ЗМІСТ

РОЗДІЛ І. Основні теоретичні відомості.

1.1 Поняття многочлена однієї змінної. Операції над многочленами.

1.2 Корені многочлена. Теорема Безу та теорема Вієта.

1.3 Кратні корені. Похідна многочлена.

1.4 Многочлени від декількох змінних

РОЗДІЛ ІІ. Основні типи завдань для підготовки з теми

Основні поняття про многочлени однієї змінної

2.2  Система вправ і задач з теми «Многочлени однієї змінної: степінь многочлена, операції над многочленами» в шкільному курсі математики.

2.2.1. Основні поняття про многочлени однієї змінної

2.2.2. Дії над многочленами

2.3. Система вправ і задач з теми «Многочлени однієї змінної: теореми Безу та Вієта, алгоритм Евкліда» в шкільному курсі математики

2.3.1. Теорема Безу та наслідки з неї

2.3.2. Схема Горнера

2.3.3. Теорема про раціональний корінь многочлена

2.3.4. Теорема Вієта. Узагальнена теорема Вієта

2.4  Система вправ і задач з теми «Функціональні співвідношення у класі многочленів» в шкільному курсі математики.

2.5  Система вправ і задач з теми «Функціональні рівняння у класі многочленів» в шкільному курсі математики.

Список використаної літератури

РОЗДІЛ І. Основні теоретичні відомості.

1.       Поняття многочлена однієї змінної. Операції над многочленами.

Означення. Многочлен – це функція спеціального вигляду: a₀zⁿ +a₁ z^n-1+…+a_n ,.

Змінну z і коефіцієнти вважатимемо комплексними. Найбільш поширені  такі форми запису многочлена:

a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ– за зростаючими степенями;

a₁zⁿ +a₂z^n-1+…+a_n-1z+a_n – за спадними степенями.

Означення. Степенем многочлена називають найвищий показник, із яким z входить до многочлена з  коефіцієнтом, який не дорівнює 0.

Над многочленами здійснюють дві основні алгебраїчні операції: додавання і множення. Застосуємо форму запису многочлена за зростаючими степенями.

Означення. Сумою многочленів a₀+a₁z+a₂z²+…+a_nzⁿ і b₀+b₁z+b₂z²+…+b_sz^s називають многочлен +із коефіцієнтами с_і такими, що с_і=a_і+b_і..

Означення. Добутком і називають многочлен , коефіцієнти якого обчислюють за таким правилом:

Із цього правила випливає правило множення многочленів як двох сум.

Означення (формально-алгебраічне). Два многочлена називають рівними, якщо вони мають однакові коефіцієнти при однакових степенях z.

Означення (теоретико-функціональне). Дві функції (у тому числі й многочлен) називають рівними, якщо: 1) у них однакові області визначення;         2) за однакових значень аргументу вони набувають однакових значень.

Властивості операцій:

1)+=+– комутативність додавання;

2) ( ++ h=++ h) – асоціативність додавання;

3)  =– комутативність множення;

4) h h–асоціативність множення;

5) h= h+   h – дистрибутивність.

Ділення многочленів з остачею. Найбільш спільний дільник (НСД)

Означення. Поділити многочлен  на з остачею – це означає знайти пару таких многочленів і щоб +, причому        або степінь

Теорема. Для будь-яких многочленів й , де , де можливо ділення з остачею, причому і   визначаються однозначно.

Многочлен називають остачею від ділення многочлена на , – часткою.

Означення. Говоритимемо, що многочлен ділиться на многочлен без остачі, якщо (ділення без остачі позначатимемо так: .

Означення. Спільним дільником многочленів і називають такий многочлен , на який і  , і діляться без остачі.

Означення. Найбільшим спільним дільником многочленів і  називають такий їх спільний дільник, який ділиться на будь-який їх спільний дільник.

Для подальшого знаходження найбільшого спільного дільника сформулюємо властивості подільності.

 1) Якщо , а , то.

 Доведення.

  ,

    ,

Отже .

 2 )Якщо .

 3) Якщоі .

 4) Будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

 Доведення.

Нехай f(z)=  . у вигляді

=. Отже

 5) Якщо .

 6) то вони відрізняються постійним множником.

 Доведення.

Оскільки

Тоді

[12]

Означення.  Многочлени називають взаємно простими, якщо їх спільним дільником є многочлен нульового степеня (число не рівне нулю).

1.2 Корені многочлена. Теорема Безу та теорема Вієта.

Нехай задано многочлен .

Означення. Число називають коренем многочлена  f(z), якщо          

 f()=.

Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на многочлен спеціального вигляду дорівнює значенню многочлена при , тобто . [11]

Доведення. Застосуємо теорему про ділення многочлена з остачею до многочленів та   Тоді існують такі , що

, (r(z)=r),

причому або або степінь менша за степінь многочлена             .

Розглянемо при при z=с:

.

Наслідок. Для того щоб число було коренем многочлена  f(z), необхідно й достатньо, щоб  f(z) ділився на без остачі.

Доведення. Необхідність.

Нехай корінь многочлена f(z), тобто f()=0. Застосуємо до f(z) і   g(z)=z–c теорему про ділення з остачею. За теоремою Безу r=f(α)=0. Отже, f(z) ділиться на (z–с) без остачі.

Основна теорема алгебри. Будь-який многочлен степеня має принаймні один, комплексний корінь.

Традиційне доведення цієї теореми використовувало наступні леми, які мають самостійний інтерес.

Наведемо їх без доведення.

Лема 1. (Лема про вищий член многочлена).

Нехай задано   степеня і задано число , тоді таке існує число , що  як тільки, то 

.

Лема2. (Лема про зростання модуля многочлена).

Нехай задано многочлен f(z)= a₀zⁿ+ a₁ z^n-1+ a₂ z^n-2+...+a_n степеня n1 і задано число М>0. Тоді існує число P>0 таке, що як тільки , то.

