Конспект уроку з теми:" Системи нерівностей з двома змінними." 10 клас, профіль

Про матеріал

Мета: дидактична – розвивати пізнавальну діяльність учнів, вдосконалювати вміння і навички розв’язувати нерівності і системи нерівностей різного рівня складності графічним способом; методична - ознайомити з поняттям систем нерівностей з двома змінними, закріпити поняття нерівностей з двома змінними, вдосконалювати навички розв’язання задач за допомогою графічного способу розв’язання нерівностей.

Перегляд файлу

УРОК

Тема. Системи нерівностей з двома змінними . Розв’язування задач.

Мета:

дидактична – розвивати пізнавальну діяльність учнів, вдосконалювати вміння і навички розв’язувати нерівності і системи нерівностей різного рівня складності графічним способом;

методична - ознайомити з поняттям систем нерівностей з двома змінними, закріпити поняття нерівностей з двома змінними, вдосконалювати навички розв’язання задач за допомогою графічного способу розв’язання нерівностей;

виховна - виховувати в учнів позитивну мотивацію навчання, розвивати вміння встановлювати логічний зв'язок між прикладними задачами і їх математичними моделями для успішного розв’язання.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь, навичок, закріплення основних понять з попередньої теми.

Учні повинні:

закріпити поняття про нерівності з двома змінними ;
засвоїти основні способи розв’язування систем нерівностей;
здійснювати аналіз умови задачі для вибору більш вдалого способу її розв’язання;
розв’язувати системи нерівностей різного рівня складності графічним способом.

Обладнання та матеріали: інтерактивна дошка, слайди.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент уроку (1-3 хв.)

Вступне слово вчителя.

- Сьогодні на уроці ми будемо закріплювати вже вивчені методи розв’язку нерівностей з двома змінними, повторимо графічний спосіб розв’язку нерівностей і будемо розвивати вміння розв’язувати задачі за допомогою нерівностей. Почнемо з перевірки домашнього завдання.

ІІ. Перевірка домашнього завдання ( 5-7хв.)

Фронтальна перевірка проходить у формі ігрового моменту(щоб заощадити час на цьому етапі уроку). Відповіді до завдань(разом з неправильними) представлені на дошці. Вчитель повідомляє учням, що всі відповіді були правильними, але випадково хтось переплутав картки і вивісив їх в довільному порядку. Треба поновити правильний порядок і знайти серед запропонованих карток ті, що відповідають домашнім вправам

Слайд 1

№345

1) 2)

3) 4)

5) Відповіді: 4) х – 2у > 3;1) х +4у 5;2) у > -2;

5).х -2.

Перевірка за малюнками на дошці. Для перевірки домашнього завдання на дошку проектується слайд 2

Слайд 2

№332(1), 335(1)

Коментар. = .

При у0 – без змін, при у<0 - симетрія відносно Ох.

Коментар .х = ,

№348(1,3,5)

1) у < 2х-х²

Вершина параболи (1,1). Точка А(0;-1) належить графіку нерівності.

3) Коментар. (х-1)²+(у+2)² 1. Рівняння кола з центром (1,-2) і радіусом 1

(х-1)²+(у+2)²= 1.

5) Коментар. ху < 2.

у = - гіпербола ( І, ІІІ чв.). Перевіримо, чи належить точка А(2,2) графіку нерівності:

22 < 2- невірно, тому точка А не належить графіку. Точка В(1;-2) належить графіку нерівності, той частині площини, яка є розв’язком.

В ході перевірки задаються питання:

Графіки яких функцій були представлені при розв’язку нерівностей?
На яких малюнках представлені графіки функцій?
Як за відомим графіком функції у = f(x) побудувати графіки нерівностей

у > f(x), у < f(x)?

4. Що є графіком нерівності х > a, x < a?

5. Що є графіком нерівності х²+ у²< R², х²+ у²> R²?

6. Що називається графіком нерівності з двома змінними?

Далі учитель підводить підсумки.

Графіки нерівностей можна знайти за однією загальною схемою:

Побудувати графік рівняння F(х, у) = 0, який розбиває координатну площину на декілька областей.
У кожній області обираємо «пробні точки».
За допомогою цих точок встановлюємо, які з областей належать шуканому графіку та об’єднуємо їх.

III. Формулювання мети і завдань уроку (5-7 хв.)
3.1 Мотивація навчальної діяльності учнів

Учням пропонується розв’язати задачу.

Задача . Зустрічаються дві команди шашкістів А і В. За умовами змагань кожен учасник однієї команди грає по одній партії з кожним учасником іншої команди. Загальна кількість майбутніх партій у 4 рази більша за кількість усіх гравців в обох командах. Однак через хворобу два гравці не змогли з’явитися на матч, у зв’язку з чим кількість усіх зіграних у матчі партій виявилося на 17 менше за передбачувану. Скільки гравців виступило в матчі за команду А, коли відомо, що в ній було менше гравців, ніж у команді В?

