29 квітня о 18:00Вебінар: Використання технології «перевернутий клас» на уроках хімії

Найкрасивіші теореми в математиці

Про матеріал
Ви маєте повне право запитати: чому Біллі Коттрелл вважав, що про рівняння Ейлера зобов'язані знати всі? І був настільки в цьому впевнений, що почав писати його на чужих машинах? Відповідь проста: Ейлер скористався трьома фундаментальними константами математики і застосував математичні операції множення і піднесення до степеня, щоб записати красиву формулу, що дає в результаті нуль або мінус один.
Перегляд файлу

Найкрасивіші теореми в математиці: рівняння Ейлера

 

Що може бути більш містичним, ніж уявне число, що взаємодіє з реальними числами, щоб нічого не створити? Читач журналу «PhysicsWorld» у 2004 році задав запитання, щоб підкреслити красу рівняння Ейлера: «e в степені i помноженого на пі дорівнює мінус одиниці».

01007203-2547-800x216.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Ще раніше, в 1988 році, математик Девід Уеллс, писав статті для американського математичного журналу TheMathematicalIntelligencer, склав список з 24 теорем математики і провів опитування, попросивши читачів своєї статті вибрати найкрасивішу теорему. І після того, як з великим відривом в ньому виграло рівняння Ейлера, воно отримало звання «найкрасивішого рівняння в математиці».

01007206-c02e-800x1003.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Леонарда Ейлера називають найпродуктивнішим математиком за всю історію. Інших видатних математиків надихали його роботи. Один з кращих фізиків у світі, Річард Фейнман, в своїх знаменитих лекціях з фізики назвав рівняння Ейлера «найвизначнішою формулою в математиці». Ще один приголомшливий математик, Майкл Атья, назвав цю формулу "... математичним аналогом фрази Гамлета -« бути чи не бути »- дуже короткою, дуже стислою, і в той же час дуже глибокою".

Існує безліч цікавих фактів про зрівняння Ейлера. Наприклад, воно зустрічалося в деяких епізодах «Сімпсонів».

01007208-413e-800x457.jpgdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

01007209-4d7c-600x338.jpgdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Також рівняння Ейлера стало ключовим пунктом в кримінальній справі. У 2003 році аспірант Каліфорнійського технологічного інституту Біллі Коттрелл писав фарбою на чужих спортивних автомобілях рівняння Ейлера. На суді він сказав: "Я знав теорему Ейлера з п'яти років, і її зобов'язані знати всі".

0100720a-1849-800x499.jpgdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Марка, випущена в 1983 році в Німеччині в пам'ять про двохсотріччя від смерті Ейлера.

 

0100720b-d69d-510x631.jpgdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

 

Марка, випущена Швейцарією в 1957 році на честь 250-ї річниці Ейлера.

 

 

Чому рівняння Ейлера так важливо?

Ви маєте повне право запитати: чому Біллі Коттрелл вважав, що про рівняння Ейлера зобов'язані знати всі? І був настільки в цьому впевнений, що почав писати його на чужих машинах? Відповідь проста: Ейлер скористався трьома фундаментальними константами математики і застосував математичні операції множення і піднесення до степеня, щоб записати красиву формулу, що дає в результаті нуль або мінус один.

  • Константа e пов'язана зі степеневими функціями
  • Константа i є не дійсним, а уявним числом, рівним квадратному кореню з мінус одиниці.
  • Знаменита константа π (пі) пов'язана з кругами.

Вперше тотожність Ейлера з'явилася в 1748 році в його книзі Introductioinanalysininfinitorum. Пізніше інші люди побачили, що ця формула пов'язана з тригонометричними функціями синуса і косинуса, і цей зв'язок є дивним, адже степенева функція прямує до нескінченності, а тригонометричні функції коливаються в інтервалі від 1 до -1.

e в степені i, помноженому на φ (фі) = cos φ + i *sin φ

0100720c-69a1-400x300.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

0100720e-34eb-800x857.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

*графік тотожності Ейлера.

 

0100720f-8897-800x320.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Показані вище рівняння і графи можуть здатися абстрактними, але вони важливі для квантової фізики і обчислень обробки зображень, і при цьому залежать від тотожності Ейлера.

1: число для рахунку

Число 1 (одиниця) є основою нашої системи числення. З неї ми починаємо рахунок. Але як ми рахуємо? Щоб рахувати, ми використовуємо цифри 0-9 і систему розрядів, визначальну значення цифри. Наприклад, число 323 означає 3 сотні, 2 десятка і 3 одиниці. Тут число 3 виконує дві різні ролі, які залежать від його розташування. 323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

0: число для позначення нічого

Деякі цивілізації використовували прогалини, щоб, наприклад, відрізняти число 101 від 11. Через якийсь час почало з'являтися особливе число - нуль. Наприклад, в печері в індійському місті Гваліор археологи виявили на стіні число 270, в якому був нуль. Найперше зафіксоване використання нуля можна побачити в Бодліанскій бібліотеці.

0100720g-86d0-640x480.jpgdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

 

Приблизно 1400 років тому були записані правила обчислень з нулем. Наприклад, при додаванні від'ємного  числа і нуля виходить те саме від'ємне число. Ділення  на нуль не допускається.

