"Екстремальні точки. Локальний екстремум функції"

Про матеріал
Підручник Математика 10 клас Істер О.С., 2018 рік. Конспект уроку під час дистанційного навчання з тестовим завданням.
Перегляд файлу

 

Алгебра10 клас

Тема: Екстремальні точки. Локальний екстремум функції

Очікувані результати:

- ознайомитись  з правилами знаходження екст­ремумів функції.

- навчитись застосовують похідну для знаходження екстремумів функції,

розв’язувати завдання  на знаходження точок 

екстремуму та екстремумів функції

 

 

 

Для цього

потрібно


Додаток 1.  Опорний конспект  

 При дослідженні поведінки функ­ції в деякій точці зручно користува­тися поняттям околу.

Околом точки  а називається будь-який інтервал, що містить цю точку.

Наприклад, інтер­вали (2; 5),   (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3.

Розглянемо графік функції, зоб­ражений на рис. 38.

Як видно із ри­сунка, існує такий окіл точки x = а, що найбільше значення

функція у = f(x) в цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно точку х = b називають точкою мінімуму функції y = f(x), оскільки значення функції в цій точці найменше по­рівняно зі значеннями функції в деякому околі точки b.

 

Точки максимуму позначають хmax , а точки мінімуму хmin.

Точки максимуму хmax і точки мінімуму хmin  - це точки екстремуму функції.

Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються відповідно: уmax і уmin і називають екстремумами  функції.

 

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f (х).

2) Знаходимо похідну f '(x). (таблиця похідних ст.. 185, правила ст..181 підручника)

3) Знаходимо критичні точки та розв’язки рівняння f '(х) = 0. (тобто прирівнюємо похідну до нуля та розв’язуємо утворене рівняння)

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (робимо зображення проміжку та позначаємо на ньому точки знайдені в  пункті 3,  визначаємо знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку )

5) Якщо у критичній точці х0 похідна міняє

C:\Documents and Settings\User\Мои документы\математика\10 клас\image1691.jpgзнак з «+» на «-», то х0= хmах (мал. 100).

Якщо ж міняє знак з «-» на «+»,

то х0 = хmin (мал. 101).

Якщо ж зміни знаків немає (мал. 102),

то х0 не є точкою екстремуму.

6) Робимо висновок (відповідь).

7) Якщо ж потрібно знайти екстремум функції, тоді значення

хmin та хmах  підставляємо в вираз умови і рахуємо уmax і уmin

 

 

 

Приклад:  Знайдіть екстремуми функції  f(x)= 5 - 5x3 + 1.

Розв'язання

1.Область визначення функції — R.

2.Знайдемо похідну:   f (x) = 15х4 – 15х2 = 15х2 2  - 1) =15х2  - 1)(х + 1)

3. Знайдемо критичні точки: 15х2  - 1)(х + 1) = 0

                                                  х1 = 0, х2 = - 1,  х3 = 1

4. Наносимо критичні  точки на координатну пряму  та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі. 

 х min = 1 — точка мінімуму,

(бо при переході через цю точку

похідна змінює знак з «-» на «+»:) 

х mах = -1 – точка максимуму.

(бо при переході через цю точку  похідна змінює знак з «-» на «+») 

 

Точка х = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.

Отже, знаходимо екстремум функції

 

у min =f (1) = 3 * 15 – 5 ·13  + 1 = - 1.          у mах =f (-1) =3 * (-1)5 – 5 ·(-1)3  + 1 = 3.            

  

Відповідь: у min = f (1) = -1         у mах =f (-1) = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

docx
Додано
30 січня 2022
Переглядів
4167
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку