Константа простих близнюків

                                                                        Бутар Таїса Борисівна,

                                                               учитель математики

                                                                        Черкаської гімназії №31                       

                                                                        Черкаської міської ради

                                                                        Черкаської області,

                    Константа простих близнюків

   Прості числа з давніх часів привертають увагу математиків. Кожне натуральне число, більше одиниці, ділиться принаймні на два числа : на 1 і саме на себе. Якщо ні на яке інше натуральне число воно націло  не ділиться, то називається простим, а якщо у нього є ще якісь цілі дільники, то складеним. Не про  всякі числа можна відразу сказати, просте воно чи складене.

  Візьмемо, наприклад , число 1999.Якщо немає під рукою спеціальних таблиць або помічника комп’ютера, то доведеться згадати про старе, але надійне решето Ератосфена. Старовинний спосіб, придуманий ще в 3 ст. до н.е., Ератосфеном Кіренським, зберігачем знаменитої Олександрійської бібліотеки.      Давньогрецький учений Ератосфен Кіренський ( бл. 276-194 рр. до н.е.) перший знайшов дуже простий і зручний спосіб складання таблиць простих чисел, менших від якогось числа  n.  Прості числа в математиці відіграють важливу роль. Серед натурального ряду виділяють прості числа. Придивіться до таблиці перших простих чисел:

    Існують пари послідовних непарних чисел, кожне з яких є простими: 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31. Вони й називаються простими числами-близнятами. Бо ніби народжуються в натуральному ряді відразу одне за одним . Перші дві пари близнюків (3,5) і (5,7) так само унікальні. Вони єдині, що мають спільний елемент - число 5. Далі такого не доведеться бачити. Хоча спостерігатимемо багато інших пар. До 100000 їх 1224 пари, до 1000000 - 8164, а до 30000000-152892. Відомі дуже великі пари простих чисел-близнят. Все ж і до сьогодні лишається таємницею: скінченна чи нескінченна множина пар цих чисел? Гіпотеза про нескінченість:

Однією з знаменитих відкритих проблем теорії чисел є скінченність чи нескінченність простих-близнюків. Інтуїтивно більшість математиків схиляються  до думки про існування нескінченої кількості таких чисел, проте цей факт залишається не доведеними.

    Є багато вчених математиків які вивчали прості числа,ось дехто з них: П’єтро Антоніо Катальді , Йоганн Генріх Ламберт,  Якуб Філіп Кулик, Жозеф Бертан , Пафнутій Львович Чебишев , Ератосфен та Леонард Ейлер.

    Професор І.К. Андронов в книзі “Арифметика натуральних чисел” наводить розповідь про уявну подорож по нескінченній дорозі простих чисел. “Подумки  візьмемо прямо лінійний провід, що виходять з класної кімнати в світовий простір, що пробиває земну атмосферу, що минає туди, де Місяць здійснює обертання, і далі  вогняна куля Сонця, в світову нескінченність.

    Подумки підвісимо на провід через кожен метр електричні лампочки, нумеруючи їх, починаючи з ближньої: 1,2,3,…, 1000000, …, включимо струм з таким розрахунком,щоб спалахнули всі лампочки з простими номерами, і полетимо у напрямку дроту”.

    Разом з автором цієї книги ми починаємо рух з першої електричної лампочки, яка не освітила нам старт, вона не горить, так як її номер (одиниця) не є простим числом. Відразу за нею дві лампочки з номерами 2 і 3 включені,ці числа прості. Залишимо позаду гарячі лампочки 5 і 7.Вони пронумеровані простими числами. На нашому довгому шляху дуже рідко будуть потрапляти числа-близнюки. Ось промайнули наступні числа-близнюки: 11 і 13, 17 і 19.Ми швидко набираємо швидкість;залишаючи позаду лампочки 101 і 103, 827 і 829; тепер рідше і рідше зустрічаються освітлені острівці з лампочок, пронумеровані простими числами-близнюками. Ось на тлі темряви і мороку засяяли лампочки з номерами 10 016  957 і 10 016 959;  це остання пара відомих простих чисел-близнюків. Можливо, десь у нескінченних просторах порадують наш погляд ще пара світяться лампочок, або такі близнюки зникнуть на завжди. Нам зустрічаються ділянки, досить часто освітлювальні лампочками, але частіше шлях проходить в темряві. З першого мільйона промайнуло всього 78 498 палаючих лампочок, 951 502 не горіли.

Однак ми тільки почали рух, вони ще зустрінуться, але в якусь мить? Закономірності  немає.

Прості числа-близнюки:

     Прості числа-близнюки - це пара простих чисел, різниця між якими становить 2.

Найменшими числами-близнюками є: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Найбільші відомі прості-близнюки:

На даний час найбільшою відомою парою простих—близнюків є 3756801695685 · ± 1. Десять найбільших відомих пар:

3756801695685×±1(200700 цифр)

65516468355×±1(100355 цифр)

2003663613×±1(58711 цифр)

194772106074315×±1(51780 цифр)

100314512544015×2¹⁷⁹⁶⁰±1(51780 цифр)

16869987339975×2¹⁷⁹⁶⁰±1(51179 цифр)

33218925×2¹⁶⁹⁶⁹⁰±1(51090 цифр)

22835841624×7⁵⁴³²¹±1(45917 цифр)

1679081223×2¹⁵¹⁶¹⁸±1(45651 цифр)

84966861×2¹⁴⁰²¹⁹±1(42219 цифр)

Властивості:

• Всі пари простих-близнюків крім (3, 5) мають вид  6n±1.Справді для будь-якої пари простих чисел-близнюків число, що знаходиться  між ними є очевидно парним. Також  воно ділиться на 3, оскільки з трьох  послідовних чисел одне має ділитися на три. Тому дане число також ділиться на 6, а двоє сусідніх чисел мають вид 6n±1.
• Числа m, m+2 є простими числами-близнюками тоді і тільки тоді коли:

     4((m-1)!+1)≡-m(mod  m(m+2)).

           Дійсно 4((m-1)!+1)+m≡0(mod   m(m+2)). Виконується в тому і тільки     

          тому випадку коли виконуються рівності :

    4((m-1)!+1)+m≡0(mod   m)

     4((m-1)!+1)+m≡0(mod(m+2))

           Перша з цих рівностей еквівалентна ((m-1)!+1)≡0(mod m),  що з     

           теоремою Вілсона виконується тоді і тільки  тоді коли m просте число.

• У другій рівності домножимо  обидві  частини  m. Після елементарних перетворень одержуємо:

      4m!+4m+