 

Пі (π): найвідоміше ірраціональне число

Пі - найпопулярніше з відомих нам ірраціональних чисел. Пі можна знайти двома способами: обчисливши співвідношення довжини кола до  діаметра, або співвідношення площі кола до квадрату його радіуса. Евклід довів, що ці співвідношення постійні для всіх кіл, навіть для місяця, шини і т.д.

На даний момент комп'ютери змогли обчислити всього 2,7 трильйона розрядів пі. Може здаватися, що це багато, але насправді цей шлях нескінченний.

e: історія експоненціального зростання

e - це ще одне знамените ірраціональне число. Дрібна частина e теж нескінченна, як і у пі. Ми використовуємо число e для обчислення статечного (експоненціального) зростання. Іншими словами, ми використовуємо e, коли бачимо дуже швидке зростання або зменшення.

Один з найбільших, а можливо і кращий математик Леонард Ейлер відкрив число e в 1736 році і вперше згадав це особливе число в своїй книзі Mechanica.

Щоб розібратися в експоненціальному зростанні, ми можемо використовувати історію про винахідника шахів. Коли він придумав цю гру, то показав її володарю Півночі. Царю сподобалася гра і він пообіцяв, що віддасть автору будь-яку нагороду. Тоді винахідник попросив щось дуже просте: 20 зерен на першу клітку шахівниці, 21 зерно на другу клітку дошки, 22 зерна - на третю, і так далі. Щоразу кількість зерен подвоювалася. Цар Півночі подумав, що прохання буде виконати легко, але він помилявся, бо на останню клітку потрібно було б покласти 263 зерен, що дорівнює 9 223 372 036 854 775 808. Це і є експоненціальне зростання. Воно почалося з 1, постійно подвоювалося, і через 64 ​​кроки виросло у величезне число!

Число e відкрив Ейлер. Однак Якоб Бернуллі теж працював з числом e, коли обчислював складний відсоток, щоб заробити більше грошей. Якщо вкласти 100 доларів під 10% доходу, то як буде рости ця сума? По-перше, це залежить від того, як часто банк розраховує відсотки. Наприклад, якщо він розраховує один раз, то ми отримаємо в кінці року 110 доларів. Якщо ми передумали і будемо брати відсотки кожні 6 місяців, то в цьому випадку ми отримаємо більше 110 доларів. Справа в тому, що відсоток, отриманий за перші 6 місяців, теж отримає свій відсоток. Загальна сума буде дорівнює 110,25 доларів. Можна здогадатися, що ми можемо отримати більше грошей, якщо будемо забирати гроші кожен квартал року. А якщо ми будемо робити часовий інтервал все коротше, то остаточні суми будуть продовжувати рости. Такий нескінченний складний відсоток зробить нас багатими! Однак наш загальний дохід прагне до обмеженого значення, пов'язаному з e.

Бернуллі не називав число 2,71828 ім'ям e. Коли Ейлер працював з 2,71828, він звів експонентну функцію e в степінь x. Свої відкриття він виклав в книзі TheAnalysisofInfinite.

У 1798 році Томас Мальтус використовував експонентну функцію в своєму есе, присвяченому харчовому дефіциту майбутнього. Він створив лінійний графік, що показує виробництво їжі і експонентний графік, що показує населення світу. Мальтус зробив висновок, що в далекій перспективі експоненціальне зростання переможе, і світ чекає серйозний дефіцит їжі. Це явище назвали «мальтузіанською катастрофою». Ньютон теж використовував цю модель, щоб показати, як охолоджується чашка чаю.

 

 

Уявність числа: i, квадратний корінь -1

Довгий час для вирішення своїх завдань математикам було досить звичайних чисел. Однак в якийсь момент для подальшого розвитку їм потрібно відкрити щось нове і загадкове. Наприклад, італійський математик Кардано намагався розділити число 10 на 2 частини, добуток яких дорівнював би 40. Щоб вирішити цю задачу, він записав рівняння: x (10-x) = 40. Коли він вирішив це квадратне рівняння, то отримав два рішення: 5 плюс √-15 і 5 мінус √-15, що в той час не мало ніякого сенсу. Цей результат був безглуздим, тому що за визначенням квадратного кореня йому потрібно було знайти число, квадрат якого був би від'ємним. Однак і додатні, і відємні  числа в квадраті мають додатне  значення. Як би там не було, він знайшов своє унікальне число. Однак першим математиком, який назвав √-1 (квадратний корінь з мінус одиниці) уявним числом i, був Ейлер.

Найкрасивіше рівняння: тотожність Ейлера

Тотожність Ейлера пов'язує експонентну функцію з функціями синуса і косинуса, значення яких коливаються від мінус одиниці до одиниці. Щоб знайти зв'язок з тригонометричними функціями, ми можемо представити їх у вигляді нескінченного ряду, істинного для всіх значень01007225-8f19-800x263.pngdata:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAPABAP///wAAACH5BAEKAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==

Ейлер ніколи не записував цю тотожність в явному вигляді, і ми не знаємо, хто вперше записав її. Проте, ми пов'язуємо її з ім'ям Ейлера в знак поваги перед цим великим першопрохідцем математики.

 

docx
До підручника
Алгебра (академічний, профільний рівень) 11 клас (Нелін Є.П., Долгова О.Є.)
Додано
18 листопада 2019
Переглядів
320
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку