Кейс "Прогресії. Застосування"

Р. Фейман: «Наш обмежений розум для зручності поділяє цей світ на частини: фізику, біологію, геологію, астрономію, психологію тощо, але ж природа насправді ніякого поділу не знає!»К. Ушинський: «Ніщо не може бути важливішим у світі, ніж уміння бачити предмет з усіх боків і серед тих відносин, у які він поставлений». Я. А. Каменський:«Усі знання виростають з одного коріння – з навколишньої дійсності, а тому й повинні вивчатися у зв’язках».

Як називається графік квадратичної функції? 2. Математичне твердження, справедливість якого доводять. 3. Упорядкована пара чисел, що задає положення точки на площині. 4. Порядок дій, внаслідок виконання яких отримуєш результат. 5. Лінія на площині, що задається рівнянням у=кх+b. 6. Числовий проміжок. 7. Результат додавання. 8. Математичне твердження, прийняте без доказу. 9. Наука, що виникла з далекої давнини у Вавилоні і Єгипті, а учні починають її вивчати з 7 класу. Кросворд

        1     2         3     4       5        6        7        8   9       

        парабола     теорема          координати      алгоритм         пряма         інтервал           сума         аксіома    геометрія       

Числові послідовності. Арифметична та геометрична прогресії. Застосування

Арифметична прогресія Означення. Геометрична прогресія𝒂𝟏=𝒂, 𝒂𝒏+𝟏=𝒂𝒏 +d. Рекурентна формула𝒃𝟏=b, 𝒃𝒏+𝟏=𝒃𝒏∙𝒒𝒂𝒏=𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏+𝟏𝟐 Характеристична властивість𝒃𝒏𝟐=𝒃𝒏−𝟏∙𝒃𝒏+𝟏𝒂𝒏 =𝒂𝟏 +d(n-1)Формула n - ого члена𝒃𝒏=𝒃𝟏∙𝒒𝒏−𝟏𝑺𝒏 = 𝟐𝒂𝟏 +𝒅(𝒏−𝟏)𝟐∙𝒏,𝑺𝒏 =𝒂𝟏+𝒂𝒏𝟐∙𝒏Формула суми n перших членів𝑺𝒏=𝒃𝟏 (𝒒𝒏−𝟏)𝒒−𝟏 Формула суми всіх членів геометричної прогресії (|q| <1)S = 𝒃𝟏𝟏−𝒒Арифметична прогресія Означення. Геометрична прогресія. Рекурентна формула. Характеристична властивість. Формула n - ого члена. Формула суми n перших членів Формула суми всіх членів геометричної прогресії (|q| <1)

Прогресія — наче процесія, бо члени — один за одним… А ще вона, наче поезія — із періодичністю рим. А ще вона — наче дорога, упорядкована множина — пряма і довершено строга. Хоч є і у ній двоїна: буває звичайна регресія, а вчитель говорить: «Прогресія», додаючи: «Спадна»… Г. П. Бевз

Із історії поняття Аніцій Боецій (V–VІ ст.) — римський державний діяч, філософ, математик, теоретик музики, автор багатьох філософських та наукових праць. англійський математик Дж. Валліс застосовує для нескінченних рядів термін «нескінченні прогресії». Приклади числових послідовностей, відомих у давнину: 1) послідовність натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …; 2) послідовність парних чисел: 2, 4, 6, 8, 10,…; 3) послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …; 4) послідовність квадратів натуральних чисел: 1, 4, 9, 16, 25, …; 5) послідовність простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, … Кількість членів кожного з цих рядів є нескінченною.

Стародавня Греція. В V ст до н.е. греки знали прогресії і їх суми: 1 +2 +3 + ... + n = 2 +4 +6 + ... +2 n = n • ( n +1). Деякі формули, що відносяться до прогресій, були відомі китайським і індійським вченим (V ст.). У клинописних табличках вавилонян ІІ тисячоліття до нашої ери зустрічаються приклади арифметичних і геометричних прогресій. Вважалось, що в давньоєгипетському папірусі Ахмеса перебувала найдавніша задача на прогресії про винагороду винахідника шахів, що нараховує за собою двохтисячорічну давнину. Але є набагато більш стара задача про ділення хліба, яка записана в знаменитому єгипетському папірусі Ринда. Папірус цей, складений близько 2000 років до нашої ери і є списаним з іншого, ще більш прадавнього математичного твору, що відноситься, можливо, до ІІІ тисячоріччя до нашої ери.

Задача з папірусу Ринда Сто мір хліба розділили між 5 людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше першого, на скільки третій одержав більше другого, четвертий більше третього й п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших одержали в 7 разів менше трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?Розв'язок задачі: Зрозуміло, що кількість хліба, яку отримав кожен з учасників розділу, становить зростаючу арифметичну прогресію. Нехай перший її член x, різниця y. Тоді:

Приклад єгипетської задачі з папірусу Ахмеса Задача. «Нехай тобі сказане: розділити 10 мір ячменя між 10 людьми так, щоб різниця мір ячменя, отриманого кожною людиною і його сусідом, дорівнювала 1/8 міри». Розв’язуючи цю й інші аналогічні задачі, єгиптяни, напевно, користувались правилом, яке в сучасному вигляді можна записати так: a =S/n −(n −1)* d /2. Воно еквівалентне нашій формулі S =((a +b)*n)/2 . Походження цього правила невстановлено: воно, ймовірно, має емпіричний характер.

Задача-легендаІндійський цар Шерам запросив до себе винахідника шахів Сету, щоб нагородити його за дотепну вигадку. Сета, знущаючись над царем, зажадав за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зернятко, за другу — 2 зернини, за третю — 4 зернини тощо. З’ясувалося, що цар не був у змозі виконати це «скромне» бажання Сети».

У цій задачі йдеться про підсумовування геометричної прогресії 1, 2, 22, 23, …, 263. Її сума дорівнює 264−1 =18 446 744 073 709 551 615. Таку кількість зерен пшениці можна зібрати лише з врожаю планети, поверхня якої приблизно в 2000 разів більша за всю поверхню Землі. Підраховано, що кількість зернин приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів. Кількість зерна, розсипана по всій поверхні Землі, утворить покрив, у якому на 1 м2 припадає 4,3 кг зерна. Стільки зерна не було на всій Землі.

У працях Архімеда (бл. 287-212 рр. до н.е.) викладаються перші відомості про прогресії. У «Псамміті» («Обчислення піщинок») Архімед уперше зіставив арифметичну і геометричну прогресії: 12345...10102103104105...і вказав на зв’язок між ними, наприклад, 103*105=103+5 =108, тобто для множення двох членів геометричної прогресії досить додати відповідні члени арифметичної прогресії і взяти в добуту суму за показник 10.

У «Началах» Евкліда є теорема, яка по суті еквівалентна знайомій нам формулі для обчислення суми членів геометричної прогресії: Sn = (a1*(1-qn))/( 1−q). Піфагор та його учні виділяли з натурального ряду послідовності трикутних, квадратних, п’ятикутних чисел та встановили багато цікавих залежностей.

Фігурні числа. Колись в давнину люди рахували за допомогою камінців, при цьому звернули увагу, що їх можна викладати в один ряд: 1,2,3,… Якщо ж класти в два ряди, то отримували числа, які ділились на два, тобто парні числа, якщо класти в три ряди, то числа будуть ділитись на три. Можна складати камінці рядами і тоді вони утворюють прямокутники, і тільки прості числа не можуть бути «прямокутними». А якщо складати трикутник? Трикутник отримується з трьох камінців: два в нижньому ряду і один зверху. Камінець – це також трикутник. Отримаємо послідовність чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 і т. д. Тобто, фігурні числа – це загальна назва чисел, геометрична уява яких пов’язана с тією чи іншою геометричною фігурою.

Трикутне число — число кружків, які можуть бути вписані у формі рівностороннього трикутника, Послідовність трикутних чисел для n = 1, 2, … починається так:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

Квадратні числа: (квадратні числа 1,4,9,16,25, …)Tn = n2 П’ятикутні числа: (п’ятикутні числа 1,5,12,22,35….)𝑻𝒏 = 𝒏∙(𝟑𝒏−𝟏)𝟐  

Леонардо Пізанский (Фібоначчі)Задача Фібоначчі. Хтось помістив пару кроликів в якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів приводить на світ іншу пару, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.«Задача про розмноження кроликів», привела до відкриття числової послідовності 0, 1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ... , іменованої згодом «числами Фібоначчі» , де кожний наступний член дорівнює сумі двох попередніх. Для цієї послідовності є і рекурентна формула: an+2 =an+1 +an

Правило для знаходження суми членів довільної арифметичної прогресії вперше зустрічається в «Книзі абака» (1202) Леонардо Пізанського. За числами Фібоначчі спостерігаємо розташування насіння в голівці соняшника або ромашки. За геометричною прогресією розмножується мак. Одна голівка маку містить близько 3000 зерняток. Скільки буде маків, якщо проростуть усі до одного зернятка і не один рік? Підрахували,що якби всі зернятка маку проростали, то потомство однієї рослини могло б за п’ять років укрити весь суходіл земної кулі густими заростями по дві тисячі рослин на кожному квадратному метрі.

Європейські сторінки. Один цікавий епізод з життя німецького математика К. Ф. Гаусса (1777-1855). Коли йому було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 100». Яким було здивування учителя, коли один з учнів (це був Гаусс) через хвилину вигукнув: «Я вже розв'язав». У зошиті Гаусса було тільки одне число, до того ж, правильне. (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101x50=5050.

«Задача про сім бабусь». Бабці направляються в Рим, кожна має 7 мулів, кожен мул тягне 7 мішків, в кожному мішку знаходиться 7 хлібів, біля кожного хліба лежить 7 ножів, кожен ніж нарізуватиме 7 шматків хліба. Чому дорівнює загальне число усього перерахованого?

В історичному відношенні ця задача цікава тим, що вона тотожна з задачею, яка зустрічалася в папірусі Ринда (Єгипет), тобто через три тисячі років після єгипетських школярів задачу пропонувалося розв’язати італійським школярам.7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 - це геометрична прогресія, перший член b1 = 7 і знаменник прогресії q = 7.bn = b1(qn – 1). b6 = 7*(76-1)= 7*75 = 76 = 117 649. Sn = (b1 (qn -1)) /(q -1); S6 = (7*(76 -1)) /(7-1) = (7*(117 649 -1)) /6 =(7*117648)/6 = 137256

Йшли сім старців. У кожного старця по сім милиць; На кожній милиці по сім сучків;На кожному сучку по сім кошиків;У кожному кошику по сім пирогів;У кожному пирозі по сім горобців. Скільки всього горобців ?Відповідь: 117 649 горобців. Кожен з 7 людей має 7 кішок. Кожна кішка з'їдає по 7 мишок, кожна мишка за одне літо може знищити 7 ячмінних колосків, а із зерен одного колоска може вирости 7 жмень ячмінного зерна. Скільки жмень зерна щорічно рятується завдяки кішкам? Відповідь: 16807 жмень.

Сторінки Російської історії Перший підручник «Арифметика» Магницького (кінець 18 ст). У цьому підручнику є значна кількість задач на прогресії. «Хтось продавав коня. Просив за нього 25 рублів. Купець, що побажав купити, обурився, що дорого. «Добре, - відповів продавець. Бери коня даром, а заплати тільки за цвяхи на його підковах. А цвяхів у всякій підкові 6 штук. І будеш ти мені платити за них у такий спосіб: за перший цвях 10 копійок, за другий цвях 20 копійок, за третій – 30 копійок і т.д.». Купець же, думаючи, що заплатить набагато менше, ніж 25 рублів, погодився. Чи проторгувався купець, і якщо так, то на скільки?”

Про сільські чутки... У селі 16 000 жителів. Приїжджий в село о 8.00 розповідає новину трьом жителям в будинку, де поселився. Це зайняло 15 хвилин, тобто о 8.15 новина була відома чотирьом людям: приїжджому та трьом мешканцям села. Кожен з трьох громадян розповідає новину вже трьом своїм сусідам. На це витрачається 15 хвилин. Якщо чутка поширюється таким чином, то скільки треба часу, щоб новину знало все село? Відповідь: о 10.00 – 9 841 особа, менше, ніж за 15 хвилин потому знатиме все село

Магічні квадрати«Цікава властивість арифметичної прогресії». Дана «зграйка дев'яти чисел»:3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Вона являє собою арифметичну прогресію. Крім того, дана зграйка чисел приваблива здатністю розміститися в дев'яти клітках квадрата 3х3 так, що утворюється магічний квадрат з константою, рівної 33.91957111517313 Справа в тому, що з кожних дев'яти послідовних членів будь-якої арифметичної прогресії натуральних чисел можна скласти магічний квадрат.

Члени арифметичної прогресії дають можливість швидко утворити магічні квадрати або на сумах, або на добутках.  Наводимо  два  довільних  магічних  квадрати 3х3 на сумах, що утворюються з 9-ти членів деякої арифметичної прогресії: Р4=а + 3d. Р9=а + 8d. Р2=а + d. Р3=а + 2d. Р5=а + 4d. Р7=а + 6d. Р8=а + 7d. Р1=а. Р6=а + 5d. С4=n + 3m. С9=n + 8m. С2=n + m. С3=n+ 2m. С5=n + 4m. С7=n + 6m. С8=n + 7m. С1=n. С6=n + 5m

Числа {a, d, n, m} – натуральні. Перетворимо ці магічні квадрати деяким чином і утворимо магічні квадрати на добутках. Вважатимемо, що число у кожній клітинці першого магічного квадрату на сумах є показником степені з основою р і число у кожній клітинці другого магічного квадрату є показником степені з основою g. Отримаємо нові магічні квадрати на добутках, для яких зникла магічна сума, проте виник магічний добуток:ра + 3dра + 8dра + dра + 2dра + 4dра + 6dра + 7dрара + 5dgn + 3mgn + 8mgn + mgn+ 2mgn + 4mgn + 6mgn + 7mgngn + 5m

Прогресії у фізиціПрогресії виражають закони деяких фізичних явищ. Наприклад, за законом геометричної прогресії здійснюється поділ нейтронів при ядерній ланцюговій реакції.

У фізиці є таке поняття як «рівноприскорений рух». Якщо кажуть, що тіло рухається рівноприскорено, то це означає, що відстань, яку воно проходить за кожну наступну одиницю часу збільшується на одну й ту саму величину. Тоді як при рівномірному русі тіло за кожну одиницю часу проходить однакову відстань. Рух також може бути і рівносповільненим. Відрізки шляху за умовою рівноприскореного руху утворюють арифметичну прогресію. Задача. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Встановити, скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960 м?

Розв’язання. a1=4,9, d=9,8, Sn= 1960; Sn= ((2a1+ d(n−1))/2* n; 1960=((2*4,9+9,8(n−1))/2*n; n=25; Відповідь: 25 с падатиме тіло з висоти 1960 м

Задача 2. Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну – на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля. Розв’язання: a1=15, d=−3, an=0; an= a1+ d(n−1); 0=15−3(n−1); n=6; S6=45 м. Відповідь: гальмівний шлях автомобіля – 45 м. Ця задача застерігає кожного з нас, що треба бути уважним на дорозі.

Задача 3. Один з учнів, викликаний до дошки, має йти від свого місця до дошки по прямій. Перший крок він робить довжиною 1 м, другий 1/2 м, третій 1/4 м і и т. д. так, що довжина наступного кроку в два рази менша довжини попереднього. Чи дійде учень до дошки, якщо відстань місця учня до дошки по прямій 3 м?Розв’язання. Запишемо послідовність чисел: 1, ½, ¼, ..., 1/2n−1,… S n = 3. n=-1/2 Відповідь: учень до дошки не дійде, n =−1/2

Задача 4. Потяг пройшов за першу хвилину 620 м, а за кожну наступну хвилину – на 80 м менше, ніж за попередню. Яку відстань пройшов потяг за восьму хвилину?Розв’язання. a1=620, d=-80 Sn=((2a1+d(n-1)):2)*n. S8=((2*620-80(8-1)):2)*8==(1240-560)*4 S8=2720 Відповідь: 2720 м пройшов потяг за восьму хвилину.

Геометрична прогресія в токарному цеху У 1876 р. академік А. В. Гадолін на підставі точних математичних розрахунків довів, що верстати слід будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють геометричну прогресію.

Застосування геометричної прогресії в машинобудуванніВиявляється, геометрична прогресія відіграє велику роль у машинобудуванні. За законом геометричної прогресії побудовано розмірність металорізальних верстатів та інструментів, встановлено нормальні діаметри і довжини в машинобудуванні. Тому геометрична прогресія становить математичну основу стандартизації різноманітної промислової продукції.

Геометрична прогресія в будівельній справіВ архітектурі, будівельній справі використовуються колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження рівномірності від тиску довжини колони потрібно збільшувати площі її поперечних перерізів. Площі поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного, становлять геометричну прогресію.

Уявіть, що ви - обліковець на будівництві. Привезли велику кількість колод будівельного лісу. Потрібно швидко визначити, скільки колод привезли, щоб закрити наряд водієві. Кількість колод легко підрахувати за допомогою формули суми арифметичної прогресії з різницею, що дорівнює одиниці, якщо колоди укладені так, як показано на малюнку.

Прогресії в астрономіїВ папірусі Ахмеса міститься задача, в якій потрібно знайти суму n членів геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник. Із однієї клинописної таблички можна зробити висновок, що, спостерігаючи за Місяцем від нового місяця до повні, вавилоняни вже знали: в перші 5 днів після нового місяця ріст освітлення місячного диска здійснюється за законом геометричної прогресії зі знаменником 2. В іншій, пізнішій табличці, мова йде про сумування геометричної прогресії: 1 + 2 + 22 + ... + 29.

Розв’язання S = 512 + (512 - 1), дані в табличці наводять на думку, що автор задачі користувався формулою Sn = 2n + (2n - 1), однак про те, як він дійшов до неї, поки що невідомо.

Прогресії в економіці Існує думка, що разом з винаходом колеса створення банку стало одним з найважливіших винаходів людства. Перший банк був заснований у Венеції 1171 року. З то часу банківська система розширюється і вдосконалюється. Комерційні банки виконують дві основні функції: зберігають грошові вклади; надають кредити (позики). Якщо помістити до банку грошовий вклад, то банк виплачує вкладнику деяку суму грошей за те, що користується його капіталом для надання позик. Припустимо, що вкладник помістив у банк 1000 грн. під 5% річних. Це означає, що через один рік розмір вкладу збільшиться на 50 грн. (5% від 1000 грн. дорівнює 0,05 1000 = 50) і складатиме 1050 грн. Наступного року додатково 5% будуть нараховуватись вже від суми 1050 грн, і т. д.

Переконаємося, що розмір вкладу зростає за законом геометричної прогресії. Першим членом цієї прогресії є сума початкового вкладу. Нехай А — деякий початковий вклад, на який нараховується х% річних, звичайним числом 0,01х.b1=А, b2=А + А*0,01х = А*(1+0,01х)Через рік розмір вкладу становитиме А*(1+0,01х) або А*(1+ х/100), q = 1+х/100 b3 =b2 *q = А*(1+х/100)*(1+х/100)=А*(1+х/100)2 і т.і., отримаємо геометричну прогресію. Висновок: За допомогою геометричної прогресії зростає вклад в ощадбанку.

Задача. В яку суму перетвориться 4000 грн., покладених в Ощадний банк на 5 років, якщо вклад щороку збільшуватиметься на 20%? Розв’язання. b1=4000. Через рік розмір вкладу становитиме 4000*(1+0,01*20) або 4000*(1+ 20/100), q = 1+20/100 = 1+1/5. За формулою складних відсотків S=A*(1+p/100)n матимемо 4000*(1+1/5)5, отримаємо 9953,28 грн Відповідь: 9953,28 грн.

Про фінансові піраміди і банківські розрахунки!Розберемося в механізмах цих організацій. Організатор починає залучати до своєї організації і каже, що, якщо внести зазначену плату за вказаними адресами по 1 грн., а потім заплатити ще по 5 тим же адресам, викресливши першу адресу і дописавши свою останньою, то через деякий час ви отримаєте купу грошей. Хоча охочих розбагатіти по щучому велінню чимало, але у виграші виявляються лише засновники такої гри.

Розв’язання. Справа в тому, що число учасників збільшується у 5 разів з кожним колом. Якщо п'ятірка організаторів підпише, припустимо, 120 людей зі своїми адресами, то в першому колі беруть участь 120 осіб, у другому - 600, у третьому - 3000, ... , в десятому - 234375000 осіб; це набагато більше населення країни. Таким чином, учасник, що долучився у восьмому чи дев'ятому колі, вже нічого не отримає.

Прогресії в біологіїВ біології також є явища, які можна охарактеризувати за допомогою прогресій. Одним із таких явищ є розмноження живих організмів. Знаючи такі характеристики організму, як періодичність відтворення та кількість потомства, можна за допомогою прогресій спрогнозувати кількість популяції за певний проміжок часу. В соціологічних науках теорія прогресій дає змогу обчислювати приріст населення. За теорією еволюції Дарвіна, всі процеси, які пов’язані з живими організмами, відбуваються прогресивно або регресивно. Задачі, які пов’язані з розмноженням, поділом клітин розв’язуються з використанням знань про прогресії В повсякденному житті, коли хочуть підкреслити швидке зростання якоїсь величини, кажуть: «зростає в геометричній прогресії».

БактеріїВідомо, що бактерії розмножуються поділом: одна бактерія ділиться на дві; кожна з цих двох в свою чергу теж ділиться на дві, і виходять чотири бактерії; з цих чотирьох в результаті поділу виходять вісім бактерій і т. д. (геометрична прогресія). Результат кожного подвоєння будемо називати поколінням. Здатність до розмноження у бактерій настільки велика, що якби вони не гинули від різних причин, а безперервно розмножувалися, то за три доби загальна маса потомства однієї тільки бактерії могла б скласти 7500 тонн. Такою величезною кількістю бактерій можна було б заповнити близько 375 залізничних вагонів.

Задача 1. Бактерія, якщо вона потрапила до організму людини, до кінця 20 хв ділиться на дві, кожна з них до кінця 20 хв знову ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій утвориться в організмі через добу?Розв’язання. Геометрична прогресія: 1;2;4;8;16;…q=2, час-1 доба. Хвилин у добі 60*24=1440(хв), n=1440:20=72 покоління. За формулою знаходження суми n перших членів геометричної прогресії b1=1, q= 2, Sn=((b1*(qn−1))/( q−1) =(1*(272-1))/(2-1)= 272-1≈272 Відповідь: бактерій 272= 4 722 366 482 869 645 213 695 бактерій. Висновок: Якщо бактерії помістити в сприятливе середовище, то чисельність бактерій швидко зростає, тому кожна людина повинна дотримуватись санітарних норм. «Мийте руки перед їжею!»

4 септильйона722 секстильйонів366 квінтильйонів482 квадрильйонів869 трильйона645 мільярда213 тисячі 695Інтенсивність розмноження бактерій використовують ... в харчовій промисловості (для приготування напоїв, кисломолочних продуктів, при квашенні, солінні та ін), у фармацевтичній промисловості (для створення ліків, вакцин), в сільському господарстві (для приготування силосу, кормів для тварин та ін), в комунальному господарстві та природоохоронних заходах (для очищення стічних вод, ліквідації нафтових плям).

Інфузорії ... Влітку інфузорії розмножуються безстатевим способом діленням навпіл. Скільки буде інфузорій після 15 -го розмноження?Відповідь: b15 = 2 • 214 = 32 768 (геометрична прогресія )Задача 2. Скільки інфузорій було спочатку, якщо після 6-го поділу їх стало 320? Інфузорії туфельки розмножуються поділом на 2 частини Розв’язання. q=2, b7=320, b1-? bn = b1*qn-1, b7= b1*q6, b1 =(b7/q6)=(320/26)=320:64=5 Відповідь: 5 інфузорій було спочатку

Задача 3. Кількість еритроцитів (з розрахунку на 1 мм3) в крові людини становить на рівні моря – 5 млн. Через кожні 600 м підняття вгору їх кількість збільшується на 1 млн. Скільки еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори Еверест (4800м)? Чому це відбувається? Розв’язання. a1=5. d=1 млн, n=4800:600=8, a8= a1+7d, a8=5+7=12 Відповідь: 12 млн. еритроцитів. У зв’язку з розрідженим повітрям в легені повинно більше потрапити кисню, відповідно збільшується кількість еритроцитів. 

Прогресія у природі Мухи. «Потомство пари мух з'їсть мертвого коня так само швидко як лев». Карл Лінней. Дев'яте покоління однієї пари мух наповнило б куб, сторона якого дорівнює 140 км, або ж склало б нитку, якою можна оперезати земну кулю 40 млрд. разів. (приклад геометричної прогресії).

Кульбаба. «Потомство однієї кульбаби за 10 років може покрити простір в 15 разів більший за сушу земної кулі». К. А. Тімірязєв. Задачі: Одна рослина кульбаби займає на землі площу 1 кв. метр і дає на рік близько 100 летючих насінин.а) Скільки кв. км площі покриє все потомство однієї особини кульбаби через 10 років за умови, якщо вона розмножується безперешкодно за геометричною прогресією? Відповідь: 1012 км2 б) Чи вистачить цим рослинам на 11 -й рік місця на поверхні суші земної кулі?Відповідь: ні, бо площа суші = 148 млн км2

Попелиці. Всього за п'ять поколінь, тобто за 1 - 1,5 літніх місяців, одна єдина попелиця може залишити більше 300 млн. нащадків, а за рік її потомство здатне буде покрити поверхню земної кулі шаром товщиною майже в 1 метр. Горобці. Потомство пари птахів завбільшки з горобця при тривалості життя у чотири роки може покрити всю земну кулю за 35 років.

Прогресія у спортіЗадача 1. У змаганні зі стрільби за кожен промах у серії з 25 пострілів стрілець отримував штрафні очки: за перший промах - одне штрафне очко, за кожен наступний - на 0,5 очки більше, ніж за попередній. Скільки разів влучив у ціль стрілок, що отримав 7 штрафних очок?Розв’язання. Система штрафних очок становить арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця - 0,5. Сума перших n членів (кількість промахів) дорівнює 7. Знайдемо число промахів - n.a1=1, d=0,5, Sn= 7; Sn= ((2a1+ d(n−1))/2* n; 7=((2*1+0,5(n−1))/2*n; n=4. Значить, 25-4=21 раз влучив. Відповідь. 21 раз.

Задача 2. Альпіністи в перший день сходження піднялися на висоту 1400 м, а потім кожен наступний день вони проходили  на 100 м менше, ніж у попередній. За скільки днів вони підкорили висоту в 5000 м ?Розв’язання. Складемо математичну модель задачі: 1400, 1300, ... , 1400-100*(n -1). a1 = 1400 ; d = -100 , Sn = 5000. Треба знайти n. Sn= (2a1+ d (n-1))*n/2;5000= (2*1400-100*(n-1))*n/2;            10000= (2800-100n+100)*n;            10000= (2900-100n)*n;                    100 n2-2900n+10000=0;                  n2-29n+100=0;  n=25, n=4.                  Умову  задачі  задовольняє n=4 (при n=25  аn=-1000, але аn>0) Значить, альпіністи покорили висоту за 4 дні. Відповідь: за 4 дні.

Прогресії в літературіАрифметичну прогресію можна зустріти в літературі. Згадаємо віршові розміри: ямб, хорей, дактиль, амфібрахій і анапест. Відмінність між ними в кількості стоп і в різних розташуваннях наголошених складів вірша. Так, згадаємо рядки з «Євгенія Онєгіна».... Не міг він ямба від хорея,Як ми не бились відрізнить ...

Ямб – у силабо-тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на парних складах вірша, тобто наголошеними є 2-й, 4-й, 6-й, 8-й і т.д. склади. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і з різницею, рівною 2: 2, 4, 6, 8, 10… Сад. Ок вишн. Евий к. Оло х. Ати. ХрущІ над в. Ишнями гуд. Уть Т. Г. Шевченко

Ямб – у силабо-тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на парних складах вірша, тобто наголошеними є 2-й, 4-й, 6-й, 8-й і т.д. склади. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з першим членом 2 і з різницею, рівною 2: 2, 4, 6, 8, 10… Сел. О | нен. А | че по | горІ | ло, ˘ / ˘ / ˘ ˘ ˘ / ˘Нен. А | че л. Ю | ди по | дурІ | ли, ˘ / ˘ / ˘ ˘ ˘ /Німі | на п. Ан | щин. У | ід. Уть ˘ ˘ ˘ / ˘/ ˘ /І ді | точ. Ок | своЇх | вед. Уть!.. Т. Г. Шевченко «І виріс я на чужині»

Океан Ельзи – Сосни. Ти в. Ийшла з. Аміж з. А весн. У,ти в. Ийшла з. Аміж з. А весн. У. МенІ лиш. Ила Осінь і з. Апах тв. Оїх с. Осен. U _/ U _/ U _/ U _/U _ /U _ /U _/U _/U _ /U _ /U _ /UU _ /U _/ U _ /U

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}Вишн. Евий цвІт: З вишн. Евих вІт: Вишн. Евий вІтер: Завів. Ає з вІт.  І. Драч «Смерть Шевченка», двостопний ямб подовжений у третьому рядку гіпердактилічною клаузулою. Тристопний ямб: ЗаквІт осІнній с. Ум, осІнній с. Ум заквІт. На вІях я нес. У: гапт. Ований привІт — і л. Юбій принес. У, прох. Атиму: візьм. И;заквІт осІнній с. Ум — заквІтнемо і м. И В. Чумак

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}…Як. Их/ і/щ. Е/ за/зн. А/ю/ к. Ар?Як. И/ми/ н. Ет/ря/м. И/ і/т. И/му: Шля/х. А/ми/ з РИ/му/ І /до/ Кр. И/му: Під/ гв. Алт/ і /кп. И/ни/ Я/ни/ч. Ар? (І. Світличний) Чотиристопний ямб

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}…Мин. Ають днІ, мин. Ає лІто,А УкраЇна, зн. Ай, гор. Ить… «Гайдамаки» 1841 р. Ще діточк. И спов. Иті сп. Али,Ще к. Упіль грІли матерІ… «Марія», 1859 р. О л. Юди! ЛЮди небор. Аки!Нащ. О здал. Ися в. Ам царІ? 1860 р з творів Т. Г. Шевченка

Га/р. Я/чий/ д. Ень — /і /вр. Аз/ дост. Иг/не/ ж. И/тоІ/ до/п'я/нІ/ють/ Об/важ/ні/лі/ гр. О/на. ВІн/ ще/ не/зн. А/ний/, щ. Е/ не/пе/ре/ж. И/тий,Є/д. И/ний/ д. Ень/ — мо/г. О/ жит/т. Я/ ко/р. О/на … Олена Теліга

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}Ста/рІ/ ду/б. И, спа/с. И/бі/ в. Ам /за /О/сінь, за/ від/лі/т. А/ння р. А/до/сті /і /пт. Иць. Ще/, п. Ев/но, Я/ за/т. Ур/ка/на не/ з. Ов/сім, Що/ ч. У/ю ш. Ур/хіт/ кн. Я/жих баг/ря/н. Иць Ліна Костенко. П’ятистопний ямб

Хорей – у силабо- тонічному віршуванні двоскладова стопа з наголосом на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2: 1, 3, 5, 7, 9… БАндур. Исте, Орле с. Изий!ДОбре т. Обі, бр. Ате!МАєш кр. Ила, м. Аєш с. Илу;Є-кол. И літ. Ати Т. Г. Шевченко «Н. Маркевичу»Прогресія : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ...

Плач Єремії – Вона. ЗАвтра пр. Ийде д. О кімн. Ати тв. Оїх др. Узів небаг. Ато, ВИп’єте – хол. Одного вин. А. Хт. Ось прин. Есе бІлі Айстри, ск. Аже хт. Ось: “житт. Я прекр. Асне”. ТАк, житт. Я – прекр. Асне, А вон. А…_ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/_ U/ U U/_ U/ U U/ _ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _ U/_ U/ _ U/ _ U/ _ U/ _

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}ДОщ/ по/л. Ив/, і /д. Ень/ та/к. Ий/ по/л. И/в’я/ний/, Вс. Е/ бли/щ. Ить/, і/ л. Ю/ди/ як/ но/вІ/. ЛИш/ ді/д. Ок/ ста/р. Е/сень/кий/, кро/п. И/в’я/ний/, Бл. Ис/кав/ки/ ви/зб. И/ру/є/ в тра/вІ/. Ліна Костенко П’ятистопний хорей

Дактиль – у силабо-тонічному віршуванні трискладова стопа з наголосом на першому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 3: 1, 4, 7, 10… {C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}В р. Ай/ду/гу/ ч. Ай/ка/ ле/тІ/ла/. Хм. А/ра/ спли/в. А/ла/ на/ схІд/. МО/же/ б, і/ т. И/ за/хо/тІ/ла/ ЧАй/ці/ по/д. А/ти/ся/ вслІд/? СОн/це/ на/ з. А/хо/ді/ вп. А/ло/. РАй/ду/га/ зг. Ас/ла/ в ім/лІ/. ТЕм/но/ і х. О/лод/но/ ст. А/ло/ НА/ не/спо/кІй/ній/ зем/лІ/... Л. Первомайський Тристопний дактиль

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82} Тартак – Наше літо. СОнце печ. Е, рІчка теч. ЕВлІтку на в. Улиці т. Ак гаряч. ЕСОнце пече, рІчка теч. Е,ВлІтку на в. Улиці т. Ак гаряч. Е._ U U/ _ _ U/ U __ U U/ _ U U/ _ U U/ __ U U/ _ _ U/ U __ U U/ _ U U/ _ U U/ _

Амфібрахій – у силабо- тонічному віршуванні трискладова стопа з наголосом на другому (середньому) складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 2, а різниця дорівнює 3: {C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82} Океан Ельзи – Все буде добреІ І вс. Е б. Уде д. Обре. Для к. Ожного з н. Ас.І вс. Е буде д. Обре,Наст. Ане наш час. U _ _/ U _ U U _ U/ U _U _ _/ U _ U U _ U/ U _ 

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}Про/свІ/че/ний/ с. Он/цем/, на/ вІт/рі/, в зе/л. Е/нім/ ог/нІ/ Він/ л. Ис/тя/ різьб/л. Е/не/, об/т. Я/же/не/ р. О/са/ми/, с. У/шить/. Хай/ л. Ом/лять/ся/ г. О/ри/, хай/ гр. О/зи/ ре/вуть/ в ви/ши/нІ/, — Він/ т. Ут/ вко/рі/н. Ив/ся/, він/ т. Ут/ ук/рі/п. Ив/ся/ й не/ р. У/шить… (М. Бажан «На Карпатських узгір'ях») П’ятистопний амфібрахій

Анапест – у силабо-тонічному віршуванні трискладова стопа з наголосом на третьому складі. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 3 і різниця також дорівнює 3: 3, 6, 9, 12… {C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82} Друга ріка – Відчиняй. Відчин. Яй я сто. Ю на пор. ОзіЯ вже т. Ут, я вже д. Ома, привІт. Не пит. Ай де я б. Ув позавч. Ора. Вч. Ора вранці, сьог. Одні, торІк. U U _/ U U _/ U U _/ UU U _/ U U _/ U U _U U _/ U U _/ U U _/ U_ U _/ U U _/ U U _

{C083 E6 E3-FA7 D-4 D7 B-A595-EF9225 AFEA82}На/ го/рІ/ ні/би/ снІ/гом/ бі/лІ/є/ дав/н. Ез/ний/ со/б. Ор/, Що/ скли/к. А/є/ всі/ вІр/ні/ сер/ц. Я/ ве/чо/р. А/ми/ і/ зр. Ан/ку/. Дав/ня/ р. А/ту/ша/ в з. Ем/лю/ врос/т. А/є/, не/м. Ов/ му/хо/м. Ор/, Си/вий/ м. Ай/стер/ в льош/к. У/ за/мов/л. Я/є/ ви/н. А/ фі/лі/ж. Ан/ку/… (М. Рильський) П’ятистопний анапест

В побутіЗадача 1. Курс повітряних ванн починають із 15 хв. у перший день і збільшують час цієї процедури в кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їхньої максимальної тривалості 1 година 45 хвилин? Розв’язання: арифметична прогресія, а1=15 хв, d=10 хв,an=1година 45 хвилин = 105 хвилин. Знайти: nan=a1+d(n-1) 15+10(n-1)=105 10n=100 n=10 Відповідь: 10 днів слід приймати ванни.

Задача 2. Пані здавала в багаж: Диван - … кг. Валіза – 21 кг,Саквояж - … кг,Картина – 18 кг,Корзина - … кг,Картонка - … кг. Маленький песик - … кг. Знайти вагу багажу, якщо вага речей складає арифметичну прогресію

Задача 3. Робітник виклав плитку в такий спосіб: у першому ряду - 3 плитки, у другому - 5 плиток і т.д., збільшуючи кожний ряд на 2 плитки. Скільки плиток знадобитися для 7 ряду? Розв'язок: a1=3, d=2, a7 -?a7=a1+6*d=3+2*6=15 плиток

Задача 4. У період інтенсивного зростання людина росте в середньому на 5 см у рік. Зараз зріст Олексія – 170 см. Якого росту він буде в 2026 році?

Задача 5. Кожний курець викурює в день у середньому 8 сигарет. Після викурювання першої сигарети в легенях осідає 0,0002 г. нікотину й тютюнового дьогтю. З кожною наступною сигаретою ця кількість збільшується на 0,000001 г. Яка кількість шкідливих речовин осідає в легенях за рік? Відповідь: 4,846 г.

Які з послідовностей є арифметичними прогресіями: а) 2; 2;2;….; б) -20;-17;-14;-11;…; в) г) Записати перші чотири члени арифметичної прогресії, якщо: а) аn = 2 n + 3; б) аn = 5 -2 n ;Знайти невідомі члени арифметичної прогресії: (аn) : а1; 2,2; а3; 3.2 Бліц - опитування

Які з послідовностей є арифметичними прогресіями: а) 2; 2;2;….; -так, d=0. б) -20;-17;-14;-11;…; -так, d=3. в) г) Записати перші чотири члени арифметичної прогресії, якщо: а) аn = 2 n + 3; 5;7;9;11;… б) аn = 5 -2 n ; 3; 1; -1;-3;…Знайти невідомі члени арифметичної прогресії: (аn) : а1; 2,2; а3; 3.2 а1 = 1,7; а3 = 2,7. Відповіді: -ні. -так, d=

Заповнити таблицю:№а1dаnnsn112810210-283-3-11543-18-605132861566013145-4242-25-38101455

Нестандартна задача. Обчислити: 100² - 99² + 98² - 97² + … + 2² - 1².

Дякую за увагу!