Додавання та віднімання векторів у просторі

Додавання і віднімання векторів. Підготувала Єсипенко О. Л.

Правило трикутника для знаходження суми векторів. Щоб знайти суму векторів 𝒂 𝒊 𝒃 за правилом трикутника треба:1) від кінця вектора 𝒂 відкласти вектор, що дорівнює вектору 𝒃;2) побудувати вектор, початок якого збігається з початком вектора 𝒂, а кінець – з кінцем вектора 𝒃, він і є сумою векторів 𝒂 𝐢 𝒃. З правила трикутника можна дійти висновку, що для будь-яких трьох точок А, В, і С справджується рівність: 𝑨𝑩+𝑩𝑪=𝑨𝑪 

Правило трикутника для знаходження суми векторів

Практикум№ 40.1 Дано призму АВСА1 В1 С1. Знайдіть суму векторів: 𝑩𝑪+𝑨𝑨𝟏  

Правило паралелограма для знаходження суми двох векторів. Щоб знайти суму двох неколінеарних векторів 𝒂 𝒊 𝒃 за правилом паралелограма, треба:1) відкласти ці вектори від спільного початку – точки А;2) побудувати на цих векторах паралелограм;3) побудувати вектор, що виходить з точки А і збігається з діагоналлю паралелограма, він і є сумою векторів 𝒂 𝐢 𝒃. 

Правило паралелограма для знаходження суми двох векторів

Властивості додавання векторів. Для будь-яких векторів 𝒂,𝒃 𝒊 𝒄 виконуються рівності:𝒂+𝟎=𝒂𝒂+𝒃=𝒃+𝒂𝒂+𝒃+𝒄=𝒂+𝒃+𝒄 

Практикум№ 40.3 Дано паралелепіпед АВСDA1 B1 C1 D1. Знайдіть суму 𝑨𝑩+𝑫𝑫𝟏+𝑪𝑫+𝑩𝟏𝑪𝟏 

Правило паралелепіпеда для знаходження суми трьох векторів. Щоб знайти суму трьох неколінеарних векторів 𝒂, 𝒃 і 𝒄, які відкладені від однієї точки та не лежать у одній площині, за правилом паралелепіпеда, треба:відкласти від точки О вектори 𝑶𝑨 𝐢 𝑶𝑩;2) побудувати на цих векторах паралелограм;3) сумою векторів 𝑶𝑨 𝐢 𝑶𝑩, за правилом паралелограма, є вектор 𝑶𝑲;4) відкладемо від точки С вектор 𝑪𝑫, що дорівнює вектору 𝑶𝑲. Тоді 𝑶𝑪+𝑶𝑲=𝑶𝑪+𝑪𝑫=𝑶𝑫;5) отже, 𝑶𝑨+𝑶𝑩+𝑶𝑪=𝑶𝑫 

Правило паралелепіпеда для знаходження суми трьох векторів.

Правило побудови різниці двох векторів. Щоб знайти різницю векторів 𝒂 𝒊 𝒃 треба:1) відкласти вектори 𝒂 𝐢 𝒃 від однієї точки – точки О;2) побудувати вектор, початок якого збігається з кінцем вектора 𝒃, а кінець з кінцем вектора 𝒂, він і буде різницею векторів 𝒂 𝐢 𝒃  Різницею векторів 𝒂 𝒊 𝒃 називають такий вектор 𝒄, сума якого з вектором 𝒃 дорівнює вектору 𝒂.𝒄=𝒂−𝒃 , оскільки 𝒃+𝒄=𝒂  

Правило побудови різниці двох векторів

Практикум№ 40.9 Дано призму АВСА1 В1 С1. Знайдіть різницю векторів: 𝑨𝑩−𝑨𝟏𝑪𝟏 

Дії над векторами, що задані координатами. Сумою векторів 𝒂𝒂𝟏;𝒂𝟐;𝒂𝟑 і 𝒃𝒃𝟏;𝒃𝟐;𝒃𝟑 називають вектор 𝒄𝒂𝟏+𝒃𝟏;𝒂𝟐+𝒃𝟐;𝒂𝟑+𝒃𝟑 Різницею векторів 𝒂𝒂𝟏;𝒂𝟐;𝒂𝟑 і 𝒃𝒃𝟏;𝒃𝟐;𝒃𝟑 називають вектор 𝒄𝒂𝟏−𝒃𝟏;𝒂𝟐−𝒃𝟐;𝒂𝟑−𝒃𝟑 

Практикум№ 40.5 Дано вектори 𝒂𝟑;−𝟔;𝟒 і  𝒃−𝟐;𝟒;−𝟓. Знайдіть: 1) координати вектора 𝒂+𝒃;2) 𝒂+𝒃Розв’язання1) Знайдемо координати вектора 𝒂+𝒃=𝟑−𝟐;−𝟔+𝟒;𝟒−𝟓=𝟏;−𝟐;−𝟏2) 𝒂+𝒃=𝟏𝟐+−𝟐𝟐+−𝟏𝟐=𝟏+𝟒+𝟏=𝟔 Відповідь: 𝟔  

Практикум№ 40.7 Дано вектори 𝒂−𝟏𝟎;𝟏𝟓;−𝟐𝟎 і 𝒃𝟐;𝟔;−𝟏𝟐. Знайдіть: 1) координати вектора 𝒂−𝒃;2) 𝒂−𝒃Розв’язання1) Знайдемо координати вектора 𝒂−𝒃=−𝟏𝟎−𝟐;𝟏𝟓−𝟔;−𝟐𝟎+𝟏𝟐=−𝟏𝟐;𝟗;−𝟖2) 𝒂−𝒃=−𝟏𝟐𝟐+𝟗𝟐+−𝟖𝟐=𝟏𝟒𝟒+𝟖𝟏+𝟔𝟒=𝟐𝟖𝟗=𝟏𝟕 Відповідь: 17 

Домашнє завдання. Опрацювати п. 40, № 40.2, 40.4, 40.6, 40.8, 40.10 На повторення № 40.17