Лема 3. (Лема Д’Аламбера).

Нехай задано многочлен f(z)= a₀zⁿ+ a₁ z^n-1+ a₂ z^n-2+...+a_n степеня n1 і задано число z₀, що не є коренем многочлена f(z). Тоді існує таке число h, що .

Розглянемо наслідки основної теореми алгебри.

Наслідок 1. Многочлен -го степеня має коренів, де кожен корінь враховують таку кількість разів, яка дорівнює цього кратності.

Наслідок 2. Будь-який многочлен можна розкласти на лінійні множники в області комплексних чисел.

,

Наслідок 3. Нехай задано два многочлени степенів , значення яких збігається в точці, тобто

.....................................................

 Тоді многочлени є рівні (у формально-алгебраїчному сенсі).

Наприклад, рівняння може мати раціональними коренями числа виду , де

Проте, на практиці частіше користуються не самою теоремою, а її наслідком 2.

Кожне рівняння з цілими коефіцієнтами легко привести до . Для цього потрібно обидві частини рівняння

помножити на та зробити заміну: , тоді отримаємо

Тобто, в рівнянні 

Теорема 2. (необхідна умова існування дійсного кореня) Для того, щоб число (НСК було коренем рівняння необхідно щоб при довільному цілому число .

На практиці в якості числа обирають .[10]

1.3     Кратні корені. Похідна многочлена.

Означення. Число α називають k-кратним коренем многочлена якщо ділиться на і не ділиться на .

Щоб отримати умову існування k-кратного кореня, треба знати поняття похідної від многочлена.

Многочлен, являє собою комплексну функцією комплексної змінної, оскільки змінна z і коефіцієнти при степенях z – комплексні числа. Хоча формально поняття границі для комплексної функції комплексної змінної не відрізняється від поняття границі для дійсної функції, фактично воно стає більш жорстким. Це пов’язано з тим, що околом точки для дійсної змінної є інтервал, а околом у комплексній області є відкритий круг. Тому ми  не можемо використати знання з математичного аналізу за перший курс. Через це ми незалежно від математичного аналізу введемо поняття похідної многочлена (як з’ясується на старших курсах воно узгоджується з відповідними поняттями функції комплексної змінної).

Означення. Похідною многочлена називають многочлен

.

Виходячи з означення похідної для многочлена можна довести такі правила знаходження похідної:

1,2

3

Теорема. Нехай α – k-кратний корінь многочлена . Тоді α є корінь кратності  k-1  для його похідної  .

Доведення.  Припустимо, що α – k-кратний корінь, тоді 

.

Потрібно довести, що

.

Виходячи з правил обчислення похідних маємо

Це означає, .

Залишилося довести, що .

Позначимо

Припустимо супротивне: що 

Тоді   

За припущенням , а тоді і , а це суперечить тому, що

. Маємо суперечність. Теорему доведено.   

4.     Многочлени від декількох змінних

Часто в математиці потрібно розглядати многочлени, які залежать не від однієї, а від двох, трьох, взагалі кажучи, від декількох змінних.

Нехай – n змінних (або невідомих), – числа.

Означення 1. Вираз  , де , –елемент поля , називають одночленом від змінних.

Суму  називають степенем одночлена.

Означення 2. Два одночлена називаються рівними, якщо:

Два одночлена називаються подібними, якщо:

Означення 3. Многочлен від багатьох змінних над полем (тобто є коефіцієнтом з поля Р) називається сума скінченої кількості одночленів.

Наприклад:

Означення 4. Степенем многочлена   (за сукупністю змінних) називається найбільший із степенів його одночленів (членів).

Означення 5. Степенем многочлена   відносно змінної називається показник, з яким входить в члени цього многочлена.

Означення 6. Два многочленна від змінних   з коефіцієнтами з одного і того ж поля Р називається рівними, якщо вони складаються з одних і тих же членів (може відрізнятися тільки порядком запису членів).

Серед многочленів від декількох змінних виділяють декілька з них, які не змінюються при жодній перестановці змінних. У такі многочлени всі змінні входять симетричним чином. Такі многочлени відіграють важливу роль у алгебрі.

Означення 7. Многочлен   від n змінних над полем Р називають симетричним, якщо він не змінюється при будь-якій перестановці змінних.

Властивості:

а) всі многочлени нульового степеня є симетричними многочленами;

б) сума, різниця і добуток симетричних многочленів від n змінних є симетричним многочленом від цих змінних;

в) якщо – симетричний многочлен від , то ) – симетричний многочлен.

г) симетричні многочлени від змінних  над утворює підкільце в кільці  всіх многочленів, яке називають кільцем симетричних многочленів над полем Р.

Наступні n симетричних многочленів від n змінних називаються елементарними симетричними многочленами:

,

,

,

……………………………………………………………..,

,

.

При n=2:  ;

n=3:  

Теорема (основна теорема про симетричні многочлени): ожен симетричний многочлен від змінних  над полем Р є многочленом від елементарних симетричних многочленів  з коефіцієнтами із поля Р.

Наслідок. Нехай  – многочлен від однієї змінної над полем , (старший коефіцієнт = 1).

Тоді кожен симетричний многочлен (з коефіцієнтами із Р) від коренів многочленна   буде многочленом від коефіцієнтів многочлена  .

Теорема 3. (теорема єдиності) Кожен симетричний многочлен має єдине вираження у вигляді многочленів від елементарних симетричних многочленів. [14]

РОЗДІЛ ІІ. Основні типи завдань для підготовки з теми

Основні поняття про многочлени однієї змінної

          Теорія многочленів у курсі математики середньої школи вивчається протягом багатьох років. Умовно процес вивчення цієї теми можна розбити на декілька етапів. [40]

       Перший етап включає формування понять «числовий вираз» (починаючи з 3 класу), «буквений вираз» (з 4 класу) і закінчується темою «Одночлен» (у 7 класі).

