Комбінації геометричних тіл

Урок геометрії у 11 класі

на тему « Комбінації геометричних тіл»

 

Мета уроку:

Навчальна: Ознайомити з комбінаціями геометричних тіл. Формувати  вміння розв’язувати задачі на комбінації геометричних тіл. Застосувати  набуті знання до розв’язування задач у нестандартних ситуаціях

Розвивальна: Розвивати вміння працювати з додатковою і довідковою літературою. Сприяти активізації розумової діяльності учнів, виникненню внутрішніх мотивів навчання. Розвивати бажання застосовувати набуті знання, вміння та навички для досягнення поставленої мети.

Виховна: Прищеплювати любов до математики.

Тип: комбінований

Обладнання: комп’ютер, мультимедійний проектор, СМАРТ-дошка, презентація до уроку, повідомлення учнів.

Засоби навчання: ІКТ(обумовлено необхідністю унаочнення навчального матеріалу, використання віртуального креслярського обладнання, побудова тіл у просторі, стало доступним перетворювальна діяльність з об’єктами вивчення)

Методи навчання: демонстраційний, евристичний, пошуковий, інструктивний.

Хід уроку:

Геометрія…. дає нам змогу правильно

мислити і  розмірковувати.

Галілео Галілей

І Організаційний етап.

ІІ Повідомлення теми і мети уроку.

Почнемо урок з епіграфа: «Геометрія…. дає нам змогу правильно мислити і  розмірковувати».  Галілео Галілей

Яку тему ми будемо сьогодні вивчати?

                Розгадайте ребус.

 

 

 

 

 

 

 

ІІІ Мотивація навчальної діяльності

 Досі ми розглядали властивості найпростіших геометричних тіл. Які тіла ми раніше вивчали?(призми, піраміди, циліндри, конуси, кулі) Але багатьом спеціалістам часто доводиться мати справу зі складнішими тілами , які є різними комбінаціями(об’єднання ) названих тіл.Наприклад на малюнку зображена деталь, яка складається з різних конфігурацій геометричних тіл

 

Люди яких професій зустрічаються з подібними деталями?(ливарники, формувальники, фрезерувальники,електрозварники, токарі,слюсарі та інші)

 Розв’язування задач на комбінації тіл – як найбільш цікаві так і найбільш складні серед задач всього курсу геометрії. При розв’язуванні таких задач потрібно не тільки знати властивості кожної із фігур, але і добре уявляти взаємне розташування їх у просторі, вміти виконувати відповідні обґрунтування та доведення співвідношень між елементами фігур комбінації.

ІV Актуалізація опорних знань

 Перед тим як приступити до розгляду комбінованих задач повторимо деякі означення та факти.

1. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло? ( так)
2. Де лежить центр описаного кола навколо трикутника?( Центр описаного кола – точка перетину серединних перпендикулярів)
3. Опишіть коло навколо трикутника. ( робота на мультимедійній дошці)
4. У який трикутник можна вписати коло?( У довільний трикутник можна вписати коло)
5. Де лежить центр вписаного в трикутник кола? ( Центр вписаного кола – точка перетину бісектрис)
6. Впишіть коло в трикутник. (робота на мультимедійній дошці)
7. У якій чотирикутник можна вписати коло? ( У чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні)
8. Навколо якого чотирикутника можна описати коло?(Навколо чотирикутника можна описати коло тоді, і тільки тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180 ⁰)

З різних комбінацій геометричних тіл особливої уваги заслуговують вписані й описані тіла Уточнимо ці поняття. Наприклад для кулі і многогранника. Аналогічні означення можуть бути сформульовані для інших тіл вписаних і описаних одне в одне.

1. Яка куля називається вписаною у многогранник? (Куля називається вписаною у многогранник, якщо вона дотикається до кожної грані многогранника)
2. Який многогранник називається вписаним у сферу? (Многогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини лежать  на сфері)

 

Розв'язування задач на вписані і описані тіла починається з використання малюнка, від чого значною мірою залежить успішне розв’язання задачі.Щоб спростити рішення, отримують зображення методом паралельного проектування. Учні підготували інформацію про різні комбінації тіл з відповідними викладками.

Циліндр можна описати навколо прямої призми, якщо її основа–  многокутник,навколо якого можна описати коло. Радіус циліндра R дорівнює радіусу цього кола. Вісь циліндра співпадає з висотоюH призми, що з’єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.

Циліндр можна вписати в пряму призму , якщо її основа – многокутник,  у який можна вписати коло. Радіус циліндра rдорівнює радіусу цього кола. Вісь циліндра співпадає з висотою Hпризми, що з’єднує центри кіл, вписаних в основи призми.

 Конус можна описати навколо призми , якщо її основа – многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конусаR дорівнює радіусуцього кола, висоти конуса і піраміди співпадають.

 

Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа – многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конуса rдорівнює радіусу цього кола, висоти конуса і піраміди співпадають.

 

 

 Кулю можна описати навколо довільного (прямого кругового) циліндра. Кола основи циліндра лежать на поверхні кулі. Центр кулі співпадає з серединою висоти, що лежить на основі. На малюнку показаний переріз площиною, що проходить через вісь циліндра(осьовий переріз).

 

 

 

 

Кулю можна вписати тільки в такий циліндр, висота якого дорівнює діаметру основи. Куля дотикається основ циліндра в їх центрах і бічної поверхні циліндра по великому колу кулі, яке лежить у площині, паралельній основам циліндра.

 

Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершини конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і співав дає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса.

 Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основам конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса.

Кулю можна описати навколо призми, якщо вона пряма і її основи є многокутниками, навколо яких можна описати коло. Центр кулі лежить на середині висоти призми, що з’єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. На малюнку показаний переріз півплощиною, що проходить через центр кулі і бічне ребро призми. ( Півплощина обмежена прямою, що проходить через центр кулі паралельно до бічного ребра призми)

 Кулю можна вписати в пряму призму, якщо її основи є многокутниками, в які можна вписати кола,а висота призми дорівнює діаметру цього кола. Радіус вписаної кулі дорівнює радіусу цього кола. Центр кулі є серединою висоти призми, що з’єднує центри кіл, вписаних в основи призми.

 

 

  Це пам’ятка , якою можна користуватися під час розв’язування задач на комбінацію тіл

 

 

 

 

 

VРозв’язування задач

 Розв’яжемо задачу №1:Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об’ємів октаедра і куба.                                                                               B

         Нехай ребро правильного октаедра дорівнює а. На малюнку зображено

переріз даної комбінації  тіл з площиною,яка проходить через дві                М                          N

протилежні вершини В,D октаедра і через центр N однієїграні .

Перерізом октаедра є ромб АВСD, сторона  якого дорівнює висот і       А                                        С

правильного трикутника зістороною а : BC=прямокутник MNKL , NK - ребро куба,MN- діагональ його грані.                                         L                           K

 Оскільки точка N- центр правильного трикутника, тоNC:BC= 1:3.

 Виразимо через а об’єми октаедра і куба:OC=AC=

ЗBOC:BO===                                                                               D

Об’єм   октаедра дорівнює подвоєному об’єму правильної чотирикутної піраміди з площею основи і висотоюBO.

=2**=

Оскільки    NCK подібний     BCD,  тo ==, звідки NK=*2*BO=

 Об’єм куба:==Отже  = :  = 9 : 2

Відповідь.  9 : 2

Розв’яжемо задачу №2:У сферу радіуса R вписано циліндр, діагональ осьового перерізу якого утворює з основою кут α. Знайдіть об’єм циліндра.

                                       На малюнку зображено переріз даної комбінації тіл, якій проведено   

                                        паралельно основам циліндра . З нашої пам’ятки  маємо формулу , яка

                                         пов’язує радіуси кулі і циліндра, а також висоти циліндра:=+ (1)

                                     За умовою задачі в циліндрі проведений діагональний переріз. Перерізом

A                              B     буде прямокутникABCD

                                      Отже    DBC-прямокутний. Знайдемо cosα: cosα =, r=Rcosα(2)

                                       Підставимо (1) формулу в (2), отримаємо: =+ α

                                       Виразимо H:= -α=α,   H=2Rsinα

 

Знайдемо об’єм циліндра за формулою: V= πH,  V= πα  2Rsinα

V=2παsinα

Відповідь:V=2παsinα

VІ Рефлексія. Підсумок уроку.

Як ви вважаєте, які навички розумової праці ви набуваєте при розв’язуванні комбінаційних задач? ( пошук, відбір, аналіз, систематизація, класифікація інформації, навички самостійної роботи)

Де в житті ви зустрічаєте комбінації тіл?

VІІ Домашнє завдання: с 275 Рівень А або Б завдання: знайти об’єми і площі поверхонь геометричних тіл за готовими малюнками

VІІІ Оцінювання учнів