19 квітня о 18:00Вебінар: Як організувати якісний урок літератури для учнів із кліповим мисленням

Конспект уроку на тему "Многогранник та його елементи. Опуклі многогранники. Призма."

Про матеріал

Тема уроку.Многогранник та його елементи. Опуклі многогранники. Призма.

Мета уроку:формування понять многогранник; ребра, грані, вершини многогранників; опуклий многогранник: призма; основи і бічні грані, ребра призми; висота призми; поверхня та бічна поверхня призми; вивчення властивостей граней та бічних ребер призми.

Обладнання: моделі многогранників.
Перегляд файлу

Урок 3

Тема уроку.   Многогранник та його елементи. Опуклі многогранники. Призма.

Мета уроку:   формування понять многогранник; ребра, грані, вершини многогранників; опуклий многогранник: призма; основи і бічні грані, ребра призми; висота призми; поверхня та бічна поверхня призми; вивчення властивостей граней та бічних ребер призми.

Обладнання: моделі многогранників.

Перевірка домашнього завдання

1. Обговорення розв'язування задачі № 3 за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі № З

Нехай SA, SB, SC — ребра тригранного кута (рис. 17), <ASC = γ.

Проведемо BD(ASC), ADAS. DCSC, тоді ABAS, BCCS, отже, <BAD і <BCD — лінійні кути двогранних кутів з реб­рами SA і SC: <BAD=<BCD=φ.

ΔADB = ΔCDB, тому AD = DC. Якщо АВ = а, то AD = acosφ, BD = asi.

ΔΑDS = ΔCDS, тому <ASD = <CSD =. Із трикутника ASD ,  .

ΔΑΒS = ΔCΒS, отже, α = <ASB = <CSB. Із трикутника АВS

, тоді .

Оскільки SD — проекція SВ на (ACS), то <BSD — кут між ребром SB і площиною ASC: β = <BSD . Із трикутника BSD

, тоді .

Відповідь. , .

Під час обговорення можливі такі запитання до класу:

1) Чому АВАS, BCCS?

2) Поясніть, чому <BAD і <BCD — лінійні кути двогранних кутів з ребрами SА і SC.

3) За якою ознакою ΔADB = ΔCDB ?

4) Як одержали значення AD і BD?

5) Чому <ASD = <CSD = ?

6) Сформулюйте правила, згідно з якими знайдено AS і SD.

7) Чому ΔАВS = ΔСВS?

8) Чому дорівнює tgα?

9) Що називається кутом між прямою і площиною?

10) Чому дорівнює кут, який утворює площина кута у з протилежним ребром?

 

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1. Кут АВС — лінійний кут двогранного кута з ребром b. Яке взаємне розмі­щення прямих b і АB? (5 балів)

2. Двогранний кут дорівнює α. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані d від другої грані. Знай­діть відстань від цієї точки до ребра кута. (7 балів)

Варіант 2

1. Кут АВС — лінійний кут двогранного кута з ребром b. Яке взаємне розміщення прямої b і площини АВС? (5 балів)

2. Двогранний кут дорівнює α. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані d від ребра кута. Знайдіть відстань від цієї точки до другої грані. (7 балів)

Варіант 3

1. Кут АВС — лінійний кут двогранного кута з ребром b. Яке взаємне розміщення прямих b і ВС? (5 балів)

2. Точка, взята на одній із граней гострого двогранного кута, знахо­диться від ребра на відстані α, а від другої грані — на відстані b. Знайдіть величину двогранного кута. (7 балів)

Варіант 4

1. Кут АВС — лінійний кут двогранного кута з гранями α і β. Яке взаємне розміщення площини АВС і площини α ? (5 балів)

2. Двогранний кут дорівнює α. На одній грані взято точку і проведено з неї перпендикуляр до другої грані. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо основа перпендикуляра знаходиться на відстані d від ребра. (7 балів)

Відповідь.  Варіант 1. 1) bАВ; 2) .

Варіант 2. 1) b(АВС); 2) d sinα.

Варіант 3. 1) b(ВС); 2) arcsin.

Варіант 4.1) (АВС) α; 2) dtgα.

 

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Многогранники та їх елементи, опуклі многогранники

Фігури, які вивчає стереометрія, називаються тілами. Наочно тіло уявляють як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену по­верхнею. Демонструємо моделі многогранників.

Многогранником називають тіло (частина простору), обмежене скінченою кількістю плоских многокутників (рис. 18).

Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гра­нями, їх сторони — ребрами, а вершини — вершинами многогранника.

На рис. 18 гранями е многокутники: ABCD, AMLD, DLKC, BCKN, ABNM, MNKL; ребрами — сторони AD, DC, ВС, АВ, КС, LD, AM, NB, ML, LK, NK, MN; вершинами —точки А, В, C, D, Μ, Ν, Κ, L.

Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні.

Прикладами опуклих многогранників можуть бути куб, прямокут­ний паралелепіпед, тетраедр тощо. На рис. 19 зображено неопуклий многогранник.


  

 


Демонструємо опуклі і неопуклі многогранники. Многогранники в оточуючому середовищі зустрічаються дуже часто. Цеглина, коробка, шафа, стілець, дошка, кристал — все це моделі многогранників. Знання властивостей многогранників необхідне багатьом фахівцям.

Столяр має справу з многогранниками, вистругуючи бруски, видов­буючи в них прямокутні отвори або заглибини. Муляр кладе стіни, спо­руджуючи  будівлі, у формі многогранників. І тесляри, що зводять гори­ща над будівлями, і екскаваторники, що риють котловани, і мінералоги, кристалографи, гранильники — всі мають справу з многогранниками.

Розв'язування задач

1. Наведіть приклади предметів побуту, що є геометричними тілами.

2. Які із фігур, зображених на рис. 20, є геометричними тілами?

3. Які із зображених на рис. 21 тіл є многогранниками?

4. Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранника.

5. Наведіть приклади речовин, вивчених у курсі хімії, кристали яких мають форму многогранника.

Рис. 20

6. Скільки вершин, ребер, граней має:                  

 а) тетраедр;   б) куб?

7. Яке найменше число ребер може мати многогранник?

(Відповідь. 6.)

8. Побудуйте многогранник, який має 4 грані. Скільки ребер і скіль­ки вершин він має? (Відповідь. Ребер — 6, вершин — 4.)

Рис. 21

9. Скільки ребер може сходитися у вершині многогранника?

(Відповідь. Довільне число, але не менше трьох.)

10. Побудуйте многогранник, у якого число вершин і число граней од­накові.

11. Якщо поверхню многогранника розрізати по кількох його ребрах і розкласти на площині, то дістанемо розгортку даного многогран­ника. На рис. 22 подані деякі розгортки куба. Побудуйте розгортку куба, відмінну від поданих. (Відповідь, Рис. 23.)

  


 


12. На рис. 24 зображено розгортки многогранників. Визначте, скільки у цих многогранників вершин, граней, ребер. (Відповідь, а) Вершин — 8; граней — 6; ребер — 12; б) вершин — 5, граней — 5, ребер — 8.)

13. Побудуйте многогранник, який має: а) 8 ребер; б) 9 ребер; в) 11 ре­бер. (Відповідь. Рис. 25.)


  

Рис. 24

14. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь, 8 ребер.)

15. Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 6 вершин. Скільки ребер він має? (Відповідь. 9 ребер.)

16. Доведіть, що число плоских кутів многогранника вдвічі більше від числа ребер.

17. Многогранник має 12 ребер. Скільки в нього плоских кутів?

(Відпо­відь. 24 кути.)

 

Призма

Можна провести пояснення нового матеріалу згідно з п. 40 § 5 під­ручника. Можна дати пояснення нового матеріалу по-іншому.

Многогранник, дві грані якого — рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші n граней — паралелограми, на­зивається n-кутною призмою (рис. 26).


  

 


Демонструємо моделі призм.

Її рівні n-кутники називаються основами призми, а паралелогра­ми — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші реб­ра — бічними ребрами.

Завдання

Укажіть на моделях призми основи, бічні грані, ребра основи, бічні ребра.

З означення призми випливає, що основи призми рівні, а також ле­жать в паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні. Поверх­ня призми складається з основ і бічної поверхні.

Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то:               Sпр = Sбіч.пов + 2Socн,

де Sпр — площа поверхні призми;

Sбіч.пов — площа бічної поверхні призми;

Sосн – площа основи.

Висотою призми називається відстань між площинами її основ. Відрізок, який сполучає дві вершини призми, що не належать одній і рані, називається діагоналлю призми.

Розв'язування задач

  1. Скільки граней має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 грань?

(Відповідь. n+2;так.)

  1. Скільки ребер має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 реб­ро?

(Відповідь. 3n; ні.)

  1. Скільки вершин має n-кутна призма? Чи може призма мати 101 вершину?

(Відповідь. 2n; ні.)

  1. Призма має 20 граней. Який многокутник лежить в ЇЇ основі?

(Від­повідь. 18-кутник.)

  1. Назвіть предмети побуту, які мають форму призми.
  2. а) Скільки діагоналей можна провести в чотирикутній; п'ятикут­ній;         n-кутній призмі?

б) Чи існує призма, яка не має діагоналей?

(Відповідь, а) 4; 10; (n - 3)n; б) існує: трикутна призма.)

  1. Знайдіть суму всіх плоских кутів n-кутної призми.

(Відповідь. 720° (n – 1).)

  1. Знайдіть суму всіх двогранних кутів n-кутної призми.

(Відповідь. 360° (n – 1).)

  

 


  1. Три грані призми — квадрати зі стороною 2 см, а дві інші — три­кутники. Накресліть цю призму та її розгортку. Знайдіть площу поверхні призми.

(Відповідь. Рис. 27, 12 + 2 см2.)

  1. Висота призми дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до площини ос­нови призми під кутом α . Знайдіть довжину бічного ребра призми.

(Відповідь..)

  1. АВСА1B1С1 — призма, A1K(ABC), AKВС (рис. 28). Доведіть, що ΒΒ1C1C прямокутник.

 

Ρ о з в ' яз а н н я

Оскільки A1K(ABC) і AKВС, то за теоремою про три перпен­дикуляри А1АВС. Оскільки СС1 || АА1 і А1АВС, то СС1ВС.

Оскільки ΒΒ1C1C паралелограм і <C1CB = 90°, то ΒΒ1C1C — прямокутник.

  1. Основа призми— рівносторонній трикутник, одна з вершин верх­ньої основи проектується в центр нижньої основи. Доведіть, що одна з граней призми — прямокутник.
  2.  Основа призми — правильний трикутник АВС. Бічне ребро АА1 утворює рівні кути зі сторонами основи АС і АВ. Доведіть, що:

а) ВСАА1; б) СС1B1В — прямокутник.

 

III. Домашнє завдання

§ 5, п. 39, п. 40; контрольні запитання № 6-12; задачі № 9, 11 (с. 77).

 

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Дайте означення опуклого многогранника.

2) Скільки граней має 15-кутна призма?

3) Скільки діагоналей можна провести в семикутній призмі?

doc
Додано
19 серпня 2018
Переглядів
3662
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку