Презентація за темою: "Точки екстремуму функції"

Точки екстремуму функції10 клас. Презентацію підготувала вчитель Харківського ліцею №141 Рильцова Ірина Вікторівна

На проміжку [-1; 0] функція в точці x₁ має найменше значення. На проміжку [0; 1] функція в точці x₂ має найбільше значення. На проміжку [1; 2] функція в точці x₃ має найменше значення

f(x₁) ≤ f(x) [ -1; 0]f( x₂) ≥ f(x) [0; 1]f(x₃) ≤ f(x) [1; 2]

Точку х₀ називають точкою максимуму функції f, якщо на інтервалі ( a; b), який містить точку х₀, виконується нерівність f (x₀)≥ f(x)Точку х₀ називають точкою мінімуму функції f, якщо на інтервалі ( a; b), який містить точку х₀, виконується нерівність f (x₀)≤ f(x)і - точки екстремуму функції

Якщо х₀ є точкою екстремуму функції f, то або f ’(x₀) = 0, або функція f не є диференційовною в точці х₀Приклад. Зображено графік функції, недиференційовної в точці х₀, але точка х₀ не є точкою екстремуму. Що означає недиференційовна в точці х₀?До графіка цієї функції в точці х₀ не можна провести дотичну

Достатня умова екстремуму. Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і похідна f‘(x) змінює знак при переході через точку х₀, то х₀ - точка екстремуму функції f(x)У точці х₀ знак f’(x) змінюється з “+” на “-”, то х₀ - точка максимуму. У точці х₀ знак f’(x) змінюється з “-” на “+”, то х₀ - точка мінімуму

Приклад. Знайдіть точки екстремуму функції y=2x³ - 3x² - 12x. Розв’язання1)Знайти похідну f’(x) y’=2)f’(x) = 0

Розв’яжемо рівняння і знайдемо корені.х₁ = -1, х₂ = 2 - критичні точки функції3)Дослідити знак похідної в околах критичних точок

4)З’ясувати, чи є критичні точки точками екстремуму- точки екстремуму

Приклад. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції Розв’язання:1)D(y)=R\{0}2) ОДЗ: х³ ≠ 0; х ≠ 0

х³ - 8 = 0;х³ = 8;х = 2.3)4) Проміжки зростання х є ( - ∞;0) і [2;+∞) спадання х є (0;2]

Виконуємо самостійно. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції

Відповідь. Зростає: х є [0;1] і [1; + ∞) або [0; +∞)Спадає: х є (-∞; 0]х(min)=0 – точка екстремуму