Конспект Тема Поняття первісної. Основна властивість первісних

Тема: Первісна. Основна властивість первісних. Таблиця первісних.

Пригадаємо

Що ми називаємо похідною функції?

 Сформулюйте означення похідної функції у точці

 

Похідною функції у точці називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції у точці до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля

Пригадаємо таблицю похідних деяких основних функцій

 

 

Як називається операція знаходження похідної функції?

(Операція знаходження похідної функції називається диференціюванням функції )

 

Якщо функція має похідну в точці, як називають таку функцію?

(Якщо функція має похідну в точці , то цю функцію називають диференційовною в точці )

 

              Якщо функція диференційовна в кожній точці області   визначення, як

               називають таку функцію?

(Якщо функція диференційовна в кожній точці області визначення, то така функція називається диференційовною)

 

Знаючи закон руху матеріальної точки , як можемо знайти закон зміни швидкості ?

Чи можемо визначити закон руху , якщо відомо ?

 

Так, необхідно відновити функцію за її похідною. Знаходження функції за її похідною називають інтегруванням.

 

 

 

Вивчаємо нове

 

Первісна

Означення

Функцію називають первісною функцією функції на проміжку , якщо для всіх виконується рівність

 

 

Наприклад:

 

	Первісна для
	Первісна для	? (запитати учнів, до якої функції на їх думку буде первісною ця функція)
	Первісна для	? (запитати учнів, до якої функції на їх думку буде первісною ця функція)

 

Основна властивість первісної

 

•        Знайдіть похідну для функцій:

    //

    //

 

•        Скільки первісних має функція

(Безліч)

 

Теорема (основна властивість первісної)

Якщо функція є первісною функції на проміжку та – довільне число, то функція також є первісною функції на проміжку .

 

Будь-яку первісну функції на проміжку можна подати у вигляді – деяке число

 

– загальний вигляд первісних функції на проміжку .

 

Беручи до уваги основну властивість первісних, як можемо отримати графіки будь-яких двох первісних для даної функції?

(Паралельним перенесенням уздовж осі ординат)

 

Графіки будь-яких первісних для заданої функції одержують один з одного паралельним перенесенням уздовж осі .

 

 

 

Сукупність усіх первісних на проміжку називається невизначеним інтегралом: 

 

Таблиця первісних деяких функцій

 

Функція	Первісна функції
(стала)

 

 

 

Розв’язування вправ

№1       Установіть, чи є функція первісною функції :

1.    
2.     на проміжку
3.    
4.    

 

Розв’язання:

1.    

Так як проміжок не вказаний, то мається на увазі проміжок

на проміжку , так як

 

2.     на проміжку

На проміжку ,

 

3.    

на проміжку так як

 

4.    

на проміжку , так як

 

№2    Чи є функція первісною функції на проміжку:

1.     ;
2.     ;

 

Розв’язання:

Так як і не визначені для :

1.     Так (нуль не включається у проміжок);
2.     Ні (нуль включається у проміжок);

 

№3      Знайдіть загальний вигляд первісних функцій:

1.    
2.    
3.    
4.    
5.     на проміжку
6.     на проміжку
7.     на проміжку

 

Розв’язання:

1.    
2.    
3.    
4.    
5.    
6.    
7.    

 

№4        Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить через указану точку:

1.    
2.    
3.    

 

Розв’язання:

1.    

 

Знайдемо первісну:

 

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Відповідь:

 

2.    

 

Знайдемо первісну:

 

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Відповідь:

 

3.    

 

Знайдемо первісну:

 

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Відповідь:

 

№5         Для функції знайдіть на проміжку первісну , яка набуває даного значення у вказаній точці:

1.    
2.    
3.    

 

Розв’язання:

1.    

Знайдемо первісну:

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Відповідь:

 

2.    

Знайдемо первісну:

 

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Відповідь:

3.    

Знайдемо первісну:

 

Підставимо значення функції в заданій точці та знайдемо значення :

 

Так як на проміжку

 

Відповідь:

 

 

 

Домашнє завдання

 

Опрацювати §8, опрацювати Виконати № 8.4; 8.6; 8.8; 8.14; 8.16

Істер О.С.