Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го сте­пеня і його властивості.

Мета уроку: Повторити відомості про квадратний корінь. Фор­мування понять корінь п-го степеня і арифметичний корінь п-го степеня. Вивчення властивостей коренів п-го степеня.

Хід уроку

I. Повторення відомостей про квадратний корінь.

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 1.

Питання до класу

1. Що називається квадратним коренем з числа?

2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел:

а) 25;      б)16;      в) 100;     г) 0;       д) -10?

3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?

4. Що називається арифметичним квадратним коренем з чис­ла а?

5. При яких значеннях а має смисл вираз ?

Таблиця 1

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (таблиця 2).

Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 2³ = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 3⁴ = 81, (-3)⁴ = 81.

   Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.

   Якщо п — парне, тобто п = 2k, k N, то рівняння х^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

   Якщо п — непарне, тобто п = 2k + 1, k N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Таблиця 2

Невід'ємний корінь рівняння хⁿ = а називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так: . Число n називають показником кореня, число а — підкоре­невим числом (виразом).

Якщо п = 2, то замість пишуть і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметич­ний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь п-го степеня».

Приклад. Знайдемо значення:

а) ;       б) ;      в) ;        г) .

а) = 2, оскільки 2³ = 8 і 2 > 0;

б) = 3, оскільки 3⁴ = 81 і 3 > 0;

в) = 1, оскільки 1⁵ = 1 і 1 > 0;

г) = 0 , оскільки 0¹⁰⁰ = 0.

Корінь парного степеня існує лише з невід'ємних чисел, отже, вираз має смисл, якщо і набуває невід'ємних значень.

Корінь непарного степеня існує з будь-якого дійсного числа і до того ж тільки один.

Для коренів непарного степеня справедлива рівність = – .

Дійсно .

Рівність = – дозволяє виразити корінь непарно­го степеня з від'ємного числа через арифметичний корінь того ж степеня.

Приклад. Знайдемо значення:

а) ;           б) ;          в) .

a) = - = -2; б) = - = -2 ; в) = - = -3 .

Отже, вираз має смисл для будь-якого а R і може набувати будь-яких значень.

Виконання вправ______________________________

1. Розв'яжіть рівняння:

а) х³ = 64;      б) х⁵ = - ;     в) х⁴ = 81;  г) х⁶ = - 64;    д) х³ = 15;   е) х⁴ = 15. Відповідь: а) 4;   б) - ; в) 3; - 3; г) немає коренів; д) ; е) ; - .

2. Знайдіть область визначення функцій:

а) у =;   б) у = ;   в) у = ;

              г) у = ;  д) у = +;     е) у =

Відповідь: а) х 2;   б) х R;   в) х 3;   г) х ≠  0;   д) 0; е) не визначена.

Безпосередньо з означення арифметичного кореня n-го степе­ня випливає:

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні вла­стивості мають і корені n-го степеня.

  Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-­го степеня із                                      чисел  a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: ·=.

Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: .

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: .

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна     перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: .

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкоре­невого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: .

Властивості 1, 2 доводяться аналогічно тому, як це зроблено для квадратних коренів. Доведемо властивості 3—5:

3) Так як а 0, то ліва і права частини формули невід'ємні. Тому для доведення цієї рівності досить впевнитися в тому, що n-ий степінь лівої частини дорівнює а^k. Згідно з властиво­стями степенів з цілим показником маємо:

4) При а > О ліва і права частини невід'ємні. Тоді

Отже, .

5) Згідно з означенням кореня — це таке невід'ємне чис­ло, n-й степінь якого дорівнює а^mp, тобто досить довести .

Маємо .

Виконання вправ__________________

1. Знайдіть значення виразів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Відповідь: а) 1,5;  б) 1,2;   в) 0,5;    г) 2,5;   д) .

2. Обчисліть:

а) ·;  б) ·;    в) ;    г) .

Відповідь: а) 10;   б) 6;   в) 3;   г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:

а) ;    б) ;   в) ; г) .

Відповідь: а) 125;   б) 0,09;   в) 0,72;  г) 16.

4. Спростіть вирази:

а) ;     б) ;     в) ;      г) .

Відповідь: а) = ;   б) ;   в) ;   г) .

III. Підсумок проведення уроку.