Індивідуальні завдання з алгебри для учнів з низьким рівнем знань

Індивідуальні завдання для учнів  7 класу

Многочлени

Многочленом називається сума кількох одночленів.

Записувати члени многочленів можна в різній послідовності.

Многочлен , кожний член якого записаний у стандартному вигляді та не має собі подібних, називають стандартним.

Записати суму одночленів 1) 4а  і 0,9b;   4а + 0,9b,

1. -4а² і 2m; -4а² + 2m,
2. -3,5m2 і   5,4а;
3. 7,5а і -n;
4. 5,4а і 0,9b.

 

Підкресли подібні члени многочлена

11а2 +4ав - 9а2-2ав;

3ав   +  8ав +3а² – 2в²,

0,8х³ -5х² +6х² -0,3х³,

3ху – 2а²в  + 5ху – 5а²в.

Звести подібні члени многочлена

1)18а – 15а = 3а;                                   4) 17m -14m =

2) -12b + 5b = -7b;                                5) -24а + 20а =

3) 14а²  - 29а²  = -15а²;                          6) 12n² -25n² =

 

 

 

Додавання і віднімання многочленів

 Щоб додати многочлени, достатньо записати їх суму,   розкрити дужки і звести подібні доданки

 Зразок:

Додати многочлени: 4х² + 9х – 2  і -7х² -12х +8,

(4х² + 9х – 2) + (-7х² -12х +8) = 4х² + 9х – 2 -  7х² -12х +8 =

 -3х²-3х-4.

Виконай додавання многочленів

1. 2а +3в і 4а – 5в;
2. 4х + 4х² -13 і 2х +13;
3. 7х + 2у -5 і 5х – 4у ;
4. 7а – 8в + 6с і 8а - 5в + 4с;

Щоб відняти многочлени, достатньо записати їх різницю,   розкрити дужки і звести подібні доданки

 Зразок:

Від многочлена 2х³ + 9х² - 3х +12 відніми многочлен

 х³ - 3х² + 7х – 9.

(2х³ + 9х² - 3х +12) – ( х³ - 3х² + 7х – 9)  =  2х³ + 9х² - 3х +12 –  х³ + 3х²  - 7х + 9  =  х³ + 12х² - 10х + 21

Виконай віднімання многочленів

1. 2а +3в і 4а – 5в;
2. 4х + 4х² -13 і 2х +13;
3. 7х + 2у -5 і 5х – 4у ;
4. 7а – 8в + 6с і 8а - 5в + 4с;

 

  Множення одночлена на многочлен

Щоб помножити одночлен на многочлен, потрібно одночлен помножити на кожен член многочлена й одержані добутки додати .

Помножимо одночлен 2в² на многочлен 3в³ - 2в + 1

Зразок

2в²  ∙  (3в³ - 2в + 1) = 2в²  ∙  3в³ + 2в² ∙ ( - 2в)+ 2в² ∙1 = 6в⁵ – 4в³ + 2в² ;

-3а ( а³ + а – 5) =(-3а) ∙ а³  +(-3а)∙а  + (-3а)∙(-5) = -3а⁴ -3а² +15а.

Виконай множення:

1. х(а +в);
2. –у (m– n);
3. -3b³(b– 4b²);
4. (8а² – 4а +16)∙ 0,25;
5. -4х( х⁴ –х² – 8).        

Множення многочлена на многочлен

     Щоб помножити многочлен на многочлен , досить кожний член одного многочлена  помножити на кожний член іншого многочлена і знайдені добутки додати.

Зразок

  а) (т + п) (а - 2) = ma -2m + na -2n;      

  б) (3 - а) (Ь + с - 5) = 3b +3c -15 –ab –ac + 5a;

 в) (4m -n + 1) (х - 2у) = 4mx -8my –nx +2ny +x -2y;

 г) (7а – 3b) (2а - 5с) = 14a² -35ac -6ab +15bc.

Виконай за зразком множення многочленів

а) (х - 2) (2х + 1);      

 б) (За - 1) (а² + а - 2);    

 в) (5 - Зу) (у² + Зу - 4);

 г) (b² + 4b) (7b - 1).   '                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

     Формули  скороченого множення 

Різниця квадратів двох виразів

                          (а – b) ( а + b) = а² -  b²

Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів

Зразок

а) (а + 4) (а - 4) = а² - 16;                                                                                                                                                        б) (3 - b) (b + 3) = 9 – b²

в) (5т - 2n) (5т + 2n) = 25m² - 2n²                                                                                                                                                                            г) (7а + b)(b - 7а) = b²- 49а²;

д)(- 9х - у)(- у + 9х) =(81х ²- у²);                                                                                                                                                е)(х⁵у²  - а³)(а³+х⁵у²) =х¹⁰у⁴ – а⁶.

Виконай множення використовуючи формулу різниці квадратів:

 

1. (3 –х)(3 +х);
2. (7а +b)(b- 7а);
3. (2х – у) (2х +у);
4. (0,5m -10n) (0,5m + 10n);
5. (-7х  - у )(7х – у);
6. (5а -3b)(5а +3b).

 

 

 

 

 

 

Квадрат суми двох виразів

Квадрат суми двох виразів  дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів і  плюс квадрат другого виразу

 ( а + b)² = а² +2аb +b² 

Зразок 

( 4 + х)² = 4² + 2∙4∙х + х² = 16 +8х +х²;

(у + 6)² = у² + 2∙у∙ 6 + 6² = у² +12у +36;

(3а +5)² = (3а)² +2∙ 3а∙5 +5² = 9а² +30а +25;

(0,2а + 0,3b)² = (0,2а)² +2∙0,2а∙0,3b + (0,3в)² =0,04а² +0,12аb +0,09b².

Піднеси до квадрата за зразком

1. (у + 5)²;
2. ( 2m +4)²;
3. ( х + 6) ²;
4. ( 0,5а + 2b) ²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадрат різниці двох виразів

Квадрат різниці  двох виразів  дорівнює квадрату першого виразу

 мінус подвоєний добуток цих виразів і  плюс квадрат другого виразу

 ( а - b)² = а² - 2аb +b² 

Зразок

 ( х – 5)² = х² -2∙ х∙5 +5² ==х² -10х +25;

( 8 – n)² = 8² – 2∙8∙n +n² =64 -16n +n²;

(2х – 3у)² =( 2х)² -2∙2х∙3у +(3у)² =4х² -12ху + 9у².

Піднеси до квадрата за зразком

1. (7 – а)² ;
2. ( 5а – 2х)²;
3. (х - 2у)²;
4. (0,3а - 0,4b)².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лінійне рівняння з однією змінною

Рівняння виду ах = b, де а і b – довільні дійсні числа, називаємо лінійним рівнянням з однією змінною.

 Основні  властивості рівнянь:

а) Будь - який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

б) Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля.

в) Рівняння називаються рівносильними, якщо  вони мають однакові корені.

Алгоритм розв’язування рівняння

1. Перенеси доданки ,  які містять невідоме, у ліву частину рівняння, а відомі у праву  частину змінивши їхні знаки на протилежні.
2. Виконай додавання подібних доданків.
3. Поділи ліву і праву частини рівняння на коефіцієнт при невідомому, якщо він не дорівнює нулю.

Зразок :  1)  8х -3= 5х +6;                               2) х – 7 + 8х = 9х - 3 - 4х;

                    8х - 5х = 6 + 3;                                 х + 8х - 9х + 4х =-3 +7;

                    3х = 9;                                               4х = 4;

                    х= 9 : 3;                                             х = 4: 4;

                    х = 3.                                                 х = 1.

 

За даними зразками розв’яжи рівняння:

а) 2х – 19 = 7х + 31 ;

б) 11х + 42 – 2х = 100 - 9х - 22;

в) -7,1х + 2,4 = 2,8 - 4,2 -9х;

г) 3х - 20 + 6х – 2 = 8х – 10 +2х.

 

 

 

 

 

 

    

Розв'язування рівнянь, які зводяться до лінійних

       При розв’язуванні рівнянь , які зводяться до лінійних використовуватимемо такий алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Перенести невідомі доданки в ліву частину частину рівняння, відомі   -  у праву, змінивши їх знаки на протилежні.
3. Виконай зведення подібних доданків.
4. Поділи ліву і праву частини рівняння на коефіцієнт при невідомому, якщо він не дорівнює нулю.

Зразок розв’язування рівняння:

1)15(х+2) = 6(2х + 7);                 3) (16 – 3х) – (5х +3) = 12 – (7 + 4х);

    15х + 30 = 12х + 42;                    16 – 3х  - 5х -3 = 12 – 7 - 4х;

    15х – 12х = 42 -30;                       -3х – 5х + 4х = 12 – 7 -16 +3;

    3х = 12;                                          - 4х = - 8;

    х = 12 : 3;                                       х = (-8) : (-4);

    х = 4.                                              х = 2.

2) 10у – 2(7у – 2) = 5(4у + 3) +3у;

    10у – 14у + 4 = 20у + 15 +3у;

    10у - 14у – 3у = 15 – 4;

    -7у = 11;

     у = .

За зразком розв’яжи рівняння:

а) 5(х + 3) = 8( 10 – х);

б) 2(5у – 2) = 3(2у – 1) – 9;

в) 4у – 3(20 – у) = 6у- 7( 11 – у);

г)  (6х -2) – (5 -2х) = - (4х  + 19).

 

 

                  Степінь з натуральним показником

Степенем числа  а з показником n називається добуток  n рівних множників, кожний з яких дорівнює а.                                                                                             

      Записуємо аⁿ  - число а називають основою степеня, число n – показником степеня. Наприклад 6² = 66 =36,  8² = 88 =64, 12² =12 12 =  144,

4³=444=64,2⁵=22222=32,3³= 333=27.

Основою степеня а може бути довільне число

3² =3∙3= 9                                            (-3)² = (-3) (-3) = 9

5³ = 5∙5∙5= 125                                   (-5)³= (-5) (-5) (-5)  = -125

3⁴ = 3∙3∙3∙3 =81                                   (-3)⁴ =(-3) (-3) (-3) (-3) =81

0,3² = 0,3∙ 0,3 = 0,09                        (- 0,3)² = (-0,3) (-0,3) = 0,09  

Згадаємо: парний степінь від’ємного числа – число додатне, непарний степінь від’ємного числа – число від’ємне.

Запиши  добутки  у вигляді степеня

а∙а∙а∙а∙а∙а∙а∙а;   5∙5∙5∙5∙5∙5∙5;   3∙3∙3∙3∙3∙3;   у∙у∙у∙у∙у;   0,2∙0,2∙0,2∙0,2∙0,2

Обчисли : 2⁴;  (0,6)²  ;( -5)²  ;  3²  ;4³ ;  0,1³ ;

(- 2)⁴;  (-0,6)²  ; 5²  ;  (-3)²  ; (-4)³ ; (- 0,1)³ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Властивості степеня  з  натуральним показником

Примноженні степенів з однаковою основою показники додаємо,а основу залишаємо ту саму.

                      а^m∙аⁿ = а^m+n

Зразок  1) 3^2∙3³ = 3 ²⁺³= 3⁵ ;     2) 5⁹ ∙ 5⁸ ∙5²=5 ⁹⁺⁸⁺²=5¹⁹ ;  3) с⁷ с⁴ с = с ⁷⁺⁴⁺¹                

4)х^{4 ∙}х2 = х ⁴⁺²=х⁶;   5) 0,2 ⁴ ∙ 0,2³ = 0,2 ⁴⁺³ = 0,2 ⁷

Виконай  множення степенів за зразком   1) 2³ ∙2⁴; 2) 5⁷∙5⁴∙5²;  3) 8²∙8⁴∙8;         4)х² ∙х³; 5)а⁶∙ а⁴∙а² ;  6) 0,3²∙0,3⁴.

При діленні степенів з однаковою основою показники віднімаємо, а основу залишаємо ту ж саму

                      а^m:аⁿ = а^{m - n}

Зразок  1) 3^5:3³ = 3 ^5-3= 3² ;     2) 5⁹  : 5⁵ : 5²= 5 ^9-5-2 = 5² ;  3) с⁸ :с³: с = с ^8-3-1                

4)х^{4 ∙}:х² = х ^4-2=х²;   5) 0,2 ⁵ : 0,2³ = 0,2 ^5-3 = 0,2²

 Виконай ділення степенів 1)7¹²: 7⁵; 2)3¹⁶: 3⁸;  3)37⁸:37⁷ ;   4) а⁹: а⁵;                    5) х¹⁴: х⁶: х;  6) 1,2⁹:1,2⁵                                                                                                        

При піднесенні степеня до іншого степеня показники степенів перемножуємо, а основу залишаємо ту ж саму.

                      (а^m)ⁿ =а^m∙n

Зразок   1) (а⁵)³ = а^5∙3 = а¹⁵;  2) ( -х³)⁴ = - х ^3∙4 =  -х¹² = х¹²; 

3) ( 9²)⁵ = 9 ^2∙5 =9¹⁰;   4) (0,2⁴)⁶ = 0,2^4∙6 =0,2²⁴.

Виконай піднесення до степеня за зразком

1. (7⁸)² ;  2) ( а⁵)³;    3) (у⁴)⁵;  4) (0,5⁷) ⁴; 5)  (-а⁵)⁴;  6)   (а¹⁰)³.

 

 

 

 

При піднесенні добутку  до  степеня підносимо до цього степеня кожний співмножник.

                        (аb)^m = а^m ∙ b^m

Зразок (ав)⁸ =а⁸в⁸;  (2х)⁵ =2⁵х⁵ ;  (аху)¹⁰ = а¹⁰х¹⁰у¹⁰;

= p⁵n⁵

Виконай піднесення добутку до степеня за зразком

(ау)⁶ ;  (5х)² ;  (авс)¹²; ( 0,4ха )⁷

При піднесенні дробу до степеня чисельник і знаменник підносимо до того самого степеня.

                             =

Зразок  = ;   = ;

Виконай піднесення дробу до степеня за зразком

,  ,, .