Комбінаторика та правила суми і добутку.

Комбінаторика та правила суми і добутку. Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

Базові поняття комбінаторики і розраховані результати з'явилися ще в стародавньому світі. В 6-му столітті до н.е. індійський  лікар Сушрут в своїй праці  наводить, що із 6-ти різних смаків можна утворити 63 різні комбінації.  Джироламо Кардано написав математичне дослідження гральних кубиків. В історію зароджуваної теорії ймовірностей увійшло листування запеклого гравця Шевальє де Мере з П'єром Ферма і Блезем Паскалем.

Вільгельм Лейбніц та  Блез Паскаль вважаються основоположниками сучасної комбінаторики.  Сам термін «комбінаторика» придумав Лейбніц. Учень Лейбніца Якоб Бернуллі, один із засновників теорії ймовірностей, виклав у своїй книзі «Мистецтво припущень» (1713) безліч відомостей з комбінаторики. Блез Паскаль. Вільгельм Лейбніц. Якоб Бернуллі

Комбінаторикою називають розділ математики, присвячений розв'язанню задач про вибір та розміщення елементів скінченної множини згідно із заданими правилами.

ПРАВИЛО ДОДАВАННЯЯкщо дві взаємовиключні події можуть бути виконані відповідно k та m способами, тоді якусь одну з цих подій можна виконати k+m способами. З міста А в місто В можна добратися 12 потягами, 3 літаками, 23 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В? Розв'язання.  N=12+3+23=38. АВ

Задача. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одного учня в шкільний комітет самоврядування?Відповідь: 11+10 = 21 способами. Задача. У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі або печиво, або цукерки. Скількома способами він може це зробити?Відповідь: 3 + 10 =13 способами.

ПРАВИЛО МНОЖЕННЯНехай дві виконувані одна за одною дії можуть бути здійснені відповідно k та m способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані k·m способами.(працює і для декількох)У турнірі беруть участь 8 команд з хокею. Скільки існує способів розподілити перше, друге та третє місця? Розв'язання.  N=8·7·6=336

Задача. На вершину гори ведуть 4 стежки. Скількома маршрутами турист може піднятися на гору та спуститися з неї, обираючи для спуску й підйому різні стежки?124323412341324123414·3=12 Діаграма “дерево”

Задача. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати двох учнів в шкільний комітет самоврядування?Відповідь: 21·20 = 420 способами. Задача. У класі 12 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину та одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?Відповідь: 12·10 = 120 способами. Задача. Скільки трицифрових чисел можна утвори-ти з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Цифри не повторюються. Відповідь: 5 · 4 · 3 = 60 чисел.

Факторіал натурального числа n  це добуток натуральних чисел від одиниці до  n  включно, позначається  n!. n! = 1·2·3·…. ·n

Задача. Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?Відповідь: 5! = 120. Задача. Скільки різних речень можна написати слова-ми “ми”, “любимо”, “грати”? А словами “ми”, “дуже”, “любимо”, “грати”? Відповідь: 3! = 6, 4! = 24.

РОЗВ’ЯЗУЄМО РАЗОМ

РОЗВ’ЯЗУЄМО РАЗОМ

РОЗВ’ЯЗУЄМО РАЗОМ

РОЗВ’ЯЗУЄМО РАЗОМ

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ§ 21(Істер О. С. ), № 897, 901, 905, 909; CLASSROOM