

Молодик так і зробив: вийшов з дому о 2.45 і йшов зі швидкістю 4 км за годину. А лікар вийшов о третій і робив по три км за годину. Коли вони зустрілися, старець повернув назад і пішов додому разом з молодиком.

Тільки повернувши до себе додому, зрозумів молодик, що через льготну чверть часу йому довелося загалом пройти не вдвічі, а вчетверо більше, ніж лікар. Як далеко від лікаря до будинку його молодого знайомого?

 

Розв'язання:

Позначимо відстань між будинками через х, молодик пройшов 2х, старець - ; до зустрічі лікар пройшов півшляху - , а молодик – решту  ; свій шлях лікар пройшов за часу, молодик  - , до того ж він був на часу

більше , ніж лікар.

Складемо рівняння:   -    = , звідки х= 2,4 км.

Відповідь: від будинку молодика до будинку лікаря 2,4 км.

Миттєве множення

Обчислювачі-віртуози в багатьох випадках полегшують собі обчислювальну роботу, використовуючи нескладні алгебраїчні перетворення. Наприклад, обчислення 9882 виконується так:

988∙988=(988+12)∙(988-12)+122=1000∙976+144=976 144.

Легко зрозуміти, що в цьому випадку використовують наступні алгебраїчні перетворення:

а22 – в22=(а+в)(а-в)+в2.

На практиці ми можемо з успіхом користуватися цією формулою для усних викладок.

Наприклад:

272=(27+3)(27 – 3)+32=729,

632=66∙60+32=3969,

182=20∙16+22=324,

372=40∙34+32=1369.

Далі множення 986∙997 виконують так:

986∙977=(986 – 3)∙1000+3∙14=983042.

Що є підґрунтям цього прийому? Представимо множники у вигляді

(1000 – 14)∙(1000 – 3) і перемножимо ці двочлени за правилами алгебри:

1000∙1000 - 1000∙14 - 1000∙3+14∙3.

Далі перетворення:

1000(1000 – 14) - 1000∙3+14∙3=

=1000∙986 - 1000∙3+14∙3=1000(986 – 3)+14∙3.

Цікавий спосіб перемножування двох трьохзначних чисел, у яких число десятків однакове, а цифри одиниць складає в сумі 10. Наприклад, множення

783∙787

виконують так:

78∙79 =6162;  3∙7=21;

результат:

616221.

Обґрунтування способу зрозуміло з наступного перетворення:

(780+3)(780+7)=780∙780+780∙3+780∙7+3∙7=

=780∙780+780∙10+3∙7=780(780+10)+3∙7=

=780∙790+21=616200+21.

Інший метод для виконання подібного множення простіше:

783∙787=(785 – 2)(785+2)=7852 – 4=616225 – 4=616221.

В цьому прикладі нам довелося піднести до квадрата число 785.

Для швидкого піднесення до квадрата чисел, які закінчуються числом 5, дуже зручний наступний спосіб:

352;  3∙4=12.  Відповідь: 1225.

652;   6∙7=42.  Відповідь:  4225.

752;  7∙8=56.   Відповідь:  5625.

Правило полягає у тому, що множать число десятків на число, яке на одиницю більше, і до добутку дописують 25.

Прийом  заснований на тому, що якщо число десятків а, то все число можна подати так:

10а+5.

Квадрат цього числа як квадрат двочлена дорівнює

100а2+100а+25=100а(а+1)+25.

Вираз а(а+1) є піднесення числа десятків на наступне число. Помножити число на 100 і додати 25 – теж саме, що приписати до числа 25.

З цього ж прикладу витікає простий спосіб підносити до квадрата числа, які складаються з цілого числа і . Наприклад:

(3 )2=3,52=12,25=12 . [28]

 

 

docx
До підручника
Алгебра 7 клас (Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.)
До уроку
Многочлени
Додано
28 лютого
Переглядів
101
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку