Інші способи побудови правильного п’ятикутника та семикутника за допомогою циркуля і лінійки.

Про матеріал

Перегляд файлу

Інші способи побудови правильного п’ятикутника та семикутника за допомогою циркуля і лінійки.

1-й спосіб

Нехай О – центр кола, а АВ- сторона десятикутника, вписаного в це коло. Радіус кола приймемо за 1.

ОА=ОВ=1. ,

тоді ∠ОАВ=

ВС – бісектриса , тоді в ∆АВС: .

∆ОАВ, звідси .

Нехай АВ=х, тоді ОС=СВ=х, а АС=1-х. Маємо:

(1) х²+х-1=0

х=а₁₀=.

Від’ємне значення кореня нас не задовольняє.

Побудову відрізка а₁₀виконуємо так.

Будуємо точку С, яка є серединою радіуса ОА. АВ – діаметр кола. Проведемо ОD. Радіусом CD з центром у точці С будуємо коло, яке перетне діаметр у точці Е.

З ∆ СОD (∠О = 90° ): CD=; тоді ОЕ = а_10.

Побудувавши вершини правильного десятикутника і сполучивши їх через одну, дістанемо правильний п’ятикутник. Сторона а₅=2h (див. Рис.1)

S _{∆ ОАВ}=;

і (за формулою Герона)

S _{∆ ОАВ}=,

Маємо а₅=х, тоді

З рівності (1) х²=1-х або х=1-х², або х²=1-2х²+х⁴.

Звідси х²-х⁴=1-2х², або 4х²-х⁴=1+х² (2)

З ∆ODE (Рис.2) DE²=OD²+OE²=1+, тому відрізок DE є стороною правильного п’ятикутника.

2-й спосіб

Розглянемо рівняння

, х=.

Корінь n-го степеня з 1 обчислюють за формулою

, (1)

де к=0; 1; 2;…; n-1, тому

, (1)

к=0; 1; 2; 3; 4.

Проте

тоді (2)

Корені цього рівняння знайдемо за рівністю (1) при к=1; 2; 3; 4.

;

Нехай ;

;

=-2 (3)

Оскільки – сума коренів рівняння (2), то за теоремою Вієта (для рівняння 4-го степеня) .

Знайдемо

Врахувавши рівність (3) бачимо, що .

Отже числа є коренями рівняння t²+t-1=0

;

, тому його відкинемо.

У 1-му способі .

Бачимо, що довжина сторони правильного 10-кутнкадорівнює сумі двох коренів рівняння

. (Крім х₀=1)

Такий спосіб побудови виконав німецький математик Карл Фрідріх Гаусс, проте корені рівняння (2) він записав у вигляді

, ; ; або

(Оскільки , то , ).

Побудова правильного 7-кутника.

І спосіб

Якщо R-радіус кола, то сторона 7-кутника знайдемо по формулі

;

Функцію розкладемо в ряд Маклорена

;

Якщо R=1, то (1)

ІІ спосіб

Будуємо 2-а взаємно перпендикулярних діаметра АВ і СD. Діаметр АВ точками 1; 2; 3; 4; 5; 6 ділимо на 7 рівних частин. Будуємо коло з центром у точці А і радіусом АВ, яке перетне пряму CD у точках E i F. Через точки 1; 3; 5 будуємо промені з початками у точках E i F, які перетнуть коло, відповідно в точках А₁, А₂ і А₃ та в точках А₄, А₅ і А₆. Коло точками А₁, А₂ , А₃, В, А₄, А₅ , А₆ поділимось на 7 рівних частин. Знайдемо довжину сторони 7-куутника (R=1)