Диференційні рівняння

Диференційні рівняння. Автор: Красуля Катерина

Диференціальні рівняння — рівняння, що встановлюють залежність між незалежними змінними, числами (параметрами), невідомими функціями та їхніми похідними. Невідома функція може бути як скалярною, так і векторною. Такі залежності віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії та ін. Означення

Диференційні рівняння були винайдені Ньютоном у XVII столітті. Він зашифрував своє відкриття у вигляді анаграми, яку можна визначити як "закони природи виражаються диференціальними рівняннями". Він використовував ряди Тейлора для апроксимації функцій і вивчення площі фігур. У XIX столітті Ліувіль встановив нерозв'язність деяких рівнянь. У XX столітті Пуанкаре розвинув якісну теорію, що призвела до теорії динамічних систем і топології.Історія

Застосування. Диференційні рівняння використовуються для моделювання та аналізу змін в часі чи просторі в різних галузях, таких як фізика, біологія, економіка, інженерія, екологія та медицина. Вони описують взаємозв'язки та динаміку різноманітних явищ та процесів, допомагаючи передбачити їх поведінку та розв'язати реальні проблеми.

Класифікація. Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним; якщо незалежних змінних дві або більше, то рівняння називається диференціальним рівнянням з частинними похідними. З метою отримати висококваліфікованих спеціалістів у всіх ВУЗах де вивчають точні дисципліни обов'язковим є курс диференціальних рівнянь.

Розв’язок рівняння. Загальний розв'язок диференціального рівняння - це функція, що включає стали (кількість сталих залежить від порядку рівняння). Підставивши цю функцію в рівняння, ми отримаємо істинне твердження. Загальний інтеграл - це загальний розв'язок, який не виражений щодо залежної змінної y(x), представлений у вигляді рівняння. Частинний розв'язок - це конкретний розв'язок, отриманий підставленням конкретних значень сталих у загальний розв'язок. Це дозволяє знайти конкретну функцію y(x) для заданих умов чи обмежень.

Геометричний зміст. Геометричний зміст диференціаьного рівняння першого порядкуy'=f(x, y) полягає в наступному. Дане рівняння встановлює зв'язок (залежність) між координатами точки (x; y) і кутовим коефіцієнтом y' дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку . Таким чином, рівняння y'=f(x, y) дає сукупність напрямів (поле напрямів) на декартовій площині Oxy.

Iнтегральною лiнiєю рівняння. Iнтегральною лiнiєю рiвняння називається графiк розв'язку цього рiвняння. Звичайнi диференцiальнi рiвняння, розв'язки яких можна задати аналітично y=g(x), називаються iнтегровними рiвняннями. Рiвняння вигляду M0(x)dx+N0(y)dy=0 називаються рiвняннями з вiдокремленними змiнними.

Приклад. Розв’язати рівняння xdx+ydy=0 Розв'язок: в цьому рівнянні змінні відокремлені. Інтегруючи обидві частини рівняння, одержимо: абоІ загальним інтегралом данного рівняння буде сім'я кіл з центром в початку координат.

Дякую за увагу!