       На цьому етапі навчання основна увага приділяється формуванню умінь і навичок конструювання алгебраїчних виразів і знаходженню їх функціональних значень, тотожному перетворенню алгебраїчних виразів над конкретною числовою множиною.

       У 6 класі в темі «Переставний і сполучний закони множення» зазначається, що названі закони дають змогу спрощувати вирази, що складаються з числових і буквених множників. Якщо вираз є добутком числа і однієї або кількох букв, то число називають числовим коефіцієнтом або просто коефіцієнтом. Коефіцієнти таких виразів, як а або , вважають такими, що дорівнюють 1, оскільки . Множення -1 на будь-яке число а дає число . Тому числовим коефіцієнтом цього виразу є число -1. [2]

        Введення в 6 класі дії піднесення до натурального степеня дає можливість розширити «фронт» спрощення буквенних виразів, основу якого тепер складають означення степеня з натуральним показником, сполучний, переставний і розподільний закони додавання і множення. [3]

Приклад: Спростити вираз:

.

Застосуймо розподільний  закон:

;

Переставний закон множення:

;

Сполучний закон множення (спрощуючи  вирази, що містять однакові множники) ;

Переставний і сполучний закон  додавання:

;

Розподільний закон:

. [21]

          Пояснення процедури перетворення виразів значно спрощується після введення поняття «подібні доданки»: подібні доданки можуть відрізнятися один від одного тільки коефіцієнтами (6 клас).

 У курсі алгебри (7 клас) ще раз звертаються до поняття степеня з натуральним показником і доводять властивості степенів. Зазначені теоретичні відомості дають  змогу ввести поняття «одночлен» на конструктивному рівні: вирази  є добутками чисел, змінних і їхніх степенів. Такі вирази, а також числа, змінні та їхні степені називають одночленами.

         У 7 класі вводять означення многочлена: многочленом називається сума одночленів. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена. Степенем многочлена називають найбільший із степенів одночленів, що входять до його складу.

         Введенням поняття «многочлен» починається другий етап вивчення елементів алгебри многочленів. Вводяться, за певними законами (правилами), дії додавання, віднімання, множення многочленів. При цьому наголошується замкненість множини многочленів стосовно цих дій: суму (різницю) і добуток будь-яких двох або декількох многочленів можна зобразити у вигляді многочлена. Зображення многочлена у вигляді  добутку двох або декількох многочленів (серед яких можуть бути й одночлени) називають розкладом многочлена на множники. Способи розкладу: винесення  спільного множника за дужки, спосіб групування, за формулами скороченого  множення. [22]

 Програмою з математики для шкіл та класів математичною профілю передбачено вивчення питань теорії подільності многочленів (ділення з остачею, теорема Безу, схема Горнера та ін.). Це допомагає при вивченні теорії многочленів використовувати аналогію з множиною цілих чисел, яка заснована на структурній однотипності множини многочленів та множини цілих чисел. Запропонована методична система вивчення теорії многочленів передбачає використання цієї аналогії.

         Зокрема, підготовка до вивчення елементів теорії подільності многочленів (10 кл.) містить узагальнення відповідних знань та вмінь учнів за курс неповної середньої школи. При цьому увага зосереджується на означенні поняття многочлена, степеня многочлена, кореня многочлена, поняття многочлена нульового степеня, нульового многочлена; виконанні операцій над многочленами; елементах теорії подільності цілих чисел. [4]

          Відзначимо, що теорія подільності може бути змістовно розвинута для досить великої кількості кілець, до яких належать кільця многочленів та цілих чисел. Тому природним та ефективним є використання аналогії, яка існує між цими теоріями.

          Тому вивчення теоретичного матеріалу цієї теми можна розпочати з дослідження структури множини многочленів з раціональними коефіцієнтами відносно операцій додавання і множення, результати виконання яких потрібно подати у загальному вигляді:

,

. [5]

2.2  Система вправ і задач з теми «Многочлени однієї змінної: степінь многочлена, операції над многочленами» в шкільному курсі математики.

2.2.1. Основні поняття про многочлени однієї змінної

Тема «Многочлени від однієї змінної» являється першою темою у розділі «Алгебраїчні рівняння та нерівності вищих степенів», метою вивчення якого є – навчитися розв’язувати рівняння та нерівності вищих степенів різних видів. Оскільки рівняння з однією змінною розглядають як рівність виду , де - функція або многочлен, тому виникає потреба у вивченні теорії многочленів.

Оглянемо основні факти з теорії многочленів від однієї змінної: поняття, степінь многочлена, коефіцієнти; дії над многочленами, звітні та незвітні многочлени, їх вплив на деякі основні методи їх розв’язання задач з даної тематики. Практика показує, що задачі  з теорії многочленів від однієї змінної широко представлені у текстах зовнішнього незалежного тестування та у різних математичних змаганнях, причому в різних видах формулювань та застосувань.

Означення. Многочленом степеня від змінної будемо називати вираз виду де – будь-які дійсні числа.

Многочлен нульового степеня є многочленом – константою, тобто . Будемо також вважати многочленом константу, що рівна нулю, такий многочлен будемо називати нуль-многочленом (нуль-многочлен не має степеня, на відміну від інших многочленів).

Терміни і позначення:

1.    Многочлени від змінної будемо позначати символами і т. д.
2.    Степінь многочлена позначимо так: .
3.    Числа будемо називати коефіцієнтами многочлена – старшим коефіцієнтом, – вільним членом.
4.    Нехай – даний многочлен і – деяке число, тоді називається значенням многочлена при .

Означення. Число називається коренем многочлена , якщо при значення .

5. Доведіть, що:

- сума усіх коефіцієнтів многочлена обчислюється за формулою .

- сума коефіцієнтів многочлена , що стоять при парних (непарних) степенях х обчислюється за формулою: ;

- якщо многочлен з цілими коефіцієнтами і , то .

Завдання№1.

1) Вказати степінь, старший і вільний коефіцієнти многочлена: 

а); б) ;  в).