(колективно розв’язується)

Позначимо кількість гравців, що повинні були виступити відповідно за команди А і В, через m і n (n >m)

Очевидно, що планувалося зіграти т n партій. Перша умова задачі приводить до рівняння m n = 4( m + n).

Друге рівняння відразу записати не можна, оскільки невідомо, до яких команд належали захворілі гравці. Можливі три випадки:

1) якщо занедужали гравці команди А, то (m - 2) n = m n – 17;

2) якщо занедужали гравці команди В, то (n - 2) m = m n – 17;

3) якщо занедужало по одному гравцю з команд А і В, то

(m - 1) ( n - 1) = m n – 17.

Перший випадок дає 2n = 17, що неможливо, оскільки п — ціле число. Другий випадок також неможливий з цієї причини: 2m ≠ 17, у третьому випадку дістаємо систему:

Звідси легко знаходимо m = 6, n = 12.

Відповідь. За команду А виступило 6 гравців.

Вчитель зазначає, що розв’язок зводить до складання системи рівнянь та нерівності, яку можна розв’язати графічно.

3.2 Актуалізація опорних знань учнів.

Графічне розв’язання системи: позначимо х = n, у = m

Графік першого рівняння – гіпербола, другого рівняння – пряма; нерівність показує ту частину площини, яка відповідає її розв’язкам. Точка А(12,6) є точкою перетину графіків рівнянь і задовольняє множині розв’язків нерівності ( див. рис.).

Слайд 3

Можна побачити на малюнку, що э ще одна точка перетину графіків

у = 18-х і у = 4х/(х-4), це точка (6,12). Але координати цієї точки не задовольняють нерівність у < х.

Вчитель задає питання:

Як на вашу думку можна розв’язати графічно систему нерівностей з двома змінними?
Що буде множиною розв’язків системи нерівностей в координатній площині?

Після обговорення пропонується практична робота в парах на графічне розв’язання систем.

ІV. Вивчення нового матеріалу (10-15хв.)

План вивчення нового матеріалу

1.Уявлення про системи нерівностей з двома змінними.

2. Прикладні задачі, що зводяться до складання систем нерівностей з двома змінними.

3. Розв'язок систем нерівностей з двома змінною графічним способом.

Приклад. Розв’язати нерівність: (х²+у²-4)(х²+у²-16) 0.

Оскільки добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, то рівняння (х²+у²-4)(х²+у²-16)=0 буде задавати дві лінії х²+у²= 4, х²+у²= 16. Графіки рівнянь ділять площину на три частини. За допомогою “пробних” точок з’ясовуємо, що шукана нерівність виконується в кільці, яке обмежено двома колами з R=2 і R=4

( див. рис.3). Розв’язок нерівності зводиться до роз візку систем або

Розв’яжемо, наприклад, першу систему.

Алгоритм практичної роботи, яка пропонується на етапі побудови множини розв’язків системи нерівностей.

Рис. 1

н17 Один з учнів пари будує графік нерівності х²+у²4 на чистому папері з відповідним масштабом.

Після аналізу умови будуємо графік рівняння х²+у²=4, для цього в кожного учня заготовлено папір у клітинку і за допомогою “пробних” точок з’ясовуємо область, яка є розв’язком нерівності х²+у²4 (заштриховуємо її зеленим кольором, рис. 1)

Другий учень будує графік нерівності х²+у²16 на прозорому папері з таким самим масштабом, що і у першого учня ( заштриховуємо червоним кольором, рис. 2).

Рис.2

н18 Далі другому учню вчитель пропонує сумістити накладанням прозорий папір (рис.2) з фігурою (рис.1) першого учня і знайти перетин множин розв’язків двох нерівностей наочно – область перетину різних кольорів (рис.3).

Рис.3

н19 Вчитель робить висновки:

Розв'язати систему нерівностей з двома змінними— значить знайти множину всіх таких точок координатної площини, координати яких задовольняють одночасно всім нерівностям системи.

Отриману фігуру називають графіком системи нерівностей.

Аналогічно можна показати розв'язок систем нерівностей з трьома або більшою кількістю нерівностей.

Приклад. Розв’язати систему нерівностей

Розв’язки системи можна зображувати на координатній площині. Для цього слід побудувати графіки нерівностей, які складають систему, і знайти їх перетин. Графіком першої нерівності є фігура, показана на рисунку горизонтальною штриховкою. Графіком другої нерівності є півплощина, показана на рисунку штриховкою іншого напряму. Фігура, яка зображує розв’язки системи, позначена подвійною штриховкою.

н14