Комбінаторні задачі.Правило суми і добутку

                                                                            Дата 14.04.2023р

Урок алгебри           9 клас

Тема. Основні правила комбінаторики.Правило суми і добутку.

УРОК 1.

ЦІЛІ: формування предметних компетентностей:

          ознайомити учнів з областю задач комбінаторики,домогтися засвоєння комбінаторних правил суми та добутку; показати широке коло застосування формул комбінаторики у навколишньому світі; розвивати уявлення про математичне моделювання як потужний інструмент розв’язування прикладних задач; виховувати упевненість у власних силах.

-формування ключових компетентностей:

-сприяти усвідомленню значення математики для повноцінного життя в  сучасному суспільстві;                                                                                                -формувати вміння працювати в парах, в команді;                                                                                                              -виховувати наполегливість , працездатність.                                                                                                  

Тип уроку: формування  нових знань і вмінь.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Вчитель:Ми проводимо урок напередодні великого свята Великодня. Хочу привітати вас і ваші родини з цим світлим святом. Нехай цей день стане символом Перемоги добра над злом та наповнить наші серця любов’ю та надією на краще майбутнє. Не забуваємо про тих кому ми завдячуємо можливістю святкувати це свято.Долучаємося до акції  збору пластикових кришечок для ЗСУ!

ІІ. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання теми, мети і завдань уроку

А для того, щоб цю акцію організувати потрібно обрати відповідального у вашому класі. Діти , а як ви думаєте ,скількома способами зможемо  ми це зробити? А якщо відповідальних обирати у кожному класі, в школі?

Сьогодні на обід у шкільній їдальні вам пропонують  3 перші страви, 2  другі, а також напої: чай, компот, сік, какао. Скількома різними способами ми зможемо зробити замовлення?

Сьогодні на уроці ми дамо відповіді на поставлені питання. (Формулювання теми, мети і завдань уроку)

ІІІ. Формування нових знань

План вивчення теми

1.Що таке комбінаторика?

2.Приклади комбінаторних задач

3.Правило суми і добутку. Факторіал.

4.Розвязування комбінаторних задач.

1.Комбінаторика – розділ математики, присвячений розв’язуванню задач вибору та розташування елементів деякої скінченної множини відповідно до заданих правил.

2.Приклади комбінаторних задач.

1.Скількома способами можна вибрати чергового  у вашому класі?

2. Скількома способами можна вибрати один із 6 маршрутів?

3.Розглянемо два основних правила, за допомогою яких розв’язується багато задач із комбінаторики.

Приклад 1. У місті N є два університети – політехнічний і економічний. Абітурієнту подобаються три факультети в політехнічному університеті і два – в економічному. Скільки можливостей має абітурієнт для вступу в університет?

Розв’язання. Позначимо буквою А множину факультетів, які обрав абітурієнт в полі технічному університеті, а буквою В – в економічному. Тоді А = {т, n, k}, В = {p, s}. Оскільки ці множини не мають спільних елементів, то загалом абітурієнт має 3 + 2 = 5 можливостей вступати до університету.

Описану ситуацію можна узагальнити у вигляді твердження, яке називається правилом суми.

Якщо елемент деякої множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В – n способами, то елемент із множини А або ж із множини В можна вибрати m + n способами.

Правило суми поширюється і на більшу кількість множин.

Приклад 2. Від пункту А до пункту В ведуть три стежки, а від В до С – дві. Скількома маршрутами можна пройти від пункту А до пункту С?

Розв’язання. Щоб пройти від пункту А до пункту В, треба вибра­ти одну з трьох стежок: 1, 2 або 3. Після того слід вибрати одну з двох інших стежок: 4 чи 5.

Усього від пункту А до пункту С ведуть 6 маршрутів, бо 3 ∙ 2 = 6.

Усі ці маршрути можна позначи­ти за допомогою пар: (1; 4), (1; 5), (2; 4),      (2; 5), (3; 4), (3; 5).

Узагальнимо описану ситуацію.

Якщо перший компонент пари можна вибрати т способами, а дру­гий – п способами, то таку пару можна вибрати тп способами.

Це – правило добутку, його часто називають основним правилом комбінаторики. Зверніть увагу: ідеться про впорядковані пари, складені з різних компонентів.

Приклад 3. Скільки різних по­їздів можна скласти з 6 вагонів, якщо кожний з вагонів можна по­ставити на будь-якому місці?

Розв’язання. Першим можна поставити будь-який із 6 вагонів. Маємо 6 виборів. Другий вагон можна вибрати з решти 5 вагонів. Тому за правилом множення два перших вагони можна вибрати 6 · 5 способами. Третій вагон можна вибрати з 4 вагонів, що залишились. Тому три перших вагони можна вибрати 6 · 5 · 4 способами. Продовжуючи подібні міркування, приходимо до відповіді: усього можна скласти 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 різних поїздів.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n називають n-факторіалом і позначають п!

Домовились вважати, що 1! = 1 і 0! = 1.

Обчислити : 5!; 4!; 10!.

ІV. Формування вмінь

Виконання усних вправ

№896,898,

1. У їдальні пропонують  три м’ясні страви: гуляш, сосискиі пельмені-і дві вегетаріанські : овочевий салат  і мариновані гриби. Скількома способами  відвідувач  може обрати  одну мясну  або вегетаріанську страву?
2. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одного учня в шкільний комітет самоврядування?
3. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати двох учнів у шкільний комітет самоврядування?
4. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину і одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?

Виконання письмових вправ .Робота в парах.

1. У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі печиво чи цукерки. Скількома способами він може це зробити?
2. Скількома способами можна посадити чотирьох дітей на лавці?
3. На вершину гори ведуть 4 стежки. Скількома маршрутами турист може піднятись на гору і спуститися з неї, обираючи для спуску і підйому різні стежки?
4. Їдальня приготувала на сніданок 3 другі страви (А, В, С) і два напої (М, K). Скільки різних наборів із таких страв і напоїв можна вибрати на сніданок? Складіть відповідну діаграму-дерево.
5. Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?

                     Робота в групах

І група.

1.У магазині є 500 саджанців дерев , серед яких 200 яблунь,110 груш, 45 вишень, а решта сливи. Покупець бажає придбати саджанець груші або сливи. Скільки існує способів  здійснити його бажання?

        2.Обчисліть:

а) 10! : 5!; б) 13! : 10!; в) 20! : 25!; г) 100! : 97!.

ІІ група

1. У Віки в гардеробі є 6 спідниць, чотири блузки та п’ять хустин. Скільки часу витратить дівчинка , якщо кожний із можливих костюмів, зо складається зі спідниці, блузки  та хустки, вона буде приміряти протягом  однієї хвилини.?

      2.Спростіть вираз:

а) n! : (n – 1); б) (n – 1)! : n!; в) (n + 1)! : (n – 1)!.

V. Підсумки уроку

Питання класу

1. Що нового ви дізналися на уроці?
2. Що таке комбінаторика?
3. Які основні правила комбінаторики ми сьогодні розглянули?
4. Що таке n-факторіал?

VІ. Домашнє завдання

Вивчити теоретичний матеріал.§21.Істер О.С.Алгебра 9.

№ 906,909.910.

Задача. Комплексний  обід, вартість якого 72 грн. включає в себе першу страву , другу та напій. Кафе пропонує на вибір 2 перші страви, 3 гарніри, 2 мясні страви та напій. Скільки  існує варіантів різних обідів з перелічених страв? Яка вартість  трьох комплексних обідів?

Література.

1.В.О.Сенчевський   Перші кроки в теорію ймовірності.2008 «Основа»

2.Істер  О.С. Алгебра 9.2017.Генеза

3. Д.В.Васильєва  Збірник задач  з математики 5-9 класи.