2)  Знайдіть суми всіх коефіцієнтів наступних многочленів:

а),  б), в)

3) Дано многочлен . Знайти:  ; старший коефіцієнт і вільний член; суму всіх коефіцієнтів у канонічному розкладі многочленна; суму коефіцієнтів при парних; непарних степенях x:

а) ;  б) ; 

в);  д) .

4)  Нехай многочлен такий, що для всіх . Чи може містити непарні степені ?

5) Чи існує многочлен Р(х) з цілими коефіцієнтами такий, що Р(1) =11, Р(-1) = 0?

Вказівка. Використайте одну з властивостей 1) – 5).

Завдання№2. При яких обмеженнях на цілі числа

1) многочлен приймає при всіх парні (непарні) значення?

2) многочлен приймає при всіх значення, що діляться на 3?

Розв’язання. 1) Значення при всіх мають однакову парне тоді і тільки тоді, коли кожне із чисел ділиться на 2, тобто – непарне. При цьому парність всіх однозначно визначається по парності числа , таким чином, всі значення парні (непарні) при парному і парному (відповідно непарному) .

2) Оскільки , то значення при всіх діляться на 3 тоді і тільки тоді, коли число ділиться на 3. При цьому кожне зі значень ділиться на 3 в тому і тільки в тому випадку, коли число ділиться на  3. Таким чином, всі значення діляться на 3 за умови 

2.2.2. Дії над многочленами

Теорема1. Два многочлени P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀ та

Q(x)=b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+a₀   рівні тоді і тільки тоді, коли n=m і а_і=b_i   i=.

Тобто якщо і рівні многочлени, то для довільного числа їхні значення при співпадають. Мають місце наступні теореми:

Теорема 2. Якщо , то справедлива рівність .

Теорема 3. Якщо справедлива рівність , то .

Теорема 4. Якщо , то існує таке число , що .

Теорема 5. Якщо існує таке число , що , то .

Теорема 6. Нехай Р(х) і Q(x) – довільні многочлени, тоді:

1. функція – теж многочлен, причому deg(S)max(deg(P);deg(Q));
2. функція D(x)=P(x)Q(x) – теж многочлен, причому deg(D)=deg(P)+deg(Q), якщо Р(х)0 i Q(x)0.

Завдання№3.

1)  Скласти многочлен за даними його коефіцієнтами:

а) -, 0, , 0, 0, 0; б) 1, 0, 0, 0, 1, 0, .

2) Визначити, які серед даних многочленів рівні:  ;;  ;  .

3) Знайти числа  a , b і c, при яких справедлива тотожність:

а) ;

б) ;

г) ;

д) ;

е) .

4) Побудуйте многочлен з раціональними коефіцієнтами, мінімальне значення якого дорівнює: а) ; б) ; в) доведіть, що не існує многочлена -ого степеня, що задовольняє умову пункту б); г) чи існують многочлени з цілими коефіцієнтами, один з яких задовольняє умову пункту а), а інший – умову пункту б)?

5) Складіть многочлен найменшого степеня з цілими коефіцієнтами, один з коренів якого: а) ;  б) ;  в) ;  г) ;  д) .

6) Знайдіть многочлен з цілими коефіцієнтами:

а) -ого степеня, серед коренів якого є число ;

б) -ого степеня серед коренів якого є число ;

в) доведіть існування многочлена з цілими коефіцієнтами -ого степеня, серед коренів якого є число ;

г) доведіть чи спростуйте твердження: число  є коренем деякого многочлена з цілими коефіцієнтами.

7) (Англія, 80) Знайти хоча б одну множину , що складається і семи послідовних натуральних чисел, для якої існує многочлен п’ятого степеня з наступними властивостями:

а) всі коефіцієнти многочлена - цілі числа;

б) для п’яти чисел , включаючи найбільше і найменше, виконується рівність ;

в) для одного числа .

Розв’язання. Множина і многочлен задовольняють всі умови задачі (при цьому умову б) виконано для

Теорема 7. Нехай і - деякі многочлени, причому . Тоді існують єдині многочлени і , які задовольняють умовам:

       1) ,    2) <.

Тобто: многочлен при діленні на ненульовий многочлен в частці дає многочлен , - остача, причому <.

Якщо , то , тобто . [6] [7]

 Завдання№3.

1) Знайти частку і остачу від ділення:

а) на ; б) на ;

в) на ; г) на ;

2) При якому значенні  k виконується ділення без остачі многочлен на ?

3) При яких значеннях a і  b многочлен ділиться без остачі на ?

2.3. Система вправ і задач з теми «Многочлени однієї змінної: теореми Безу та Вієта, алгоритм Евкліда» в шкільному курсі математики

2.3.1. Теорема Безу та наслідки з неї

Найбільш ефективним методом ділення многочлена на двочлен являється метод, який базується на теоремі Безу; схемі Горнера.

Означення. Нехай - даний многочлен степеня n, - дане число, тоді називається значенням цього многочленна в точці .

Число називається коренем многочлена , якщо .

Теорема Безу. Остача від ділення будь-якого многочлена на двочлен дорівнює значенню многочлена при . [9]

Доведення. Нехай – многочлен, що ділиться, а – дільник, тоді остача або многочлен нульового степеню, або нуль, тобто і тоді звідси , .

Наслідки:

1.    , тобто – корінь .
2.    Якщо – різні корені многочлена , то .

Доведення: доведемо м. м. і.

1.    при – твердження є правильним.
2.    нехай твердження є правильним для різних коренів і доведемо його для різних коренів. Нехай – різні корені многочлена , тоді за припущенням: , тобто існує такий, що . Підставимо , отримаємо:

, бо . І оскільки , то , звідси , тобто і .

3.    Число різних коренів многочлена, відмінного від нуля, не більше, ніж його степінь.

Доведення. Нехай і . Припустимо, що має різних коренів , тоді за наслідком 2, отримаємо , що неможливо, оскільки степінь дільника не може бути більше степеня діленого.

Означення. Число   називається коренем  многочлена кратності  k, якщо  ділиться без остачі на але не ділиться на .

Приклади розв’язування вправ.

1. Не виконуючи ділення знайти остачу від ділення многочлена на квадратний тричлен .

Оскільки =(х-2)(х+1) і deg(R)<deg(Q), то R(x) – многочлен не вище першого степеня, тобто R(x)=ax+b. Тоді за теоремою про ділення многочленів: ; , отже .

2.  При якому виконується ділення без остачі многочлена на х+4?

За теоремою Безу: Р(-4)=0, тоді=0,  звідки =11.

3. При яких значеннях і виконується ділення без остачі многочлена на ?

.

4. Знайдіть остачу від ділення многочлена на  .

Остача являється многочленом степеня не вище першого. Інакше кажучи, ділення з остачею многочлена на  приводить до наступного: =, де - частка, а - остача. Знайдемо числа a і b. При з  отриманої рівності маємо: ,  а при :  . Розв’язавши систему , знаходимо: . Отже, шукана остача має вигляд . [8]

5. (Пекін, 63) Многочлен з цілими коефіцієнтами приймає значення 2 при чотирьох різних значеннях . Довести, що ні при яких цей многочлен не приймає значень 1, 3, 5, 7 і 9.

Розв’язання. Розглянемо многочлен і доведемо наступне твердження: якщо многочлен з цілими коефіцієнтами має 4 різні цілі корені, то при будь-якому значенні ціле число або рівне нулю, або є складеним (не може бути рівним 1). Нехай – різні цілі корені многочлена , тоді за теоремою Безу маємо розклад на множники деякий многочлен. Оскільки старший многочлена рівний 1, то многочлен має цілі коефіцієнти. Тоді число ціле,  а число ділиться на добуток  чотирьох різних цілих чисел, хоча б два з яких відмінні від 1 і -1. Тому або , або число – складене. Тобто, при жодному значенні число не рівне жодному з чисел -1, 1, 3, 5, 7, а значить не рівне жодному з чисел 1, 3, 5, 7 чи 9.

Завдання №4.

1) (усно) Не виконуючи ділення, встановити, чи ділиться націло многочлен на многочлен :  

а) , ;

б) , .

2) Знайти остачу від ділення многочлена на многочлен , використовуючи теорему Безу:  

а) , ;  б) , ;

в) , ; 

 г); д) .

3) Многочлен при діленні 

а) на дає остачу 5, а при діленні на - остачу 7. Яку остачу дає при діленні на ?

б) на дає остачу 4, а при діленні на - остачу  -1. Яку остачу дає при діленні на ?

в) на дає  відповідно остачі 3, 15, 0. Знайти остачу від ділення на .

4) При яких значеннях і виконується ділення без остачі:

а) многочлена на ;

б)  многочлена на ;

в) на ; г) на ; д) на ?

5) При яких значеннях а і b

а) многочлен  ділиться без остачі на , а при діленні на дає остачу ;

б) многочлен ділиться без остачі на , а при діленні на дає остачу ?

6) При діленні  на одержано остачу . Якою буде остача від ділення  на , якщо ?

7) Знайти:

а) многочлен третього степеня, який має корені 1, -1, 2;

     б) многочлен четвертого степеня, який має однократні корені 1, 3 і двократний корінь 1;

      в) кубічний многочлен, який має корінь кратності 2 – число 3 і корінь -1, а старший коефіцієнт дорівнює 2.

  8) (Нью-Йорк, 73; Бельгія, 81) Довести, що для будь-якого значення , многочлен

 9) (США, 77) Знайти всі пари чисел , для яких многочлен  ділиться на многочлен  .

2.3.2. Схема Горнера

Схема Горнера дає можливість знаходити частку, остачу від ділення многочлена на лінійний двочлен. Особливо зручна, коли отриману частку знову треба ділити на лінійний двочлен. Якщо  слід поділити на , то коефіцієнти частки і остача знаходяться за таблицею (зауважимо: степінь частки на один менше за степінь остачі):

Приклади розв’язування вправ

1. Поділити многочлен на двочлен і знайдену неповну частку поділити на 

2. Встановити кратність кореня для многочлена .  Розкласти даний многочлен на множники.

Отже, кратність кореня даного многочлена дорівнює трьом і  .

Завдання №5

1) Знайти частку і остачу від ділення наступних пар  многочленів:

а) і ;  б)   і ;

в)   і ;   г)   і .

2) Знайти кратність кореня для многочлена   та розкласти його на множники:

а) ; б) .

2.3.3. Теорема про раціональний корінь многочлена

      Розглянемо елементарний спосіб знаходження раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами. Зауважимо, що будь-який многочлен   з раціональними коефіцієнтами легко зводиться до многочлена з цілими коефіцієнтами шляхом множення рівняння на спільний знаменник усіх коефіцієнтів .

Теорема про раціональний корінь многочлена. Якщо нескоротний раціональний дріб є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, то і  .

      Доведення. Нехай нескоротний раціональний дріб є коренем многочлена . Нескоротний означає: НСД (p; q)=1, тобто p не ділиться на q і  q не ділиться на  p. , тобто - корінь многочлена . З того, що слідує  ,   (*).

Запишемо  рівність (*)  так:  , видно, що права частина ділиться на  q, а тому  ( оскільки p не ділиться на q).  Запишемо (*) по-іншому:  , де ліва частина ділиться на  p, тоді  (оскільки q не ділиться на  p).

     Наслідки

1.           Будь-який цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.
2.           Якщо , то всі раціональні корені  многочлена (якщо вони існують) є цілими числами.
3.           Зведений многочлен не має дробових коренів.

Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами не має коренів виду  , що і  ,  то такий многочлен не має раціональних коренів. [15] [16] [17]

Приклади розв’язування вправ

1. Знайти всі цілі корені многочлена .

    Оскільки цілі корені многочлена знаходяться серед дільників вільного члена, тобто  цілими дільниками числа -6 є числа: , то перевіримо ці числа на корені:

.

Отже, -  всі цілі корені даного многочлена.

2. Знайти всі раціональні корені многочлена .

    Згідно до теореми про раціональний корінь многочлена, раціональний корінь даного многочлена    такий, що   і  ,  де , тому шуканий корінь   складено з дільників чисел 6 і 2, а отже його слід шукати серед чисел:  ,. Порівнюючи з нулем ,  отримаємо, що - шукані корені.

3. (Англія, 78) Довести, що:

а) для будь-якого існує многочлен з цілими коефіцієнтами, що задовольняє рівність

б) для будь-якого число або співпадає з одним із чисел , або ірраціональне.

Розв’язання. а) Позначимо

.

Поклавши у формулі значення рівним спочатку 2, потім 3 і т.д. знайдемо спочатку многочлен , потім і т.д. Зауважимо, що старший коефіцієнт будь-якого із многочленів

б) Нехай , де m, , і дріб – нескоротний. Тоді величина рівний або 2 або -2. В силу доведеного вище твердження, а) величину можна представити у вигляді многочлена з цілими коефіцієнтами від змінної . Тоді число є коренем многочлена у якого всі коєфіцієнти цілі, а ккоефіцієнт при старшому члені рівний 1. Тому число може бути або цілим, або ірраціональним. Нехай – ціле число. Оскільки , то воно дорівнює одному з чисел . Отримаємо, що якщо число раціональне (де , то воно рівне одному з чисел .

Завдання №6

 1) Знайти всі цілі корені многочлена. Розкласти многочлен на множники: 

а);  б);  в);

г);  д);  е) ;

2) Знайти  всі раціональні корені многочлена. Розкласти многочлен на множники: а) ; б) ;

в);    г) .

2.3.4. Теорема Вієта. Узагальнена теорема Вієта

 Нехай зведений многочлен третього степеня має три дійсні корені , тоді кожен двочлен  являється дільником даного многочлена і  .

Прирівняємо коефіцієнти лівої і правої частин: (1)

Отже, якщо числа - корені многочлена третього степеня , то виконується система  (1) – теорема Вієта для зведеного многочлена третього степеня.

Обернене твердження пропонується встановити самостійно.

Теорема (Вієта): Якщо - корені многочлена , то [13]

Приклади розв’язування вправ

1. Знайти многочлен третього степеня, що має корінь 2 і корінь -1 другої кратності.

     Нехай шуканий многочлен має вигляд . Згідно теоремі Вієта: , тобто      

Отже, шуканий многочлен має вигляд: 

2. При яких значеннях параметра  а многочлен має кратні корені? Знайти їх.

Згідно теоремі Вієта:      Коренів може бути всього три, то якщо існує кратний корінь, то його кратність 2 чи 3.  Якщо кратність кореня дорівнює 3 , тоді рівняння (1) несумісне з (3);  якщо кратність кореня дорівнює 2  :    звідки 

3. Розв’язати систему рівнянь 

    Згідно до теореми, оберненої до теореми Вієта, числа являються коренями многочлена  третього степеня ,  а саме  - корені многочлена,  а отже  розв’язками  даної системи є трійки чисел (-1;1;2), (1;-1;2), (2;-1;1), (2;1;-1), (-1;2;1), (1;2;-1).

Завдання №7

1)  Знайти многочлен третього степеня, що має корені  1; -1; -2.

2)  Знайти многочлен четвертого степеня, що має один двократний корінь 1 і два корені  -1 і 3.

3)   Знайти спільні корені многочленів і 

4)   Не розв’язуючи рівняння  ,  знайти:

а) ;  б) , де -  корені даного рівняння.

5)  Один з коренів многочлена     в два рази більше другого. Знайти а і корені многочлена.

6)  Корені многочлена  утворюють арифметичну прогресію. Знайти та його корені, якщо:  а) ;  б) .

7)  Розв’язати систему рівнянь:

 а) б)   в)  г)  [14]

Запрошуємо до розгляду пошуково-дослідницьких задач.

1. Чи існує натуральне число і такий відмінний від константи многочлен з цілими коефіцієнтами, що кожні два з чисел взаємно прості?

2. Доведіть або спростуйте твердження: число є коренем деякого многочлена з цілими коефіцієнтами.

3. Позначимо через суму добутків по чисел від 1 до n. Наприклад, .

а) Знайдіть формули для і .

б) Доведіть, що є многочленом від степеня .

в) Вкажіть метод знаходження многочленів при та використайте його для знаходження многочленів і .

2.4  Система вправ і задач з теми «Функціональні співвідношення у класі многочленів» в шкільному курсі математики.

Як відомо, що многочленом (поліномом) називається функція виду де – будь-які дійсні числа. Тому під функціональними співвідношеннями у класі многочленів будемо розуміти рівність, в яких шукана функція – многочлен  пов’язана з відомими функціями – многочленами за допомогою арифметичних дій та операції утворення складеної функції. При цьому під розв’язком такого співвідношення будемо розуміти многочлен, який на заданій множині перетворює його у тотожність.

Вивчення теми «Функціональних співвідношень у класі многочленів» передбачає наступні педагогічні задачі:

– поглибити та розвинути сформовані раніше знання з теми многочлени;

•    ознайомити з основними прийомами розв’язування функціональних співвідношень;
•    підготувати учнів до участі в олімпіадах та конкурсах;
•    активізувати навчально-пізнавальну та пошуково-дослідницьку діяльності учнів;
•    посилити прикладну спрямовагість курсу математики та підвищення фундаментальної математичної підготовки.

