Коло дев’яти точок. Пряма Ейлера
Актуалізація Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Так називається воно через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:
-середина кожної сторони трикутника
-основа кожної висоти
-середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром
Задача1
Розв'язання.
1)
(за властивістю рівнобедреного трикутника).
2) (за властивістю зовнішнього кута трикутника).
3) (за означенням дотичної).
4) (за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника).
Задача2
Доведення.
Оскільки , то навколо чотирикутника АН3НН2 можна описати коло.
Тоді
як вписані, що спираються на одну дугу. Аналогічно доводимо, що
.
Але , тому що вони доповнюють кут АВС до 900. Звідси
. Так само доводимо, що
і
.
Задача3
Доведення.
Продовжимо медіану АМ на відстань, що дорівнює її довжині.
. Отже, точки С, К, В, Д лежать на одному колі. Тоді
(як кути, що спираються на дугу СД), але
. Звідси
.
Задача 4
Доведення.
Навколо трикутника АВС опишемо коло і продовжимо бісектрису СД трикутника до перетину з колом у точці Е.
Нехай ВС=а, АС=в, АD=т, ВD=п, СD=у, DЕ=х.
За умовою , крім того,
як вписані кути, що спираються на одну дугу. Отже, трикутники АСЕ і ВСД подібні, і справедлива рівність
звідки
у2=ав-ух.Хорди АВ і СЕ перетинаються в точці D. Тому виконується рівність ух=тп. Отже, у2=ав-тп.