Урок №5. Тема: Тригонометричні тотожності
Формування компетентностей:
предметна компетентність:
ключові компетентності:
мовленні математичну термінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку; поповнювати свій словниковий запас;
навчальної діяльності.
Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок.
Обладнання та наочність: підручник з геометрії за 9 клас, автори: Мерзляк, Полонський, Якір, 2017 р.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
(§1 п.1 № 1.3, 1.9)
№1.3. Кути і суміжні, ;
.
– тупий кут, – гострий кут.
№1.9 Знайдіть ,
;
;
.
II. Актуалізація опорних знань.
Фронтальне опитування
a) б) °;
в) °.
Мотивація навчальної діяльності учнів
Поштовхом до інтелектуальної діяльності учнів може слугувати запропоноване вчителем завдання.
Завдання. Виконайте зображення прямокутного трикутника з катетами і гіпотенузою . Кути, протилежні катетам , позначте відповідно α, β. Запишіть відношення, яким дорівнюють та . Порівняйте записані відношення. Що ви помітили? Чи зміниться результат, якщо взяти інший прямокутний трикутник? Сформулюйте здобутий результат у вигляді твердження.
Мета запропонованого завдання — наочно продемонструвати учням існування певних залежностей між тригонометричними функціями деякого гострого кута. Далі вчитель наголошує на тому, що для інших тригонометричних функцій (крім тангенса і котангенса) одного й того самого кута також існують певні залежності; їх вивчення і становить основну мету уроку.
План вивчення нового матеріалу
Опорний конспект
Основна тригонометрична тотожність
Слід зазначити, що основну тригонометричну тотожність
у восьмому класі доведено для гострого кута α. Покажемо, що ця тотожність справедлива для будь-якого кута ° до 180°.
Якщо кут α — тупий (рис. 6), тоді із прямокутного трикутника
за теоремою Піфагора маємо: ОВ2 + АВ2 = =ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Ураховуючи, що , , маємо sin2α+ + cos2α = 1.
Якщо α = 0°, тоді 2 0° + 2 0° = 12 + 02 = l.
Якщо α = 90°, тоді 2 90° + 2 90° = 02 + 12 = 1.
Якщо α = 180°, тоді 2 180° + 2 180° = (-1)2 + 02 = 1.
Отже, для будь-якого кута α (0° < α < 180°) виконується тотожність
2 α + 2 α = 1.
Формули доповнення
У 8-му класі для гострого кута було доведено формули доповнення, які виражають функції кута 90°- α через функції кута α. Нагадаємо їх:
Наприклад,
Слід зазначити, що ці формули справедливі і для тупого кута a, проте це спричинює необхідність вводити тригонометричні функції від'ємних кутів. Із цим матеріалом учні ознайомляться в 10-му класі.
Формули
Розглянемо коло з центром О у початку координат і радіусом 1. Відкладемо кут α — гострий кут, який утворює радіус кола з додатною віссю Ох. Побудуємо кут 180°- α. Для цього відкладемо кут В1ОА1 від від'ємної півосі Ох, тоді A1OB = 180° - α (рис. 7).
Нехай координати точок А і А1 відповідно (х; у) і (х1; у1), ∆ОВА = ∆ОВ1А1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тоді sin (180°- α) = y1 = y = sinα, cos (180°-α) = = х1 = - x = - cos α, tg (180°- α) = = = = - tg α. Ці формули дають можливість, знаючи значення тригонометричних функцій гострих кутів, знаходити значення тригонометричних функцій тупих кутів.
Наприклад,
IV. Засвоєння нових знань і способів дій
№ 1.13. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):
№ 1.15. Знайдіть значення виразу:
№1.17. Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:
№1.19. Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника.
V. Підбиття підсумків уроку, рефлексія
VI. Домашнє завдання
(§1 п.1 № 1.16, 1.20)