"Функціональні рівняння та їх застосування"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функціональні рівняння та їх застосування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

І. Вступ. .................................................................................................................. 3

 

ІІ. Поняття функції. Способи задання функції. ………………………… 4 - 6

 

 ІІІ. Функціональні рівняння. …………………………………………… 7 - 29

1. Означення  функціонального рівняння і його розв’язки.

2. Знаходження значень функції від довільного аргумента з області визначення.

3. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь.

4. Задачі про існування функції при певних умовах.

5. Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь.

 

ІV. Функціональні рівняння і групи. …………………………………. 30 - 34

1. Композиція функцій.
2. Функціональні рівняння.
3. З’являються групи.
4. Підведення підсумків.

 

V. Метод підстановок. …………………………………………………... 35 - 36

 

VІ. Розв’язування функціональних рівнянь методом Коші ……….. 37 - 48

1. Історична довідка.

2. Аналітичний метод.

3. Адитивні функції.

        4. Ілюстрування застосування методу Коші до роз­в'язування задач.

 

VІІ. Графічне розв’язання функціонального рівняння  f(x)= f(f(x)). 49 - 52

 

VІІІ. Методи наближеного розв’язування нелінійних рівнянь з одним невідомим. ………………………………………………………………… 53 - 56

1. Про відокремлення полінома.

2. Відокремлення розв’язків у випадку довільної функції.

 

ІХ. Боротьба за існування ……………………………………………..... 57 - 58

 

Х. Бібліографія ……………………………………………………………… 59

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Вступ.

 

„Ніяке людське дослідження не може бути назване істиною, якщо воно не проходить через математичні доведення”

Леонардо да Вінчі

 

Головним видом математичної діяльності є розв’язання проблем, тобто завдань пошукового і дослідницького характеру, а також математичний опис моделей реальних ситуацій. У процесі вивчення та дослідження різноманітних явищ природи, розв’язування технічних задач тощо, доводиться розглядати не стільки змінні величини, взяті окремо, скільки зв’язок між ними, залежність однієї величини від іншої. Ці актуальні питання допомогають вирішити створення функціональних рівнянь та їх розв’язки.

 

Предмет дослідження —  функціональні рівняння, які повною мірою є математичною моделю опису реальних ситуацій.

 

Мета роботи — систематизувати методи  розв’язування функціональних рівнянь; показати, що розв’язки функціональних рівнянь є результат ідеалізації реальних операцій над предметами та виділення їх властивостей.

 

Методи дослідження:

теоретичні — вивчення та аналіз відповідної наукової літератури;

практичні — оволодіння методами розв’язування функціональних рівнянь.

 

Практичне значення цієї роботи полягає в тому, що надає можливість молоді розвинути науковий світогляд, поняття про математичну модель, що відображає реальну картину навколишнього світу;

допоможе розвинути аналітично-синтетичне та графічне мислення, а також розумові дії, як аналіз, порівняння, узагальнення, абстрагування, встановлення та використання аналогій;

застосовувати мову функціональних рівнянь для узагальнення спостережень над конкретними прикладами і їх взаємозв’язками.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IІ. Поняття функції. Способи задання функцій.

 

    Означення: Якщо кожному елементу х множини Х поставити у відповідність єдиний елемент y множини Y, то кажуть, що на множині Х задана функціональна залежність, або функція f. Елементи х множини Х називають значеннями аргументу функції, множину Х - областю визначення і позначають D(f). Множину, що складається з усіх елементів f(х), де  х Х, називають множиною значень функції і позначають Е(f).

Означення: Якщо елементами множин Х і Y є дійсні числа, тобто ХR і Y R, то функцію f: Х Y називають числовою функцією. Функцію можна задати різними способами: а) формулою; б) графіком; в) таблицею; г) словесно тощо.   

    Пропоную вашій увазі ще один спосіб задання функції як функції, яка є розв’язком деякого функціонального рівняння (його ще називають характеристичним). Так, показниковою функцією  з основою а визначеною на множині R, назвемо функцію, для якої:

1) f(1)=a, де a0 і a1;

2) для будь-яких х, у   R  f(х + у) = f(х) · f(у) (характеристичне функціональне рівняння для показникової функції);

3) функція у =f(х) ―- неперервна на множині R.

Знайдемо f(0). З огляду на пункт 2: f(0 + 1) =f(0)· f(1) або f(1)=f(0) · f(1).

Звідки f(0)=1.

Тоді легко обчислити значення функції f(2), f(3), ..., f(n); f(2)= f(1+1)=f(1)· f(1) =.a· a=a²;

f(3)= f(2+1)=f(2)· f(1) =a²· a=a³.

Методом математичної індукції з'ясовуємо, що f(n) = аⁿ.

Далі знаходимо

звідки

Тоді звідки

Очевидно, що ;,.

Тому

Властивості 1—3 одно­значно визначають функцію, значення якої у всіх раціональних точках обчислюються за формулою . Аналітичний вигляд функції такий само й тоді, коли х ― ірраціональне число. Для цього роз­глядається послідовність раціональних чисел така, що .Тоді з огляду на неперервність функції f. Але

Тоді . Оскільки границя єдина, то, де x R .

 

 

Показникова функція є математична модель конкретного природного процесу.

    Нехай є множина клітин. У початковий момент часу кількість клітин приймемо за одиницю. За одиницю часу кількість клітин змінюється в а разів. Нехай цією одиницею часу є доба. Як змінюється чисельність клітин залежно від часу?

    Оскільки:

Тоді очевидно, що , де nN.

Значення f(-1), тобто кількість клітин за добу до початку відліку часу, змінюється в разів:

Очевидно, що , де nN. Далі легко знайти ( ― це n-та частина доби).

Нехай , тоді      

Очевидно, що , звідки

Тоді і

Цей процес інтерпретує функція де x Q. Оскільки розглянутий природний про­цес можна вважати неперервним, то далі ана­логічно, як це було показано вище. Доводиться, що при x R такою функцією буде функція

Логарифмічна функція в курсі алгебри і початків аналізу розглядається як функція, яка є оберненою до показникової. Властивості лога­рифмічної функції випливають із теореми про обернену функцію та відповідних властивостей показникової функції. Але, щоб функція у=f(x) була логарифмічною, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла такі вимоги:

1) існувало таке x R, що f(а)= 1, де а0, а1;

2) для будь-яких х, у  (характеристичне функціональне рівняння лога­рифмічної функції);

3) f(x) — неперервна на множині функція.

Дійсно, в умові 2 покладемо х = у, тоді

Очевидно, що п N (строго це доводимо методом математичної індукції).

В останній рівності покладемо , в результаті одержимо

Тоді

Покладемо в умові 2  х = у = 1, тоді  f(1∙1) = f(1+1). Отже, f(1)= 0.

Використовуючи це, одержимо

Звідки

Отже, для будь-якого r Q

Доведемо, що для довільного ірраціонального 

 Розглянемо послідовність раціо­нальних чисел {} таку, що . Тоді в силу неперервності показ­никової функції. Але в силу неперервності функції y=f(x). За вище доведеним тому Перейдемо до границі

Оскільки границя єдина, то для довільного  R.

Тоді

Легко показати, що функція задо­вольняє умови 1 — 3. Отже, умови 1—3 одно­значно визначають логарифмічну функцію.

Степеневу функцію можна означити так:

1) функція, яка тотожно не дорівнює нулю та одиниці;

2) функція, яка є неперервною на множині R₊;

3) для довільних х, у є R₊  f(x∙y)=f(x)·f(y) (характеристичне функціональне рівняння степеневої функції).

Покажемо, що це дійсно так. Покладемо , де t, sR, a 0, a1, тоді згідно з умовою 3

Введемо допоміжну функцію , яка, очевидно, буде неперервною на всій множині R. Із останнього співвідношення одержуємо g(t+s)=g(t)·g(s),що є характеристичним функціо­нальним рівнянням показникової функції. Отже, де b 0 і b 1(при b= 1 , що суперечить умові 1).

Таким чином, . Нехай , звідки

Або

Таким чином, справді , де — стала.

В основу означення тригонометричних функцій можна покласти деякі характерні і не­залежні одна від одної властивості тригономет­ричних функцій.

Нехай S(х), С(х) ― деякі функції, визначені на множині R, що задовольняють такі властивості:

S(х – у) = S(x) ∙С(у) – S(у)∙С(х), для будь-якого х,у R,

С(х – у) = С(х)∙С(у) – S(у)∙S(x), для будь-якого х, у R,

на

Можна показати, що S(х) = sin x, С(х) = cos x , де у = sin x і у = cos x — функції означені зви­чайним (шкільним) способом.

Розв'язком функціонального рівняння

де f— диференційована функція і  f(0) = 1, є функція у = tg х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IIІ. Функціональні рівняння

 

1. Означення  функціонального рівняння і його розв’язки.

 

1. Функціональними рівняннями називаються рівняння в яких невідома функція пов'язана з відомими функціями з допомогою операції композиції.                                                     

Приклад 1. Рівняння

 

та                        

 

де  у - незалежна змінна, будуть функціональними.

 

2. Функція  f(х) називається розв'язком функціонального рівняння на множині Д , якщо вона задовольняє його для всіх значень незалежних змінних із цієї множини.

Приклад 2. Розв'язком рівняння

 

є рівняння

 

Функціональними рівняннями

 

задають такі властивості функції, як парність, непарність і періодичність.

Більшість функціональних рівнянь задають не одну конкретну функцію, а визначають цілий клас таких функцій.

Приклад 3. Рівнянням

 

може бути задана одна з функцій:

 

а)

б)       

в)      

г)

д)

  

3. Частинним розв'язком функціонального рівняння є функція або система функцій, що задовольняє рівняння на заданій множині.

4. Загальним розв'язком функціонального рівняння є сукупність усіх функцій, що задовольняють рівняння.

 

 

 

 

 

 

2. Знаходження значень функції від довільного аргумента з області визначення.

 

1) Функція  f(х) задовольняє  співвідношення

Чому дорівнює значення для  х>0 ? 

 

 

Розв'язування:

Підставимо замість  х  вирази                       та                       відповідно.

 

Тоді маємо:

 

 

 

 

 

Отже,

 

Відповідь:  А

 

2) Функція   f   така, що для  довільного  х виконується рівність

 

 

Знайдіть   f (-1)

                                               Розв'язування:

І спосіб:

Нехай  2х + 1= -1

             2х = -2

              х = -1

Тоді  

 

ІІ спосіб:

Нехай   2х + 1 = у

              2х = у - 1

 

 

Тоді з рівності  (1) маємо:

що рівносильно

 

 

 

Функція, яку отримали, є розв'язком рівняння  (1) в загальному вигляді.

Отже:     

 

Відповідь: 2.

3) Функція   f   така, що для довільного  х   виконується рівність

 

 

Знайдіть f (1)

                                               Розв'язування:

І спосіб:  

 

Нехай          

 

 

                   х = 4

 

Отже,              

 

 

ІІ спосіб:

 

 

Нехай         

                     х = 2у + 2

 

Тоді з рівності  (2)  маємо:

 

 

що рівносильно:

                                              

Функція, яку отримали, є розв'язком рівняння (2) в загальному вигляді.

 

Отже,                                              

 

Відповідь: 20.

 

4) Функції  f (х)  та  g(х)   задано формулами

 

Знайти:  а)  f (х + 1) та g(х + 1);   

               б)  f (3х) та g(3х);

               в)  f (-2х + 3) та g(-2х + 3);  

               г)  f (|х|) та g(|х|);

                     

               д)                                                                  та

 

а)                                            Розв'язання:

      

       

Відповідь:

 

 

б)    

Відповідь:         

 

в)  

      

Відповідь:                       

 

г)

                    

Відповідь:                

д)        

 

Відповідь:       

 

3. Розв'язання функціонального рівняння способом заміни та утворенням системи лінійних рівнянь.

 

5) Знайдіть функцію  у = f (х)  на множині дійсних чисел з областю визначення   R,  якщо виконуються рівності:

 

а)   

б)         

                                              

в)        

                                          

                                       Розв'язування:

а) Нехай  2х = t.  Тоді    Отже,     

Тому  f (х) = 2х.               

Відповідь:  f (х) = 2х.                                    

б) Нехай   Тоді  х = 2t. Отже,  f (t) = 3∙2t + 1; f (t) = 6t +1;

 

Тому  f (х) = 6х +1.

Відповідь:  f (х) = 6х +1.          

в) Нехай  3х-1= t. Тоді  3х = t +1, 

Отже,  

 

Тому,

 

Відповідь:

6) Знайдіть функцію   у = f (х)  з областю визначення D, якщо виконуються такі рівності:

а)  для х≠0

 

 

б) для х≠1,D=(-∞;1)(1;+∞)

   

 

в) для х≠ -1;  D=(-∞;-1) (-1;+∞)

 

 

г) для х≠0,  D=(-∞;0)  (0;+∞)

 

д) для х>0, D=(0;+∞)

 

е) для довільного х

 

є) для  х≠0, 

 

ж) для

 

                      Розв'язування:

 

а) Нехай     Тоді      Отже, 

Тому

 

Відповідь:

 

б) Нехай   Тоді   х+2=tx-t,  x-tx=-t-2;  x(t-1)=t+2;

Тому

 

Отже,

Відповідь:

 

в) Нехай   Тоді   і для довільного маємо:

 Отже,

Відповідь:       

 

г) Нехай , тоді 

Отже,                                               

Маємо систему рівнянь:

 

Помножимо друге рівняння системи  на  -2,  дістанемо:

                                                        

 

звідки:

 

  Перевірка:

Відповідь:

 

г) Нехай Тоді         

 

Отже,    

Маємо систему рівнянь:

      

   звідки

 

 

Перевірка:

 

Відповідь:

 

 

д) Нехай  -х = t. Тоді  х = -t.

 

Отже,  f (-t) + 2 f (t) = 2 + t

            f (-х) + 2 f (х) = 2 + х

 

Маємо систему рівнянь:

 

f (х) + 2 f (- х) = 2 – х,                                   f (х) + 2 f (х) = 2 – х,

 f (- х) + 2 f ( х) = 2 + х;                         -2 f (- х) - 4 f (х) = -4 -2х;

                                  

звідки:    -3f (х) = -2 -3х,

 

Відповідь:

 

е) Нехай   Тоді                

 

 

Отже,,          

 

Маємо систему рівнянь:                    

                     

 

звідки  ;;

 

Відповідь:

 

є) Нехай Тоді                               

 

Отже,         

 

Маємо систему рівнянь:

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

7) Знайдіть функцію  у = f (х),  визначену на   

якщо рівність виконується для всіх

 

Розв'язування:

 

Нехай Тоді

 

Отже,    

 

Зробимо ще раз заміну

 

Тоді остання рівність має вигляд:

 

Маємо систему рівнянь:

 

Звідки  ,

 

Відповідь:

      

8) Знайдіть функцію  у = f (х),  визначену на

 

якщо для довільних  та

 

виконується  рівність

 

                                    

Розв’язування:

 

Скористаємося особливостями  функцій

 

 

Нехай                                  Тоді

 

Отже,

 

 

Нехай                                   Тоді

 

 

Отже,

 

 

 

 

Маємо систему рівнянь:

 

Звідки

 

 

 

Відповідь:

 

 

 

4. Задачі про існування функції при певних умовах.

 

9) Нехай

 

Позначимо

                  

Знайдіть

Розв'язування:

Зауважимо,  що

 

і  т.д.

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оскільки  1000 = 166 ∙ 6 + 4

 

Відповідь:

 

 

10) Чи існує функція  f , задовольняє такі дві умови:

а) якщо  х ≠ у,  то  f (х) ≠ f (у);

б) для всіх дійсних   х  виконується нерівність

 

                                                  Розв'язування:

 

Для  х = 1, маємо:

 

 

 

 

 

Для    х = 1999  маємо:

 

 

Отже,  f (-1997) = f (1999),  що суперечить умові а)

 

Відповідь: не існує.

 

11) Доведіть, що не існує функції, яка для всіх дійсних значень  х      

задовольняє нерівність   і не набуває жодного значення більше ніж в одній точці                    

                                                  

Розв'язування:

Для  х = 0  маємо:

 

 

 

 

 

 

Для    х = 1  маємо:

 

 

 

Отже,  f (0) і  f (1)  набувають однакових значень, що суперечить умові. Тому такої функції f (х)  не існує.

 

Відповідь: Не існує.

 

12) Знайдіть усі функції  f , що відображають множину дійсних чисел  у  множину дійсних чисел, і для всіх дійсних значень  х  і  у  задовольняють такі умови:

1) 

                                              

2) 

 

Розв'язування:

Оскільки умова  2)  виконується для всіх  х та  у, то значення виразу  1+ f (х) f (у)                     завжди відмінне від нуля. Помноживши на цей вираз умову  2)  і перетворивши його,

дістанемо для  у = 0 формулу яка має бути правильною для всіх  х.

                                   

За умовою 1)  маємо  f (0) ≠ 0.

Отже,                                    тобто                    для кожного дійсного  х.

 

Перевірка показує, що функції константи  та                               задовольняють обидві умови.

Не може статися так, що           в деяких точках  

оскільки тоді умова   2)  не має смислу.

                             

Відповідь:    для всіх

 

13) Знайдіть усі дійсні функції дійсного аргументу  f  такі, що для довільних х, у та  z має

 

місце рівність:

 

                                                   Розв'язування:

 

Нехай Тоді

   

і     а = 2                                 

                                      

Отже,  

 

Нехай  z = у = 1.

 

Тоді за умовою

 

Відповідь:

 

14) Чи існує функція  f , яка множину  дійсних чисел відображає в множину дійсних чисел і для якої виконуються такі умови:

 

1) множина значень  f  збігається з  R ;

2) для всіх                виконується рівність

                                               

                                                Розв'язування:

 

З умови   1)  випливає, що знайдеться          таке, що

 

Підставимо це значення в дану рівність і  одержимо, що                              тобто

Підставляючи в дану рівність  х = -1 матимемо, що тобто

Тепер підставимо в рівність  х = 0  і одержимо, що Ця суперечність доводить, що шуканої функції не існує.

 

Відповідь: Не існує.

 

15) Знайдіть усі функції  f , які визначені на множині невід'ємних дійсних  чисел, набувають дійсних значень і для будь-яких дійсних  х та  у задовольняють рівність:

 

 

                                       

 

                                            Розв'язування:

 

Нехай Тоді

                       

Нехай                       .  Тоді звідки

 

Тому для всіх невід'ємних  х  виконується рівність

 

Відповідь:

 

 

5. Розв'язання нестандартних функціональних рівнянь.

 

16) Розв'яжіть  рівняння:

                                            

Розв'язування:

 

Замінимо  х  на  1- х, маємо:                                     

Нехай                   ,  тоді

Нехай                  тоді

 

Отже,  маємо систему рівнянь:

 

звідки

 

 

 

;

 

Перевіркою переконуємось,  що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:

 

17) Розв'язати  рівняння:

                                             

Розв'язування:

Нехай Тоді

 

 

 

 

 

 

 

Маємо систему рівнянь:

 

 

 

Перевіркою переконуємось, що знайдена функція задовольняє дане рівняння.

Відповідь:

 

18) Відомо, що

                                          

Знайдіть усі можливі значення              та

 

Розв'язування:

 

Нехай існує           таке,  що Тоді для  х = 0  із рівності (3) маємо:

Оскільки то

 

якщо

 

Нехай                .Тоді із рівності   (4)  маємо

 

 

 

Якщо, то для маємо, що g(0) = 0

 

Тоді з рівності   (3)  для маємо, що

Перевірка: 

 

 

звідки дістанемо,  що                 стала,  а це суперечить умові.

 

19) Розв'яжіть рівняння     де

 

                                               Розв'язування:

Якщо існує                      таке, що   то                                                           і тоді для  х = 0

 

маємо:

 

Якщо   х = 0,  то маємо:

 

 

Перевірка: Якщо                      то  маємо:

 

Якщо                          то  маємо:

 

Тому функція                    не задовольняє умову.

 

Відповідь:

 

20) Розв'яжіть рівняння:

                                           

                                                      

                                                       Розв'язування

Якщо  існує                    таке,  що                        то

 

          

Якщо                          то                             розв'язок рівняння.

 

Якщо то

 

 

 

Перевірка:

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

21) Розв'яжіть рівняння:

 

 

                                               Розв'язування

Нехай  Тоді 

Отже, 

Нехай  Тоді   

Нехай   Тоді  

 

Маємо систему рівнянь:

звідки          

Відповідь:

22) Розв'яжіть рівняння:     де 

                                                 Розв'язування

Нехай   Тоді    

Маємо систему рівнянь:

звідки

 

З першого рівняння системи для   х = 2  маємо:

Для  х = -1  маємо:

Розв'яжемо  систему  рівнянь:

Тоді

Перевірка:

5 = 5

Відповідь: для 

23) Розв'яжіть рівняння:

                                                 Розв'язування

Нехай  Тоді

Отже,

Маємо систему рівнянь:

 

 

Звідки

 

Якщо   х = 1,  то із даного рівняння одержимо:

Отже,                                                  

Перевірка:

Відповідь:

 

24) Розв'яжіть рівняння:

                                                Розв'язування:

Для маємо,  що

звідки           

Отже,  для  х = 1  маємо,  що

Тому  та  шукані розв'язки,  в чому легко переконатись,  виконавши  перевірку.

Відповідь:

 

25) Для кожного дійсного значення параметра  а  знайдіть всі функції  f ,  які визначені на множині дійсних чисел, набувають дійсних значень, і для всіх  х та  у               задовольняють рівність:  

                                               Розв'язування

Для  х = у = 1  маємо,  що звідки

Для маємо,  що  звідки  тобто

Тому  а = 0 єдине значення,  для якого можуть існувати  розв'язки.

Нехай   а = 0.  Тоді 

Підставивши   у = 1  в рівність,  дану в умові, отримаємо,  що

Якщо  х = у, то

Оскільки  то  для всіх   х  виконується  рівність

Функція  задовольняє  умову задачі.

Відповідь:  ,  якщо  а = 0,  розв'язків немає, якщо 

 

26) Знайдіть усі функції   f ,  що визначені на множині всіх

цілих чисел і набувають лише цілих невід'ємних значень та задовольняють  умови:

1) f (mn) = f (m) f (n);

2)  

3) f ( 1997) = 0   для всіх цілих значень  min

                                               

                                                           Розв'язування

З умов   1) – 3)    випливає,  що для довільних  n  і  k

Оскільки

Це означає,  що:

1)функція  f  обмежена, тобто для  всіх де

2) Якщо для  всіх ( зокрема

Для числа  0, k, 2k…, 1996k  дають усі можливі залишки від ділення на  1997  ( усього таких чисел 1997, і жодні два не дають один і той самий залишок від ділення на 1997, інакше їх різниця   ділилася б на 1997,  що неможливо, оскільки

a  1997- просте число).

Тому за умовою  1)  або    для всіх  або   для всіх  m , що не діляться  на 1997.

Перший випадок задовольняє всі умови задачі.

У другому випадку покладемо  для деякого  m .

Тоді за умовою  1)   для довільного    що суперечить обмеженості функції    f  .

Отже, для  m ,  що ділиться на 1997 і    для   m , що не ділиться на 1997.

Відповідь: для довільного  m ;

                            

27) Знайдіть усі функції   f(х),  визначені на множині дійсних чисел такі,  що для довільних  х  та  у  виконують рівність

                                                      Розв'язування

Якщо

Якщо

Якщо

Якщо

Тоді маємо:

Отже,

 

Тому для довільного  маємо:

Відповідь:

28) Функція  f  така,  що множину цілих  чисел відображає в множину дійсних чисел і задовольняє умови:

Доведіть, що для довільного    справедлива рівність

                                               Розв'язування

Нехай тобто

Тоді маємо:

Отже,

Нехай  n < 90. Виберемо таке число  щоб виконувалась умова 

Тоді маємо:

Отже, рівність  доведена  для всіх значень

29) Знайдіть усі функції  f , які множину дійсних чисел відображають у множину дійсних чисел такі, що для всіх   виконується рівність

                                                        Розв'язування

Покладемо Тоді для   маємо:

Для   у = 0  маємо:

Для даного вибором відповідного значення  х  можна зробити  праву частину рівною будь-якому наперед заданому значенню  Z.

Тому для кожного   існують  такі, що                 

Тоді з рівняння умови маємо:

Отже, звідки   C = 1.

Перевірка показує, що функція задовольняє умову.

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Функціональні рівняння і групи

 

1. Композиція функцій

 

Число початкових, основних функцій, що вивчаються в шкільному курсі математики, порівняно невелике. До них, наприклад, відносяться лінійна, сттепенева, показникова, тригонометрична функції. Інші функції виходять з основних за допомогою композицій і дій алгебри. Так, функція f(x)  sin(2x + 1) є композицією лінійної функції g(x)2x+1 і тригонометричної функції  h(x)sin x  тобто f(x)h(g(x)) (h◦g)(x). Функція  f(x)lg arcsin x одержана в результаті композиції функцій

g(x)arcsin х  і h(x)lg x.

Зверніть увагу на те, що в область визначення композиції h◦g входять i значення х з D(g), для яких g(x) D(h). У останньому прикладі D(g)=[-1;1], D(h)=(0;). Оскільки arcsin х>0 при х(0;1), то D(f)=(0;1).

Якщо узяти композицію цих же функцій в зворотному порядку, тобто функцію f(x)=arcsin lg х, то одержимо:

Композицією дробово-лінійних функцій і є     функція     

Тут     

Як правило, f◦g  g◦f. В той же час для будь-яких функцій (f?g)?h = f?(g?h),

що безпосередньо витікає з визначення композиції.

 

2. Функціональні рівняння

 

Розв’яжимо наступну задачу.

Задача   1. Знайдіть всі функції y=f(x) такі, що

2f(1-х)+1= xf(x). (1)        

Розв’язання. Припустимо, що існує функція f(x), що задовольняє даному рівнянню. Замінивши х на 1-х, одержимо

2f(х)+1= (1-х)f(1-х).  (2)       

З (1) знаходимо f(1-х)= (xf(x)–1).         

Підставляючи значення f(1-х) і рівняння (2), одержимо

2f(х)+1= (1-х)· (xf(x)–1), звідки          

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що одержана функція задовольняє рівнянню (1).

У розглянутому рівнянні під знаком невідомої функції стоять функції і . Заміна х на 1-х переводить функції і один в одного. В результаті підстановки х  1-х одержано ще одне рівняння, що містить f(x) і f(1 -х). Рішення функціонального рівняння ми звели до розв’язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Розглянемо тепер складнішу задачу.

Задача  2. Вирішіть рівняння

. (3)

Рішення. Спробуємо діяти так само, як і в першому випадку. Виконаємо заміну . Одержуємо (4)

Разом з виразами і у нас з'явилося нове «невідоме» — Спробуємо застосувати в (3) ще одну підстановку:

Маємо  (5)

Окрім ,  в   рівнянні з'явився «небажаний» вираз

Що ж, спробуємо виконати в (3) підстановку І, нарешті, успіх. Одержуємо рівняння (6)

 

де нові невідомі не виникли — побудована система чотирьох лінійних рівнянь

(3) — (6) з чотирма невідомими   , і . Послідовно виключаючи,, знайдемо

Як і при розв’язанні рівняння (1), ми припускали, що функція, яка задовольняє (3), існує. Перевірка показує, що f задовольняє рівнянню (3).

 

3. З'являються групи

 

Спробуємо розібратися чому нам вдалося розв’язати рівняння попереднього параграфа.

Розглянемо   ще   одне   рівняння f(х + 1 )+f(x)=x.

Воно виглядає не більш «страшним», ніж рівняння (3), проте всі спроби вирішити його тим же способом виявляться марними: при заміні х  х+1 з'являється «невідоме» f(x+2), і так далі. Ланцюжок не замикається: ми ніколи не одержимо лінійної системи. Пригадаємо, що, вирішуючи перше рівняння,   ми   виконали   підстановку х  1-х. При цьому 1-х  х. Тобто дві функції g(x)=x і g(x)=1x   по відношенню до операції композиції поводяться так g◦g=g◦g=g,

g◦g=g, g◦g =g.

Розглянемо таблицю «множення» (на перетині рядка з номером i і стовпця з номером j стоїть g◦g. У кожному рядку і кожному стовпці цієї таблиці зустрічаються і g і g

 

 

Допустимо тепер, що нам потрібно розв’язати рівняння

a(x)f(x)+b(x)f(1-x)=c(x), (*) де а, b, с — деякі функції. Ясно, що виконуючи підстановку

 х  1—х, ми одержимо рівняння a(1-x)f(1-x)+b(2-x)fx)=c(1-x) (**), яке разом з рівнянням (*) утворює лінійну систему щодо функцій f(x) і f(1-х). Далі рішення розвиватиметься так само. як і при рішенні задачі 1.

У другому розглянутому прикладі ми робили підстановки,, , тобто мали справу з функціями g(x)=x ,  g(x)=,  g(x)=,  g(x)=. Подивимося, як поводяться функції g, g, g, g по відношенню до oneрації композиції. Складемо таблицю 2, аналогічну таблиці 1 (у перетині i-й рядка і k-ro стовпця запишемо g◦g).

 

 

Таблиця ця симетрична щодо своєї діагоналі (це значить що g◦g=g◦g, при будь-яких

k и i). Крім того, всі функції g зустрічаються в кожному рядку і кожному стовпці рівно один раз, і, нарешті легко помітити, що , ,  

Тут .

Таким чином, система функцій володіє наступними властивостями: а) вона замкнута щодо композицій; б) серед цих функцій є тотожне відображення в) у кожної з функцій g, є обернена :

Тими ж властивостями володіє і система функцій з при­клада 1.

Якби тепер нам запропонували вирішити будь-яке функціональне рівняння виду (***)

ми зробили б це, виконавши заміни після чого прийшли б до лінійної системи. Для прикладу запишемо, що вийде з (***) після заміни ). При цьому   

отже вийде рівняння

Тепер дамо наступне означення.

Означення. Довільна множина G функцій, визначених на деякій множині М, називається групою щодо операції ◦, якщо воно володіє тими ж властивостями, що і система тобто

1. Для будь-яких двох функцій fG, gG їх композиція f◦g теж належить G.

2. Функція е(х)=х належить G.

3. Для всякої функції  fG існує оберненана функція, яка також належить G.

Це визначення є окремий випадок загального визначення поняття групи — одного з найважливіших понять сучасної математики. Детально і популярно основні поняття теорії груп висловлені в книзі П. С. Александрова «Введення в теорію груп» (Бібліотека «Квант», вип. 7, М.: Наука, 1980).

Два приклади груп функцій ми вже бачили. Приведемо ще деякі приклади.

а) Множина G лінійних функцій  f(x)=ax+b (а0, bR);

б)

в) Множина G функцій виду f(x)=x+a.

Доведемо, наприклад, що лінійні функції утворюють групу. Всі ці функції визначені з числової прямої R. Хай тоді

знову є лінійна функція. Функція е(х)=х — також лінійна. Якщо f(x)=ax+b, то функція, обернена до f буде лінійна функція   

4. Підведення підсумків

 

Тепер ми можемо викласти загальний метод рішення деяких функціональних рівнянь з використанням поняття групи функцій.

Хай у функціональному рів­нянні (7)

вирази, що стоять під знаком невідомої функції f(x) є елементами групи G, що складається з n функцій: … , причому коефіцієнти рівняння (7),, …, — деякі функції від х. Припустимо, що рівняння (7) має рішення. Замінимо ). В результаті послідовність функції, , … перейде в послідовність …,що складається знову таки зі всіх елементів групи.

Тому «невідомі»  …  переставляться і ми одержимо нове лінійне рівняння того ж вигляду, що і (7). Далі в рівнянні (7) робимо заміни , , …,, після чого одержимо систему з n лінійних рівнянь, яку слід вирішити. Якщо рішення є, то ми ще винні перевіркою переконатися у тому, що вони задовольняють рівнянню (7).

Як приклад розглянемо рівняння

, (8)

Множина функцій , , утворює групу з «таблицею

множення»

0

 

Замінюючи в рівнянні (8) х на, і на  , одержимо систему

де,  , вирішуючи яку одержимо, виконавши перевірку при х0, х-1.

Приведемо на закінчення деякі приклади груп функцій, які можуть бути використані при рішенні функціональних рівнянь.

(тут і далі а0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Метод підстановок

 

     Іноді під час розв'язування функціональних рівнянь вдається визначити явний вигляд шуканої функції, вдало підбираючи ті чи інші окремі значення змінних і комбінуючи знайдені співвідношення.

     Цей метод називається  методом підстановок.

 Задача 1.1 Знайти всі розв'язки функціонального рівняння

 

  (1)

де f  визначена на R функція, що задовольняє рівняння (1) при довільних причому

Розв'язання. Покладемо спочатку в рівнянні (1)    х = 0   і   у = х. Тоді воно набере вигляду:

 

(2)

Якщо y = 2x, то

 

                                                                       (3)

 

При y = -2х

(4)

 

Додаючи і віднімаючи рівняння (3) і (4), матимемо:

 

 

Звідки

                                                                                 (5)

 

Комбінуючи,   нарешті, рівняння   (2),   (5),   дістанемо:

 

 

     Ця єдина функція справді задовольняє рівняння (1) і буде його розв'язком при всіх

Задача 1.2 Знайти всі розв'язки функціонального рівняння

 

                                                                 (6)

 

де f  визначена на R функція, що задовольняє (6) при довільних , причому

f (1) = 1 і при всіх х 0.

 

                                                                            (7)

 

Розв'язання. Покладемо в (6) у =0, тоді  f (0) = 0. Якщо ж 

y = - x, то

 

при довільних і, отже, f - непарна на R функція. Звідки дістанемо:

                                                           (8)

 

при довільних .

     Скористаємося тепер умовою (7), замінивши в ній х

значенням     

     Маємо із   застосуванням (8) при всіх \ з одного боку:

 

 

з другого,

 

 

Звідки при зазначених вище х

 

 

     Враховуючи, що f (0) = 0 і  f (1) = 1 матимемо при всіх xR єдиний розв'язок рівняння (6): f  (x) = х (перевірка очевидна).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI. Розв’язування функціональних рівнянь методом Коші.

 

Шукаючи неперервну функцію f, що є розв'язком рівняння f(x+y) = f(x)+f(y), 

видатний французький математик Л. О. Коші розро­бив метод, який увійшов у математику як метод Коші, а рівняння виду (1) стали називати рівнянням Коші. Суть методу Коші полягає в тому, що пошук непе­рервної функції/ яка є розв'язком функціонального рівняння (а саме таким є рівняння (1)), ведеться по­етапно. Насамперед припускається, що шукана фун­кція задовольняє рівність (1), і за допомогою вдало дібраних підстановок ця функція визначається спо­чатку на множині натуральних чисел, потім — на множині цілих чисел, а далі — на множині раціональ­них чисел. Після цього граничним переходом функ­цію визначають на множині ірраціональних чисел. Ре­зультатом пошуків є формула, яка визначає шукану функцію на заданій у задачі множині. Завершується розв'язання обов'язковою перевіркою того, що знай­дена функція задовольняє умови задачі.

 

1. Історична довідка.

КОШІ Огюстен Луї (21.08.1789-23.05.1857) - французький математик. Чл. Паризької АН (1816). Народився у Парижі. Закінчив Політехічну школу (1807) і Школу мостів і доріг (1810) у Парижі. Деякий час працював інженером шляхів сполучення, з 1813 займався наукою і викладанням. Його призначили членом АН замість Г. Монжа. У 1816 мемуар Коші з теорії хвиль на поверхні важкої рідини на конкурсі Паризької АН одержав першу премію; після цього Коші запрошують у Політехічну школу, Сорбонну і Колеж де Франс. У 1830-38 Коші подорожував по Європі. Повернувшись в Париж, через неприйняття нового режиму відмовився від різних учених посад, не бажаючи приносити присягу, поки йому не запропонували кафедру «без умов». Праці відносяться до різних областей математики. Були періоди, коли Коші щотижня представляв у Париз. АН новий мемуар. Усього ж він опублікував понад 800 робіт з арифметики і теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теоретичній і небесній механіці, матем. фізиці. Швидкість, з якою Коші переходив від одного предмета до іншого, почасти дала йому можливість прокласти в математику безліч нових шляхів. Його «Курс аналізу» (1821), «Резюме лекцій по численню нескінченно малих» (1823), «Лекції по додатках аналізу до геометрії» (1826—28), засновані на систематичному використанні поняття межі, послужили зразком для більшості курсів пізнішого часу. У них Коші дав визначення поняття безперервності функції, чітка побудова теорії рядів, що сходяться, (зокрема, вперше установив точні умови збіжності ряду Тейлора до даної функції і провів виразну різницю між збіжністю цього ряду взагалі і збіжністю до даної функції; увів поняття радіуса збіжності, довів теорему про добуток двох абсолютно сходимих рядів), визначення інтеграла як межі сум і доведення існування інтегралів від безперервної функції. Великою заслугою Коші є те, що він розвинув основи теорії аналітичних функцій комплексного змінного, закладені ще в XVIII в. Л. Ейлером і Ж. Д'Аламбером. Особливо важливе значення мають такі результати, отримані Коші: геом. представлення комплексного змінного як точки, що рухається в площині по тому чи іншому шляху інтегрування (цю думку ще раніш висловили К. Гаус і ін.); вираження аналітичної функції у вигляді інтеграла (інтеграл Коші), а звідси розкладання функції в степеневий ряд; розробка теорії відрахувань і її додатків до різних запитань аналізу й ін. У теорії диференціальних рівнянь Коші належать: постановка однієї з найважливіших загальних задач теорії диференціальних рівнянь (задача Коші), осн. теореми існування розв'язків для випадку дійсних і комплексних змінних (для останніх Коші розвинув метод мажорант) і метод інтегрування рівнянь з частками похідними 1-го порядку (метод Коші - метод характерних смуг). У геометрії Коші узагальнив теорію многогранників, розробив новий спосіб досл. поверхні 2-го порядку, досліджував торкання, випрямлення і квадратуру кривих, встановив правила, додатка аналізу до геометрії, а також вивів рівняння площини і параметричне уявлення прямої в просторі. Довів (1813), що два опуклих многогранники із відповідними конгруентними й однаково розташованими гранями мають рівні двогранні кути між відмов, гранями. В алгебрі Коші по іншому довів основну теорему теорії симетричних многочленів, розвинув теорію визначників, знайшовши усі головні їхні властивості, зокрема довів теорему множення (причому Коші виходив з визначення знакозмінної функції); цю теорему він поширив на матриці. Увів терміни «модуль» комплексного числа, «сполучені» комплексні числа й ін. Поширив теорему Штурму на комплексні длубайся. У теорії чисел Коші належать: доведення теореми Ферма про многокутні числа, один з доведення закону взаємності, досл. по теорії цілих алгебр.

чисел (при цьому Коші одержав ряд результатів, пізніше в більш загальній формі встановлених нім. математиком 3. Куммером). Коші перший вивчив загальне невизначене тернарне куб. рівняння і сформулював теореми про невизначений тернарних кв. рівнянь і порівняннях з однаковим модулем і загальним розв'язком. Займався також досл. по тригонометрії, механіці, теорії пружності, оптиці, астрономії. Був чл. Лондон, королівського сус-ва і майже усіх академій наук світу. Повне зібрання творів Коші видав Париз. АН. Кавалер ордена Почесного легіону. Ім'ям Коші названо кратер на видимій стороні Місяця.

 

2. Аналітичний метод

Задача 2.1 Знайти всі розв'язки функціонального рівняння

 

                                                                                   (9)

 

де  f  —  неперервна на функція, що задовольняє (9) при довільних .

Розв'язання.    Покладемо в (9) y = x, тоді

 

 

Якщо ж то

 

 

     Використовуючи метод математичної індукції, легко показати, що при довільному п N

 

                                                                                      (10)

 

Припустимо,    що    рівність    (10) — правильна і  доведемо, що Справді

 

 

Рівність (10) виконується при n = 0. Справді, покладемо  в  (9) y= 1, тоді

 

 

Якщо ж покласти в (9)    , то

 

 

тобто співвідношення (10) виконується і при . Ви­користовуючи метод математичної індукції, легко показати, що рівність (10) зберігатиметься при довільному цілому від'ємному значенні. Отже, (10) має місце при довільному nZ.

 

     Замінимо тепер у (9) х і у відповідно на  i  ,

де nZ. Використовуючи (10) маємо:

Отже,

                                                                                                            (11)

 

Для довільного числа rQ, що має вигляд   дістанемо

 

 

 (використовуємо послідовно співвідношення   (10 — 11). Отже, для довільного числа rQ

 

                                                                                      (12)

 

(при будь-якому додатному x).

     Розглянемо довільне число   і виділимо послідовність

раціональних чисел  , збіжну до .  Згідно з (12), матимемо   (х -    довільне     додатне     число). Переходячи в цьому співвідношенні, до границі при   дістанемо (в силу неперервності функції  f  на :

 

                                             (13)

 

(x – довільне додатне число).

Підставимо в (13) значення (у – довільне додатне число). Тоді Звідси

 

 

 Тут x і  y – довільні додатні значення,  а тому

(С – довільна стала) при всіх

Таким   чином,   шуканим  розв'язком функціонального

рівняння (9) є функція (С — довільна стала). Аналітичний метод — основа для дальшого вивчення деяких класів функціональних рівнянь.

 

 

Задача 2.2  Відомо, що

 

 

при. Знайти f(х).

 Розв'язання. Позначимо

Тоді  ,   звідки .

Тому

 

Значить,  при

Задача 2.3   Знайти функції  f(х) і g(x) , що задовольняє дану систему рівнянь.

 

 

Розв’язання.   Нехай  у   першому   рівнянні      2х + 2 = t -1, тоді  отримаємо а   

 

Тепер перше рівняння набуде такого вигляду:

 

 

тобто

 

 

Отримаємо систему

 

 

Віднявши друге рівняння від першого

 

 

Нехай

 

₂

 

 

 

В друге   рівняння    системи   підставимо , і

отримаємо:

 

Нехай  

 

 

а

 

      Задача 2.4 Знайти функцію f(х), що задовольняє умові

 

 

Розв'язання. Нехай тоді

 

звідки

 

 

 

 

Розв'яжемо систему:

 

 

 

 

Додамо почленно ці рівняння:

 

звідки

 

 

 

 

 

 

 

3. Адитивні функції

 

Нехай на R визначено деяку функцію  f ,  що задовольняє при довільних х,у R функціональне рівняння

 

                                                                           (14)

 

     Це рівняння характеризує так звані адитивні функції.

     Легко побачити: лінійна однорідна функція f(х)=ax (a - довільна стала) задовольнятиме (14). Виявляється, що для досить широкого класу функцій лінійна однорідна функція — єдина серед усіх, що задовольняють (14).

     Задача   3.1   Довести,   що   визначена  на   R функція f ,   яка задовольняє (14)  і обмежена зверху хоча б на одному  інтервалі (s;s+t) (t — деяке додатне число), є лінійна однорідна функція.                  

      Розв'язання.  Із співвідношення (14) при  y = x, матимемо

. Припустимо,   що

 

                                                                              (15)

 

і доведемо,. Справді

 

 

     Отже, згідно з принципом математичної індукції рівність (15) має місце для будь-якого натурального числа п. Вважатимемо тепер у  рівності (15), яка виконана при довільному  xR,   x рівним 

Маємо:

 

nN

 

     Нехай   тепер  r - довільне    додатне    раціональне    число, тобто Тоді, згідно з доведеним,

 

 

      Отже, якщо функція   f  адитивна, то для довільного додатного числа r Q має місце рівність

 

                                                                                  (16)

 

(при   будь-якому х  R, ).

     Співвідношення (16) лає можливість для довільної адитивної функції f, що задовольняє (14), обчислювати її значення при будь-якому додатному rQ, якщо задане тільки одне її значення, зокрема: f(1). Справді, покладаючи в (16) x =1, дістанемо:

 

     Більше того, формула (16) діє також і при від'ємних раціональних значеннях змінної. Для того, щоб переконатися в цьому, покажемо спочатку, що  f(0)⁼ 0. Покладемо в (16) x = y = 0, тоді  f (0) = 2 f (0).Отже,  f (0) = 0.Візьмемо   тепер   у (16)

x = -y, тоді

 

і, отже,  f(-х) = f(х) для довільного xR.

     Таким чином, для довільного від'ємного раціонального числа - r

 

     Отже,   для   будь-якого r Q

 

                                                                    (17)

 

і, зокрема, при х = 1

 

                                                                      (18)

 

     Наведені   вище   міркування   стосуються,    звичайно,   довільної визначеної на R. адитивної функції f, що задовольняє функціональне рівняння (14), але справедливі вони лише тоді, коли значення змінної раціональні.

     Поширимо формулу (18) на всі дійсні значення x , використавши те, що f обмежена зверху хоча б на одному інтервалі (s;s+t) (t - деяке додатне число).

     Зазначимо, що з умови f(х)< М  на інтервалі (s;s+t) випливає обмеженість зверху функції f  і на інтервалі (0;t). Справді,     нехай   x(0;t), тоді x+s(s;s+t)  i,  отже, f(х+s)< М. Виходячи з (14), маємо   f(х)+ f(s) < М   і, отже,

 

 

при довільному х (0;t).

     Введемо до розгляду допоміжну функцію:

                                                                  (19)

     На проміжку (0; t) функція g обмежена зверху:

 

 

      Очевидно також, що g(t) = 0 і при довільних х,у R.

 

 

      Звідки випливає, що

 

тобто функція   g - періодична з періодом і t > 0 . З періо­дичності   цієї   функції   та   її   обмеженості   зверху   на   проміжку (0; t) випливає  обмеженість  зверху g  при     довільному х  R, тобто g(x)< М₂.

      Доведемо тепер, що  g(x)  0.   Припустимо супротивне: нехай при деякому  х є (0;t) значення функції . З формули (16) матимемо тоді для адитивної функції g:

 

 

     Очевидно, завжди можна підібрати число так, щоб . Отже, при значенні змінної матимемо , a це суперечить тому, що при до­вільному хR.

     Суперечність доводить, що g (х ) 0  при будь-якому х  (0;t)   а   отже,   враховуючи   періодичність,  g (х ) 0  при

довільному хR.

    З формули (19) дістаємо:

 

 

      Поклавши    остаточно матимемо:

 

що й треба довести. З останньої формули очевидно, що (a - довільна стала).

     Не слід думати, що довільна визначена на R функція f,  що задовольняє (14), є лінійною однорідною.

У 1905 р. німецький математик Л Гамель (1877 — 1954) побудував адитивну функцію, що була відмінною від лінійної однорідної. Основна її властивість полягає в тому, що вона не обмежена зверху на довільному інтервалі. На жаль, результат  Гамеля досить складний, і я не зможу його навести.

     Гамель Георг Карл Вільгельм (12.09.1877 - 04. 10.1954) ― німецький механік і математик. Працював у Берліні. Основні роботи відносяться до теоретичної механіки і гідродинаміки, а також до теорії простих диференційованих рівнянь, функціональному аналізу (теорія сперечань) і теорія функцій (базис Гамеля).

 

 

4. Ілюстрування застосування методу Коші до роз­в'язування задач.

 

Задача 1. Знайти всі функції: f: N N , такі, що:

а) f(1)=1;

б) c(x+y)=f(x)+f(y)+xy для всіх х, у  N.

Розв'язання

    Нехай функція f  задовольняє умови задачі. Тоді для х = п, у =kn , де п, т — довільні натуральні числа, а к = 1, ..., от — 1, маємо такі рівності:

 

 

                

Додавши всі ці рівності, одержимо:

Враховуючи, що

маємо рівність:

яка виконується для всіх натуральних m і п. Зокрема, для п = 1 одержуємо рівність:

                                                                                                                                                                                      ₍₂₎             

що визначає функцію f  на множині натуральних чисел.

Оскільки

                            

 

то функція (2) — єдина функція, що є розв'язком за­дачі.

 

 

    Задача 2. Функція f: R  R для будь-яких х, у  Я задовольняє рівність:

 

а  f(1)=2.

 

Знайти:

 

 а)для n  Z;

 

б) для .           

Розв’язання

 

    а) Нехай f  — шукана функція. Тоді рівність (3) виконується для всіх дійсних х і у. Спочатку, поклав­ши х = у = 0, прийдемо до рівняння

з якого знаходимо, що f(0) = 1. Потім, виконуючи в рівності (3) послідовно заміни   х х + k, y 1, де k = 0, 1,…, n – 1, дістанемо n рівностей:

 

                                             

 

    Оскільки за умовою, f (1) = 2, то, додаючи їх, одер­жимо рівність, яку запишемо так:

                                                                                                        (4)

    Звідси для х = 0 і х = —п одержуємо формули:

                                                                                                                    (5)

                                                                                                                               (6)

які визначають шукану функцію f  відповідно на мно­жині натуральних чисел і на множині цілих від'ємних чисел. Аналізуючи ці рівності, приходимо до висновку, що формула (5) задає: шукану функцію на множині цілих чисел. (У тому, що вона задовольняє задану рівність, легко переконатися безпосередньою перевіркою.)

    б) Якщо в рівності (3) покласти у = n, n N, то після перетворень з урахуванням рівностей (4) і (5) отримаємо:

                                                                                                                   (7)

Для цілих k  і натуральних n, посилаючись на рівності (5) і (7), дістанемо:

 

                                                                                  (8)

 

    Одержана рівність (8) визначає шукану функцію на множині раціональних чисел.

 

Задача 3. Функція f  визначена і неперервна на множині дійсних чисел R  і задовольняє дві умови:

а);

б) для всіх x, y  R                                                           (9)

Знайти f.

Розв'язання.

     Якщо х = y = 0, то f(0) = f (0) + f (0), а тому f(0) = 0.

Для у = 0 і довільного x E отримаємо:

    Якщо у = х, то маємо рівність:

    Припустимо, що рівність

                                                                                                                       (10)

 (10) виконується для n > 2 і довільних х  R. Тоді

    Одержаний результат дає можливість на підставі методу математичної індукції стверджувати, що рівність (10) виконується для всіх п   N  і  х  R. Оскільки, зважаючи на рівність (10),

то шукана функція — парна, а тому достатньо розг­лядати її тільки для х > 0.

 

Виконуючи в рівності (10) заміну   прий­демо до рівності

з якої, в свою чергу, для х = 1 отримаємо рівність

яка визначає функцію f  на множині цілих додатних чисел, а враховуючи її парність, - і на множині цілих чисел.

     Нехай п — ціле, а k — натуральне число. Тоді

Таким чином, на множині раціональних чисел шукана функція визначається формулою:

                                                                                                                         (11)

    Далі, використовуючи граничний перехід, встано­вимо, що на множині ірраціональних чисел, а отже, і на всій множині дійсних чисел шукана функція задається формулою:

                                                                    f (х) = х².                                                           (12)

    Нехай х — довільне ірраціональне число, () — послідовність раціональних чисел, що збігається до цього числа. (Зокрема, це може бути послідовність десяткових наближень з недостачею або з надлиш­ком). Тоді, зважаючи на те, що

і  f  — неперервна функція, матимемо:

тобто ми дістали рівність (12).

    Отже, якщо функція f  задовольняє рівність (9), то для всіх х з множини дійсних чисел вона задається формулою (12).

Переконаємося, що знайдена функція задоволь­няє умови задачі:

а) f (1) = 1² = 1;

б)

    Отже, розв'язком функціонального рівняння (9), що задовольняє умову f (1) = 1, є функція (12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII. Графічне розв’язання функціонального рівняння

 

 

 

Розглянемо одну з найкрасивіших задач на тему “Абсолютна величина числа “. Приклад 23 (МАІ, 1988р.). При яких a і b для функції   виконується умова при всіх дійсних х: ?»

При розв’язанні цієї задачі акцентуємо увагу в більшій мірі на особливості графіка функції, формула якої містить знаки модуля. Тому на перший план виходить опис загального виду графіка функції y = f(x), яка :

а) неперервна на всій числовій осі;

б) задовольняє рівнянню

Трохи випереджаючи події, зазначимо, що графіком такої функції є лінія, що має характерні „злами”, і саме ця обставина прояснює, чому все ж таки природно cтавити   задачі, подібні  прикладу 23, для функції, формули яких містять знаки  модуля і графіки яких також є лініями  з  „зламами”.

Спочатку  нагадаємо, як графічно одержати

 точку з ординатою                             

 

                            Мал. 1                               

 припускаючи  відомим розташування графіка функції  у = — це ордината

точки (мал. 1).

Якщо справедлива рівність,  , то кожній точці графіка , що лежить поза прямої у = х, відповідає точка графіка, яка лежить на прямій у = х і має ту ж ординату.

Для обгрунтування такого висновку помітимо, що на мал. 1 ординати точок  М і М повинні  співпасти, тоді точка М графіка  співпадає з точкою М прямої у = х.          

Таким чином, поки ситуація з графіком функції                               Мал. 2                                                              

що задовольняє умові виглядає, як на мал. 2 (точки М і N належать графіку).

Зробимо тепер основний висновок.

Висновок 2. Якщо функція  безперервна на всій числовій осі і задовольняє рівнянню, то частинами її графіка обов’язково є частини прямої у = х (або вся пряма, або її промінь, або її відрізок, або її точка), а сам графік у = f(x) має один  з п’яти  видів,  зображених на мал. 3.

Для обгрунтування цього висновку візьмемо дві точки графіка, що лежать на прямій у = х: і .

Як відомо, значення функції f(x) через її неперервність заповнять на осі Оу весь відрізок з кінцями в точках і . А цьому відрізку (див. Мал. 2) буде на прямій у=х відповідати відрізок графіка (мал. 4).

 

 

 

 

 

 

                                Мал. 3                                   

                                                                                                                Мал. 4                                                                                                                                 

Таким чином, на прямій у = х графіку функції належить множина, яка або складається тільки з однієї точки, або, разом з будь-якими двома різними точками, містить і весь відрізок між ними. Подібні множини на прямій називаються однозв’язними. Необхідно звернути увагу і на те, що через неперервність функції на всій числовій осі даній множині належать його граничні точки.

Використовуємо без доведення — геометрично майже очевидне — твердження про те, що на прямій однозв’язними множинами, які містять і всі свої граничні точки, є тільки сама пряма; окремі її точки N; промені , відрізки (див. Мал. 3). Частина графіка, що лежить на прямій у=х, визначає верхню і нижню межі для частин графіка, що не лежать на прямій (див. Мал. 2). У іншому ці частини довільні — настільки, звичайно, наскільки довільні можуть бути частини графіка неперервної на всій числовій осі функції, оскільки неважко перевірити, що для будь-якої неперервної функції, графік якої належить до одного з п’яти видів, вказаних на мал. 3, справедлива рівність

Тепер приведемо розв’яння прикладу  23. Нагадаємо, що функція

повинна задовольняти рівнянню .

Розв’язок. При а=0 функція f(x)=0, і рівняння, очевидно, задовольняється.

Хай а > 0, тоді при великих х > 0 функція

.

По мал. 3 визначаємо, що можлива тільки рівність f(x)=x, якщо значення х достатньо великі і х >0. Конкретно, .

Отже, можливі (!) значення для параметрів а і b визначаються з системи яка має два розв’язки:

і                                             Мал. 5

При одержуємо функцію

Її графік (мал. 5) є графічним розв’язком рівняння                          

  (див. Мал. 3).   

Тепер припустимо, що а < 0, тоді при великих по абсолютній величині  х < 0  

Функція

По мал. 3 визначаємо, що рівність f(x)=х можливо тільки в тому випадку, якщо значення х достатньо великі по абсолютній величині і х < 0. Конкретно, х < b.

Отже, можливі (!) значення для параметрів а і b визначаються з системи яка має два розв’язки: і    

Якщо , то функція задовольняє рівнянню  (див. Мал. 3).

Якщо , тоді одержуємо функцію

                                                                                      

А ось її графік (мал. 6) не є графічним розв’язком                                                                                                                             

рівняння (див. Мал. 3).                                                                    Мал. 6

Відповідь:

Наступне зауваження адресується любителям узагальнень і торкається графічного розв’язку рівняння f(x)=f[(f(x))], де функція (x) неперервна і строго монотонна на всій числовій осі.

Як відомо, для такої функції (x) існує строго монотонна і неперервна обернена функція (x), значення якої заповнюють всю числову вісь (див. [1, с. 159]).                  

Спочатку на малюнку, аналогічному мал. 1, графічно одержимо               

точку з ординатою f[(f(x))], припускаючи відомим розташування графіків функцій

y = f(x) і у = (x), — це ордината точки М (мал. 7).                       

                                                                                                                                      Мал. 7    

Абсциса точки М повинна дорівнювати саме (f(x)), щоб одержати ординату f(x)=[(f(x))].

Тепер неважко зробити висновок, узагальнювальний висновок 2: якщо функція у=f(x) неперервна на всій числовій осі і задовольняє рівнянню f(x)=f[(f(x))],де функція у = (x), неперервна і строго монотонна на всій числовій осі, то частинами графіка у=f(x) обов’язково є частини графіка  у= (x), (або він весь, або його промінь, або його відрізок, або його точка); а сам графік у = f(x) має один з п’яти видів, зображених на мал. 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         Мал. 8   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIII. Методи наближеного розв'язування нелінійних рівнянь з одним невідомим

 

Розглянемо задачу наближеного знаходження усіх коренів рімпниня

                                                              ,  (2.1)                                                                                                              

де f(х) — задана і неперервна функція на деякому скінченному або нескінченному проміжку а < х <b.

    У порядку черговості підлягають розв'язанню такі задачі

1) про межі розташування на числовій прямій коренів рівняння, їх характер

та кількість;

2) відокремлення коренів, тобто знаходження таких інтервалів зміни яргументу х, кожний з яких містить тільки один корінь;

3) наближене обчислення кореній із заданою точністю

 

1. Про відокремлення коренів полінома

Найбільш повно всі вищенаведені задачі досліджені і |розв’язані для випадку, коли f(x)= є поліном, тобто для рівняння

Р(х)=,                                                                 (2. 2)

де дійсні числа, причому .

    Згідно з основною теоремою алгебри рівняння (2.2) (або поліном Р(x)) має рівно n дійсних або комплексних коренів, за умови, що кожний ко­рінь враховується стільки раз, яка його кратність. При цьому Р (х) роз­кладається на добуток лінійних (що відповідають дійсним кореням Р(х)) і квадратних (що відповідають комплексно спряженим кореням, а ± Bі полі­нома (х)) множників. Звідси випливає наслідок: рівняння (2.2) непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь або непарне число дійсних коренів, а рівняння (2.2) парного степеня з дійсними коефіцієнтами має парне число дійсних коренів або не мас жодного.

     Усі корені х рівняння (2.2) лежать у круговому кільці комплексної площини тобто

                                    ,                  (2. 3)

 Де

    Слід зауважити, що визначені нерівністю (2.3) межі розташування дій­сних коренів досить грубі. Більш точні межі таких коренів рівняння (2.2) визначає теорема Лагранжа.

    Теорема 1. Нехай — перший із від'ємних кое­фіцієнтів полінома Тоді за верхню межу додатних коренів рівнян­ня (2.2) береться чисоло де

                                                                                  (2. 3)

В — найбільша із абсолютних величим від'ємних коефіцієнтів полінома   Якщо від'ємних коефіцієнтів немає, то немає і додатних коренів.

      Користуючись (2.4), визначимо інтервали розташування від'ємних та до­датних коренів полінома Р(х). Ці Інтервали мають вигляд ( та де — верхні межі додатних коренів відповідно по­ліномів

Приклад. Визначити межі дійсних коренів рівняння P(x) = 0, де P(x) = 4х- 4х- 16х + + 1. Тут а = 4, k = 2, B = 16, R = 1 + = 3. Для Р(-х) = 4х- 4х+ 16х +1 маємо а= 4, k = 2, B = 4, R= 1 + = 2. Для хР(1/х) = х- 16х- 4х+ 4 отримуємо а=1, k = 1, В = 16, R= 1+16 = 17. Нарешті, для хР(-1/х)  = х+ 16х- 4х+ 4 будемо мати а=1, k = 2, В = 4, R= 1 + = 3.

Отже інтервали дійсних коренів (-2, -1/3) і (1/17, 3). Тоді згідно з формулою (2.3) 1/17 < < 5, тобто х Є (-5, -1/17) (1/17,5).

 Повністю питання щодо числа дійсних коренів рівняння (2.2) на даному інтервалі (a, b) вирішується за допомогою методу Штурма , який дозволяє відокремити всі дійсні корені. Але, оскільки цей метод вимагає громіздких обчислень, то на практиці доцільно користуватися більш простими засобами підрахунку числа дійсних коренів рівняння (2.2). Один із таких простих засобів дає теорема Декарта, що застосовується до поліномів P(х) та P(-х).

Теорема 2.   Число додатних (від'ємних) коренів рівняння (2.2) із врахуванням їх кратностей дорівнює числу перемін знаків у системі коефіцієнтів а, а, а…, а поліномів Р(х) та Р(-х) (де коефіцієнти які дорівнюють нулю, не враховуються) або менше цього числа на пірне число.

Для визначення точного числа дійсних коренів рівнянння (2.2) разом з теоремою Декарта використовують значення полінома в окремих точках.

Приклад. Визначити число дійсних коренів рівняння Р(х) = х- 2х- 3х + 2 = 0 Система коефіцієнтів полінома 1, -2, -3, 2 має дві зміни знака. Отже, Р(х) має 2 або 0 додатних коренів. Оскільки Р(0) = 2 > 0, а Р(1) = -2 < 0, то відрізок [0,1] містить принаймні один корінь полінома Р(х). Це означає, що число усіх додатних коренів Р(х) дорівнює двом. Р(-х) = х+ 2х+ 3х + 2, отже, від’ємних коренів Р(х) не має.

Якщо ж усі корені полінома Р(х) дійсні, то число додатніх коренів Р(х) дорівнює числу змін знака в ряді його коефіцієнтів полінома, а число від'ємних коренів дорівнює числу змін знака в ряді коефіцієнтів полінома Р(-х)

Приклад. Знайти границі та число додатних і від'ємних коренів рівняння 

Р(х) = 4х- 16х- 17х +  68х+ 4х - 16 = 0

Спочатку визначимо границі додатних та від'ємних коренів цього рівняння. Тут а = 4, k = 1, В = 17, R = 1 + 17/4 - 5,25. Для поліноми P( -x) = - (4x + 16х- 17х+ 68х+    + 4х + 16)  а= 4, k = 1, B = 17, R= 1 + 17/4 = 1 + 2,06155 - 3,0615. Для полінома хР(1/х)= - (16х- 4х- 68х+ 17х+ 16х - 4) а= 16,  k = 1, b = 68, R= 1 + 68/16 = 1 +     + 4,25 = 5,25. Для полінома хР(-1/х) = -(16х+ 4х- 68х- 17х+ 16 + 4) а = 16, k + 2,  В = 68, R= 1 += 1 + 2,06 = 3,06

Таким чином, якщо рівняння Р(х) = 0 має дійсні корені, то вони обов’язково повинні лежати в інтервалах (- 3,0616; - 0,326), (0,1904; 5,25).

Визначимо число додатніх та від’ємних коренів полінома Р(х). Знаки коефіцієнтів Р(х) + - - + + -, тобто маємо три зміни знака. Отже число додатних киренів буде три або один. Оскільки Р(0) < 0, Р(1) > 0, P(3) < 0, P(4) > 0, то число додатних коренів дорівнює трьом.

Аналогічно знаки коефіцієнтів Р(-х) - - + + - -, тобто маємо дві зміни знака.  Отже число від'ємних коренів може бути два або нуль. Оскільки Р(0) < 0, Р(-1) > 0, P(-4) < 0, то число від’ємних коренів дорівнює два.

 

2.  Відокремлення розв'язків у випадку довільної функції

 

  Для довільних функцій f (х) задовільного алгоритму розв'язання перших двох задач не існує. Тут можуть бути використані такі твердження.

  Якщо неперервна функція f (х) на кінцях деякого відрізку [а,b] приймає значення різних знаків, а перша похідна цієї функції на цьому відрізку не міняє свого знака, то корінь рівняння (2.1) на [а,b] — єдиний.

  Якщо на кінцях відрізку [а,b] функція f (x) приймає значення різних знаків, то між а і b знаходиться непарне число коренів рівняння (2.1); якщо на кінцях відрізку [а,b] функція f (х) приймає значення однакових знаків, то між а і b або немає коренів цього рівняння, або їх буде парне число (з урахуванням їх кратностей). Зауважимо, що в цьому випадку виявити в корені парної кратності дуже складно. Потрібні додаткові дослідження.

   Для розв'язання перших двох задач можуть бути використані такі …і способи:

   1) складається таблиця значень функції f (х) на досить густій сітці аргументу х. Переміна знака у двох сусідніх точках означає наявність принаймні значного кореня між ними;

   2) будується графік функції за таблицею. Він часто дозволяє знаходити задовільні з точки зору задач техніки наближені значення коренів. Заважимо, що будова графіків нерідко дозволяє виявляти і корені парної кратності.

   3) за допомогою елементів математичного аналізу, а саме часткового або… дослідження функції, будується графік функції f (х), який допомагає наближено визначити межі коренів та відокремити ці корені;

  4) рівняння f (x) = 0 зводиться до такого еквівалентного рівняння …= (х), в якому графіки функцій простіші за f (x).

Наприклад, рівняння хcos х - 2 = 0 можна записати cos x = 2/x. У цьому випадку… точок перетину цих графіків дають значення коренів…(2.1):

   5) Рівняння f(a) =0 зводиться до еквівалентної системи двох рівнянь…невідомими.

Наприклад, нехай f(x) = x-(x) = 0.Тоді, ввівши…, можна записати 

                                                        

  Як у першому, так і другому випадках для знаходження з наперед заданою точністю наближених значень відокремлених коренів  застосовується  ітераційні методи. Найбільш ефективними є методи дихотомії (половинного ділення), простої ітерації, Ньютона, хорд та ін.

 Слід  зауважити, що ітераційні методи з точки зору їх чисельної реалізації мають ту важливу властивість, що в них не накопичуються обчислювальні похибки. Обчислювальна похибка, як правило, еквівалентна похибці заокруглення на одному кроці  ітерації, що веде до погіршення чергового наближення. Але це може вплинути тільки на число ітерацій і ні в якому разі на точність кінцевого результату. Такі методи є стійкими навіть стосовно  грубих помилок в обчисленнях, зумовлених збоями ЕОМ за умови, що отримане чергове наближення не вийшло за межі області збіжності ітераційного процесу.

     Критерієм зупинки ітераційного процесу є умова

 

             

Зауважимо, що відомі також й інші методи відокремлення і наближеного знаходження коренів многочлена. Найбільш поширений із них метод квадрування Лобачевського ─  Греффе. Однак з точки зору реалізації на ЕОМ він не ефективний через швидке зростання величин чисел, що веде до перепопнення. Детальний опис цих методів і умови їх застосування наведені в ─

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IX. Боротьба за існування

 

Хай є два види тварин, один з яких пожирає інший (хижаки і жертви). При цьому відносний приріст в одиницю часу чисельності жертв, що живуть ізольований (у відсутність хижаків), рівний, тоді як хижаки, відокремлені від своїх жертв, поступово вмирають з голоду, і відносне падіння їх чисельності в одиницю часу складає .

Як тільки хижаки і жертви починають мешкати в безпосередній близькості один від одного, зміни чисельності їх популяцій стають взаємозв'язаними. В цьому випадку, очевидно, відносний приріст чисельності жертв вже залежатиме від розмірів популяції хижаків і зменшуватиметься із зростанням цієї популяції. Для відносного приросту популяції хижаків, який можна рахувати пропорційним розмірам популяції жертви, буде вірна протилежна залежність. Все, що було тільки що сказане, можна записати у вигляді

    (1)

де N, N — число жертв і хижаків, відповідно, у момент t; а, а — сталі коефіцієнти.

При формалізації відносин «хижак — жертва» (модель відома під назвою «модель Вольтерра — Лотка») апріорі вважається, що всі хижаки (і всі жертви) знаходяться в однакових умовах. Іншими словами, коефіцієнти в системі (1) не залежать тому, яку саме частина популяції ми хочемо описати (таку популяцію називають просторово однорідною). Очевидно, що таке припущення виправдане далеко не завжди. Можна собі представити реальні ситуації, коли декілька хижаків знаходяться дуже далеко від жертв (а малий), а інші — поблизу (великий а), і опис всієї популяції тільки однією системою (1) стає неможливим. \

На жаль, вирішити цю систему рівнянь аналітично, тобто виразити і через відомі елементарні функції, неможливо. Звичайно, можна було б вирішити ці рівняння чисельно, за допомогою комп'ютера, який видав би, наприклад, графіки функцій і ). Міняючи параметри, можна було б побачити, як змінюється вид цих графіків. Натомість ми проведемо якісний експрес-аналіз рівнянь, який дозволить нам зрозуміти основні властивості їх рішень. А саме, розглянемо такі випадки, коли вид рівнянь сильно спрощується.

Подивіться уважно на систему (1) і ви легко знайдете одне з рішень системи — стаціонарне. Якщо вважати, що число жертв і хижаків не змінюється з часом, то ліві частини (1) перетворюються в нуль, а з правих ми знайдемо, що така рівновага буде можлива, тільки якщо , а . Це і є одним з розв’язків системи.

А зараз припустимо, що система «хижак — жертва» якимсь чином виявилася поблизу рівноваги і чисельності хижаків і жертв мало відрізняються від відповідних стаціонарних значень. Хай , а , де n і х ми вважатимемо малими в порівнянні з N, N . Підставляючи ці вирази в (1) і пренебрегая nх в порівнянні з рештою членів, одержуємо

, (2)

Введемо замість n нову змінну . Після відповідної заміни система (2) перетвориться в наступну:

(3)

А зараз пригадаємо систему рівнянь, що описує рух пружинного маятника. Хай х — зсув центру ваги цього маятника від положення рівноваги, а v — його швидкість. Ну звичайно ж, система (3) може описувати рух такого маятника, якщо покласти рівним відношенню жорсткості пружини до маси маятника. А значить, наша система рівнянь матиме такий же розв’язок, як і «шкільна задача» про коливання пружинного маятника. Збіг рівнянь, що описують коливання пружинного маятника і чисельність особин в системі «хижак — жертва»,  дозволяє   стверджувати, що число хижаків і жертв повинне змінюватися коливальним чином з періодом . Крім того, відомо, що коливання швидкості маятника випереджають коливання його координати на чверть періоду. Тому коливання чисельності жертв також повинні випереджати коливання чисельності хижаків на чверть періоду.

Отже, розв’язком системи рівнянь Вольтерра— Лотка є коливання чисельності хижаків і жертв, зсунуті один щодо одного по фазі, з періодом, рівним . Звичайно, коли амплітуда цих коливань збільшується, вони перестають бути синусоїдальними, проте їх період залишається попереднім. (Це підтверджується чисельним розв’язком системи рівнянь (1).)

І все-таки згодитеся, не дуже віриться, що система «хижак — жертва» служить отаким незгасаючим генератором коливань! Можливо, моделювання відносин між хижаком і жертвою системою рівнянь (1) дуже спрощує ситуацію?  

Математичним описом цього прикладу і подібних закономірностей займається математична екологія — наука про відносини рослинних та тваринних організмів і утворених ними угрупувань між собою та навколижнім середовищем.

Першим успіхом математичної екології стАла модель, запропонована італійським математиком Віто Вольтерра (1860 — 1940) в книзі „Математична модель боротьби за існування” (1931).

Отже, функціональні рівняння мають велике прикладне значення в розвитку природничих наук: біології, фізики, хімії, географії, астрономії, екології та інших наук, а також застосовуються у виробничих процесах для вирішення складних виробничих проблем.  

 

 

 

 

 

 Х. Бібліографія

 

 

1. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Функціональні рівняння.

    Київ, Вища школа, 1983 р.

 

2. Вороний О. М. Ще раз про функціональні рівняння.

    Київ, Вища школа, 1997 р.

 

3. Вороний О. М. Розв’язування функціональних рівнянь метод Коші.

    Газета «Математика» № 40. 2002 р.

 

4. Гопаченко В. В. Функціональні рівняння. Газета «Математика» № 11,

    № 12. 2002 р.

 

5. Колягін Ю. М. Про функціональні рівняння. Журнал «Математика в школі»

    № 5, 1959 р.

 

6. Колтуновський О. А. Графічне розв’язування функціональних рівнянь

    f(x)=f(f(x)). Журнал « Математика в школі» № 3, 1996 р.

 

7. Богданов К. М. Хижак і жертва. Журнал «Квант» № 3/4, 1993 р.

 

8. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Граничний перехід і функціональні             

    рівняння. Газета «Математика» № 49. 1998 р.

 

9. Бродський Я. С., Сліпченко А. К. Функціональні рівняння і групи. Журнал  

    «Квант», № 7. 1985 р.