Формула коренів квадратного рівняння

Згадаємо означення: aх2 + bх + c = 0, де a ≠ 0, b і c – деякі Рівняння виду називається квадратним. числа, х - змінна

Ми вже вміємо розв'язувати квадратні рівняння різними способами. Наприклад: - розкладанням на множники; - виділенням повного квадрата.

х2 - 6х + 8 = 0, х2 - 2х - 4х + 8 = 0, 2 4 -2х -4х (х2 - 2х) – (4х - 8) = 0, х(х - 2) – 4(х - 2) = 0, (х - 2)(х - 4) = 0,

Відповідь: х = 2; х = 4. х - 2 = 0, х - 4 = 0, х = 2, х = 4.

2х2 + 5х - 7 = 0, 4х2 + 10х - 14 = 0, (2х)2 + 2·2х·2,5 + 2,5 2 - - 2,5 2 - 14 = 0, (2х + 2,5)2 - 20,25 = 0, (2х + 2,5)2 – 4,5 2 = 0,

(2х + 2,5)2 – 4,5 2 = 0, (2х + 2,5 – 4,5) Ч Ч (2х + 2,5 + 4,5) = 0, (2х - 2) Ч (2х + 7) = 0, 2х - 2 = 0, 2х + 7 = 0, х = 1, х = - 3,5.

за коефіцієнтами a, b, c a х 2 + bх + c = 0, знаходити його корені. квадратного рівняння

Виділимо повний квадрат aх2 + bх + c = 0, 4a2х2 + 4abх + 4ac = 0, 4a2х2 + 4abх + b 2- b 2 + + 4ac = 0, (2aх + b) 2 = b 2- 4ac,

Існування коренів залежить від D = b 2- 4ac, D – дискримінант квадратного рівняння, виразу b 2- 4ac. дискримінант (лат.)- розрізняти

Можливі три випадки: D < 0, D = 0, D > 0. Якщо D < 0, то квадратне рівняння (на множині дійсних чиел) коренів не має, бо (2aх + b) 2 ≥ 0, а b 2- 4ac < 0.

Якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь. (2aх + b) 2 = 0, х = - b / 2a.

Якщо D > 0, то квадратне рівняння має два корені, (2aх + b) 2 = D, 2aх + b = ± D, 2aх = - b ± D, 2a х = 1,2

Слід знати!!! Якщо коефіцієнти а і c мають різні знаки, то рівняння ах 2 + bх + c = 0 завжди має корені.

Приклад. 2х2 + 3х - 5 = 0, a = 2; b = 3; c = - 5, D = b2- 4ac = 2a х = 1,2 = = 49

х = 1,2 4 х = 1 - 2,5, 1. Відповідь: х = -2,5; х = 1. 1 2 - 3 - 7 х = 4 1 х = 4 2 - 3 + 7 х = 2

Приклад. х2 - 6 х 2 + 5 = 0, D = b2- 4ac = х2 - 6|х | + 5 = 0, х ≥ 0, х2 - 6х + 5 = 0, a = 1; b = -6; c = 5,

2a х = 1,2 = х = 1,2 5, 1. х ≥ 0, х = 5, 1. 1,2

D = b2- 4ac = х2 - 6|х | + 5 = 0, х < 0, х2 + 6х + 5 = 0, a = 1; b = 6; c = 5,

2a х = 3,4 = х = 3,4 - 5, - 1. Відповідь: х = ± 5; х = ± 1. 1,2 3,4 х < 0, х = 3,4 - 5, - 1.

Текстова задача. Знайдіть сторони прямокутного трикутника, якщо менший з його катетів на 18 см менший від гіпотенузи, а різниця катетів дорівнює 17 см.

Нехай гіпотенуза дорівнює - х см. Розв'язування. Тоді один з катетів дорівнює – (х - 18) см. Другий катет дорівнює – (х – 1) см.

Враховуючи, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, складемо рівняння : х2 = (х - 1) 2 + (х - 18) 2. х 2 - 38х + 325 = 0. = 144, 144 = 122.

2a х = 1,2 = х = 1 25, х = 13. 2 - не відповідає умові. Відповідь: 7 см, 24 см, 25 см.

D = 4 2 - ac b 2 a b 2 х = 1,2 D 4

2019х 2 - 2020х + 1 = 0 Розв'язування. a= 2019, b=-2020,c=1. D = 4 2 - ac b 2 2 -2019∙1 -2020 2 =

D 4 = a b 2 х = 1,2 D 4 = 2019 -2020 2 1018081, 1018081 х = 1, 1 х = 1/2019. 2

Теорема 1. a х 2 + bх + c = 0, a + b + c = 0, то х = 1, 1 х = c / a. 2 Теорема 2. a - b + c = 0, то х = - 1, 1 х = - c / a. 2

2019х 2 - 2020х + 1 = 0 Розв'язування. 2019 + (- 2020) + 1 = 0, х = 1, 1 х = 1/2019. 2

Актуальна задача.

Фізкультхвилинка для очей від вчителя фізкультури Едуарда Васильовича

Домашня робота: § 7, п. 38, №38.2, №38.3, №38.5(1,2,5,6,8), №38.9(2), №38.11(1,2), №38.17, №38.21, №38.26, №38.30 (2,6).

Дякую за увагу!

Здобувайте знання дистанційно! Сидіть вдома! Мийте руки! Слухайте маму!

Викристано: Алгебра : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Н. С. Прокопенко, Ю. О. Захарійченко, Н. Л. Кінащук. — Х. : Вид-во «Ранок», 2016. — 288 с. : іл. Презентація створена вчителем математики Житомирського міського ліцею при ЖДТУ Панським Володимиром Анатолійовичем 2020