Перед викладенням матеріалу з даної теми, вчитель повинен ґрунтовно підготувати матеріал, а саме дібрати завдання, для повторення та закріплення знань перед викладанням нової теми, дібрати задачі та систему вправ, які будуть  зрозумілі  широкій аудиторії, для учнів  різного рівня знань. Тому виникає важливе питання не тільки в методиці викладання математики середньої школи, а й в методиці викладання математики позашкільних занять: яким оптимальним підбором вправ можна досягнути цілісного та міцного засвоєння знань? Система задач повинна давати приклади отримання одного й того ж результату різноманітними шляхами й спонукати учня до подібних самостійних дій, до самостійного розв’язання задач прикладного характеру, розвитку пошукових та дослідницьких здібностей, гнучкості й критичності мислення [18].

Розглянемо найбільш виразні із складеної системи задач на функціональні співвідношення для многочленів, що пропонувалися на змаганнях різного рівня.

1.                 Знайти всі многочлени, які є одночасно парними і непарними функціями.

Розв’язання. Оскільки єдиною одночасно і парною і непарною являється функція=0, або многочлен нульового степеню .

2.                 Нехай многочлен такий, що для всіх виконується рівність . Чи може містити непарні степені ?
3.                 Серед многочленів виду знайти всі такі, що для всіх виконується рівність:  а) ; б).

Розв’язання. а) Оскільки , то маємо тотожність або звідси .  Значить, або .

б) Згідно а) маємо : або звідси . Значить, або .

4. Нехай . Розв’язати  рівняння . Тут

Розв’язання. Зауважимо, що , а тоді знаходимо, . Методом

 математичної індукції легко довести, що . Отже, рівняння рівносильне такому: , звідки , а і , .

Після розв’язання такої задачі логічно запропонувати самостійно розглянути наступну задачу:

5.  Чи існують такі дійсне число і многочлен , що ?

Відповідь: так. Наприклад, задовольняє умову, тут . Дійсно, якщо , то легко довести м. м. і., що .

6. Нехай маємо многочлен . Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Зауважимо, що корені вихідного рівняння слід шукати на проміжку , бо при матимемо - протиріччя. Отже, можемо покласти, що для деякого . При і , а (це легко довести м. м. і.). Таким чином, рівняння рівносильне такому: , а з останнього випливає: , тобто і , а відповідно . Аналогічно розв’язується наступна задача.

7.                 Нехай маємо многочлен . Розв’язати рівняння .
8. Знайти многочлен , якщо .

Розв’язання.  Якщо , то позначивши , тобто , отримаємо: . Отже, .

9. Знайти многочлен , якщо .

Розв’язання.  Якщо , то при будемо мати , а при , остаточно отримаємо .

10. Знайдіть усі многочлени з дійсними коефіцієнтами, для яких при всіх одночасно виконуються дві нерівності:  і .

11. (ГДР, 74) а) Довести, що не існуі многочлена , для якого при будь-якому виконується нерівність 1) ; 2) ; б) чи справджуватиметься твердження а), якщо нерівність 1) замінити на нерівність ) ?

Розв’язання. а) Якщо – константа, то   і нерівність 1) не виконано. Нехай . Тоді якщо – непарне, то хоча б в одній точці , якщо ж – парне, то – непарне число, звідки хоча б в одній точці . Таким чином, для многочлена не виконано або нерівність 1), або нерівність 2). Твердження 2) доведено.

 б) Покладемо, . Тоді для всіх маємо: , , тобто відповідь на питання п.б) – негативна.

11. Про многочлени з цілими коефіцієнтами відомо, що многочлен ділиться без остачі на многочлен Знайдіть

Розв’язання. Відомо, що якщо многочлен з цілими коефіцієнтами і , то . Тому для цілого х:

Значить вираз

ділиться без остачі на многочлен Але тому  многочлен має ділитися теж націло на

Останнє можливо, коли многочлен є нуль – многочленом,  бо степінь многочлена дорівнює 2020. Отже, звідки

Завдання для самостійного опрацювання.

1.  Знайти, якщо .  

2.  Нехай . Розв’язати рівняння .

3. Чи існує многочлен , що задовольняє умові: 

?

4.  Нехай , а . Доведіть, що корені рівняння  дійсні  і різні.

5.  Знайти многочлен: 1) , якщо , 2) , якщо .

6. Нехай – а) квадратний тричлен; б) многочлен парного степеня з невід’ємними коефіцієнтами. Доведіть нерівність: .

7. Нехай – многочлен такий, що для кожного многочлена має місце функціональне співвідношення: . Знайти .

8. (США, 76) Нехай многочлени , , та задовольняють рівність

Довести, що многочлен ділиться на многочлен .

Запрошуємо до розгляду пошуково-дослідницьких задач

1. Знайдіть усі многочлени з дійсними коефіцієнтами, для яких при всіх одночасно виконуються дві нерівності: і .
2. Чи існує такий многочлен другого степеня, що для будь-якого рівняння , має рівно розв’язки?
3. Нехай – многочлени, причому степені многочленів   різні і додатні.

а) Доведіть, що існує не більше одного многочлена степеня зі старшим коефіцієнтом 1 такого, що .

б) Знайдіть хоча б один такий, відмінний від константи, многочлен , що [19].

Запрошуємо до розгляду відкритих проблем.

Цікаву проблему про значення многочленів запропонували О. Г. Кукуш та Р. П. Ушаков [21]: Зафіксуємо натуральне число .

Означення. Многочлен з цілими коефіцієнтами називається m-подільним, якщо при будь-якому цілому k число ділиться на m без остачі.

Приклад. , , . Многочлен є також 6-подільним, а многочлен є m-подільним при та Легко бачити, що при будь-якому многочлен є m-подільним.

Теорема. Нехай є m – просте число, тоді є m-подільним.

Доведення: Якщо , , то , ділиться на m. Якщо ж , , то числа k та m взаємно прості і згідно з малою теоремою Ферма ділиться на m. Тут – це функція Ейлера, вона дорівнює кількості натуральних чисел, менших за m та взаємно простих з ним. Для простого m . То при .

Пропонується проблема: для довільного натурального якомога точніше оцінити зверху та знизу найменший степінь m-подільного многочлена з взаємно простими коефіцієнтами (цілі числа називаються взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1).

Зокрема можна довести, що для простого числа m цей степінь рівний m.

Проблема С. Конягіна та деякі задачі

Розглянемо цикл задач, який містить одну нерозв’язану проблему, поставлену С. Конягіним. Цей цикл пропонувався на шостій літній конференції Турніру міст, яка відбулась у 1994 р. у м. Білорєцькому.

Загальна задача (розв’язання невідоме). Нехай – довільний многочлен з цілими коефіцієнтами. Розглянемо таку умову , яка залежить від : ділить

Гіпотеза. Для будь-якого многочлена існує нескінченно багато таких , що виконується.

Розгляньте такі задачі:

•    Розв’язати задачу для таких частинних випадків:

а); б); в); г).

•    Якщо просте число ділить і , то ділить також .
•    Якщо розкладається на прості множники, які менші , то ділить
•    Довести, що ділить .
•    Довести гіпотезу для многочленів:

а) ; б); в).

Для яких ще многочленів Ви можете встановити справедливість гіпотези?

•    «Обернена задача». Довести, що існує нескінченно багато таких натуральних , що умова не виконується.

Запропонована система задач з функціональних співвідношень у класі многочленів відповідає наступним принципам: принцип  повторення та послідовного зростання складності (задачі №1- №4); принцип диференціації та різноманітності; принцип доступності та однотипності     (№4-5, №6-7, №8-9); принцип внутрішніх зв’язків; принцип міжпредметних, міжнаукових зв’язків та виконання задач творчого характеру (це задачі № 6,7; задачі із рубрики «Запрошуємо до розгляду пошуково-дослідницьких задач» та «Запрошуємо до розгляду відкритих проблем», які можна пропонувати учням – кандидатам Малої академії наук).

Зазначимо, що вище зазначені задачі не просто цікаві, розв’язування деяких з них надзвичайно красиві і не виходять за рамки шкільної програми, оскільки можуть бути розв’язані шкільними методами. Тому вивчення школярами даної тематики покращує закріплення пройденого матеріалу, сприяє розвитку інтересу до предмета, дозволяє відпрацювати різні способи розв’язування задач при підготовці до змагань, олімпіад різного рівня.

2.5  Система вправ і задач з теми «Функціональні рівняння у класі многочленів» в шкільному курсі математики.

Мова піде про рівняння, де в ролі невідомих виступають функції.

Означення. Функціональним рівнянням називають рівність, до складу якої входить незалежна змінна і невідома функція цієї змінної.

Наприклад, рівності виду: , є функціональними рівняннями з невідомою функцією .

Функціональні рівняння можна розглядати як ще один спосіб задання функції, а саме задання функції як розв’язку функціонального рівняння. В таких рівняннях шукані функції пов’язані з відомими за допомогою операцій утворення складених функцій. Розрізняють частинний та загальний розв’язки функціонального рівняння. Частинний розв’язок функціонального рівняння - є функція або система функцій, яка задовольняє рівнянню в заданій області визначення. Загальний розв’язок складає сукупність усіх функцій, які задовольняють рівняння. Будь-який розв’язок функціонального рівняння залежить від того, в якому класі функцій воно розв’язується (в класі обмежених, неперервних, диференційованих тощо) [20].

Теоретичні й практичні застосування саме таких рівнянь спонукали видатних математиків до їхнього вивчення. Досить лише навести рівняння Коші яке використовується у проективній геометрії і теорії ймовірностей.

Вивчення теми “Функціональні рівняння” в курсі математики передбачають вирішення таких педагогічних задач як і при вивченні теми “Функціональні співвідношення”, які описані в попередньому пункті. Проаналізувавши психолого-педагогічну, методичну, дидактичну та наукову літератури та з особистого досвіду роботи можна реалізувати методику роботи, що представлена нижче.

Але перед тим як розпочинати розгляд основних методів розв’язання функціональних рівнянь в класі многочленів, розглянемо такого плану задачі:

Задача1. Покажіть, що многочлен задовольняє заданому функціональному рівнянню .

 Розв’язання. Якщо , то , а , а отже, .

Значить, функція задовольняє рівнянню.

Задача 2. При яких a многочлен буде розв’язком функціонального рівняння .

Розв’язання. Припустимо, що функція є розв’язком заданого функціонального рівняння, тоді a .

Підставляючи останній вираз у вихідне рівняння, матимемо тотожність:

, звідки . Отже, буде розв’язком рівняння.

Таким чином, для першого знайомства вибрали такі задачі, які задовольняють таким вимогам:

1. задача не є складною і для її розв’язання використано достатньо мінімальні теоретичні відомості;
2. формулювання задачі спрямоване не тільки на закріплення поняття про розв’язок функціонального рівняння, а і на розкриття ідеї одного із майбутніх методів розв’язання функціональних рівнянь.

Постає питання: як же знайти розв’язки певного функціонального рівняння в класі многочленів?

На це питання нам може відповісти один із найпоширеніших методів – метод підстановок, який дозволяє у своїй більшості розв’язати функціональне рівняння без суттєвих обмежень, а до того ж є достатньо елементарним та метод невизначених коефіцієнтів, особливо ефективний при розв’язуванні функціональних рівнянь у класі многочленів

 Задача 3. Знайти всі многочлени з дійсними коефіцієнтами, для яких виконується  рівність для всіх .

Розв'язання: Оскільки в лівій частині рівняння над незалежною змінною і значеннями виконуються лише лінійні операції, а правою частиною рівняння є многочлен другого степеня, то логічно припустити, що шуканий многочлен має вигляд: де - коефіцієнти, які підлягають визначенню, тобто невизначені коефіцієнти. З того, що ця функція має бути розв’язком рівняння, випливає тотожність , яка після виконання перетворень у лівій частині, набуває вигляду 3