Тема.  Пряма Ейлера. Коло дев’яти точок

    З кожним трикутником пов’язано багато особливих ліній і точок, а саме: висоти, медіани, бісектриси, ортоцентр, центроїд, прямі Чеви, пряма Менелая.

Розглянемо не менш цікаві точки і лінії в трикутнику, а саме: точки Ейлера, коло Ейлера, пряма Ейлера.

Актуалізація опорних знань та вмінь

1. Як знайти центр описаного кола? ( точка перетину серединних перпендикулярів – О)

2. Як знайти центр вписаного кола, інцентр? ( точка перетину бісектрис – J)

3. Яку точку називають ортоцентром трикутника? ( точку перетину прямих які містять висоти трикутника  –  Н )

4. Як називають точку перетину медіан трикутника? ( центроїд –  М )

Точки О, J, Н, М називають чудовими точками трикутника. Використання такого емоційного епітета цілком обґрунтовано. Адже цим точкам притаманний цілий ряд красивих властивостей. Хіба не чудово вже те, що вони є в будь-якому трикутнику?

Новий матеріал

Теорема. У будь-якому трикутнику центр описаного кола, центроїд і ортоцентр лежать на одній прямій.

Цю пряму називають прямою Ейлера.

   Лема. Три чудові точки трикутника, центр описаного кола, центроїд і ортоцентр, лежать на одній прямі, причому

2ОМ = МН.

Означення. Середини відрізків висот від ортоцентра до вершин трикутника називаються точками Ейлера ( Е ).

Теорема Ейлера. Основи медіан, основи висот і точки Ейлера лежать на одному колі, яке називається колом дев’яти точок або колом Ейлера.

Задача

Точки В, С, М, J, Н трикутника АВС належать одному колу. Знайдіть його кути.

             Розв’язання.

Очевидно, що ∆АВС – гострокутний (оскільки М та J знаходяться всередині ∆АВС, то й ортоцентр Н згідно з умовою повинен знаходитися всередині ∆АВС). ВНС = ВJС як вписані, що спираються на одну дугу в колі ω.

ВНС = 180º – А ,  ВJС = 90º + ½ А.  Тоді 180º – А = 90º + ½А, звідки А = 60º. Отже, ВНС = ВJС = 120º. Центральний ВОС = 2А = 120º. Таким чином, точки О, J і Н належать колу. З іншого боку, точки О, М, Н належать одній прямі – прямій Ейлера. Отже, точки співпадають. Значить ∆АВС – рівносторонній, а А = В = С = 60º.

Відповідь: 60º.

Підсумки уроку

Вірите чи ні, що якщо кожний день по десять годин тільки переписувати труди Леонардо Ейлера, то не вистачить і сімдесяти шести років?

Так. Зібрання його творів склали 75 великих томи. Про нього говорили, що він «обчислює так, як людина дихає».

 Домашнє завдання

1) Вивчити зміст засвоєних на уроці понять.

2) За бажанням підготувати доповідь про Леонарда Ейлера ( цікаві факти )