Цікаві задачі з теми "Многочлени"

Цікаві задачі на кмітливість

1.Знайти два числа, сума яких 20, а добуток 96.

Розв’язування Діофанта

Він не складав рівнянь: нехай 2х є різниця чисел. Тоді більше дорівнює 10+х, а менше – 10 – х. За умовою добуток (10+х)(10 – х)=96, →100 – х²=96, →х²=4, отже х=2. Шукані числа 12 і 8.

2.Задача про життя Діофанта

Відповідь: 84 роки.

Задача про чотирьох братів.

У чотирьох братів 45 рублів. Якщо кошти першого збільшити на 2 рублі, кошти другого зменшити на 2 рублі, кошти третього збільшити вдвічі, а гроші четвертого зменшити вдвічі, то у всіх буде порівну. Скільки було у кожного?

Розв'язання:

Розділяємо останнє рівняння на три окремих:

Х+2=у-2;  х+2=2с;  х+2= , звідки у=х+4;  с= ;  в=2х+4. Підставивши ці значення в перше рівняння, отримаємо:

х+х+4+ +2х+4 = 45, звідки х=8. Потім отримуємо: у=12, с=5, в=20.

Відповідь: 8, 12, 5, 20 .

Задача «Прогулянка»

• Зайди до мене завтра вдень, -сказав старий лікар своєму знайомому.
• Прошу вас. Я вийду о третій годині. Можливо і ви захочете прогулятися, тож виходьте в той же час, зустрінемося на півдорозі.
• Ви забуваєте, що я старець, крокую за годину лише 3 км, а ви молода людина, крокуєте при повільному кроці 4 км за годину. Зжальтеся над мною.
• Справедливо. Так як я прохожу на 1 км за годину більше, то щоб зрівняти нас, віддам вам цей кілометр, тобто вийду на чверть години раніше. Достатньо?
• Дуже дякую.

Молодик так і зробив: вийшов з дому о 2.45 і йшов зі швидкістю 4 км за годину. А лікар вийшов о третій і робив по три км за годину. Коли вони зустрілися, старець повернув назад і пішов додому разом з молодиком.

Тільки повернувши до себе додому, зрозумів молодик, що через льготну чверть часу йому довелося загалом пройти не вдвічі, а вчетверо більше, ніж лікар. Як далеко від лікаря до будинку його молодого знайомого?

Розв'язання:

Позначимо відстань між будинками через х, молодик пройшов 2х, старець - ; до зустрічі лікар пройшов півшляху - , а молодик – решту  ; свій шлях лікар пройшов за часу, молодик  - , до того ж він був на часу

більше , ніж лікар.

Складемо рівняння:   -    = , звідки х= 2,4 км.

Відповідь: від будинку молодика до будинку лікаря 2,4 км.

Миттєве множення

Обчислювачі-віртуози в багатьох випадках полегшують собі обчислювальну роботу, використовуючи нескладні алгебраїчні перетворення. Наприклад, обчислення 988² виконується так:

988∙988=(988+12)∙(988-12)+12²=1000∙976+144=976 144.

Легко зрозуміти, що в цьому випадку використовують наступні алгебраїчні перетворення:

а²=а² – в²+в²=(а+в)(а-в)+в².

На практиці ми можемо з успіхом користуватися цією формулою для усних викладок.

Наприклад:

27²=(27+3)(27 – 3)+3²=729,

63²=66∙60+3²=3969,

18²=20∙16+2²=324,

37²=40∙34+3²=1369.

Далі множення 986∙997 виконують так:

986∙977=(986 – 3)∙1000+3∙14=983042.

Що є підґрунтям цього прийому? Представимо множники у вигляді

(1000 – 14)∙(1000 – 3) і перемножимо ці двочлени за правилами алгебри:

1000∙1000 - 1000∙14 - 1000∙3+14∙3.

Далі перетворення:

1000(1000 – 14) - 1000∙3+14∙3=

=1000∙986 - 1000∙3+14∙3=1000(986 – 3)+14∙3.

Цікавий спосіб перемножування двох трьохзначних чисел, у яких число десятків однакове, а цифри одиниць складає в сумі 10. Наприклад, множення

783∙787

виконують так:

78∙79 =6162;  3∙7=21;

результат:

616221.

Обґрунтування способу зрозуміло з наступного перетворення:

(780+3)(780+7)=780∙780+780∙3+780∙7+3∙7=

=780∙780+780∙10+3∙7=780(780+10)+3∙7=

=780∙790+21=616200+21.

Інший метод для виконання подібного множення простіше:

783∙787=(785 – 2)(785+2)=785² – 4=616225 – 4=616221.

В цьому прикладі нам довелося піднести до квадрата число 785.

Для швидкого піднесення до квадрата чисел, які закінчуються числом 5, дуже зручний наступний спосіб:

35²;  3∙4=12.  Відповідь: 1225.

65²;   6∙7=42.  Відповідь:  4225.

75²;  7∙8=56.   Відповідь:  5625.

Правило полягає у тому, що множать число десятків на число, яке на одиницю більше, і до добутку дописують 25.

Прийом  заснований на тому, що якщо число десятків а, то все число можна подати так:

10а+5.

Квадрат цього числа як квадрат двочлена дорівнює

100а²+100а+25=100а(а+1)+25.

Вираз а(а+1) є піднесення числа десятків на наступне число. Помножити число на 100 і додати 25 – теж саме, що приписати до числа 25.

З цього ж прикладу витікає простий спосіб підносити до квадрата числа, які складаються з цілого числа і . Наприклад:

(3 )²=3,5²=12,25=12 . [28]