Криві другого порядку. Використання.

Використання рівнянь другого порядку в різних галузях. В економіці, техіці, фізиці.

Використання кривої другого порядку в техніці. Струмінь води фонтану досягає найбільшої висоти 4 м на відстані 0,5 м від вертикалі, що проходить через точку О виходу струменя. Знайти висоту струменя над горизонталлю Ох на відстані 0,75 м від точки О. Для вирішення цієї задачі скористаємося кривою другого порядку – параболою.

Розв’язання: Струмінь фонтану зазвичай параболічної форми, вершина буде знаходитися в точці А(0.5; 4). Вісь симетрії паралельна осі Оу. Отже, рівняння параболи буде мати вигляд: (𝒙−𝒙𝟎)𝟐=𝟐𝒑𝒚−𝒚𝟎 Підставили значення Х0 та У0:(𝒙−𝟎,𝟓)𝟐=𝟐𝒑𝒚−𝟒 Рівняння буде мати вигляд:  (𝒙−𝟎,𝟓)𝟐=−𝟎.𝟐𝟓𝟒(𝒚−𝟒)𝒚=𝟏𝟔𝒙−𝒙𝟐 Підставивши значення 0.75 отримали відповідь: 3 метри. 

Задача бухгалтерського змісту. Два однотипних підприємства: A і B виробляють продукцію з однією і тією ж оптовою відпускною ціною m за один виріб на один кілометр шляху перевезення до підприємства. Однак автопарк, що обслуговує підприємство A, оснащений новішими та економічнішими автомобілями. Тому транспортні витрати на перевезення одного виробу складають на один кілометр шляху перевезення: для підприємства A – 10 грошових одиниць, а для підприємства B – 20 грошових одиниць. Відстань між підприємствами – 300 км. Як територіально має бути поділений ринок збуту між двома підприємствами для того, щоб витрати споживача на відвантаження виробів та їх транспортування були однаковими?

Позначимо через S1 і S2 відстані до ринку від пунктів A і B відповідно. Тоді витрати споживачів складуть: 𝒀𝟏=𝒎+𝟏𝟎𝑺𝟏𝒀𝟐 =𝒎+𝟏𝟎𝑺𝟐 Знайдемо (Х;У) для яких 𝑌1= 𝑌2, 𝒎+𝟏𝟎𝑺𝟏=𝒎+𝟏𝟎𝑺𝟐 Або так: 𝑆1=2𝑆2 Знайдемо 𝑆1 та 𝑆2:𝑺𝟏=𝒙𝟐+𝒚𝟐𝑺𝟐=(𝟑𝟎𝟎−𝒙)𝟐+𝒚𝟐𝒙𝟐+𝒚𝟐=(𝟑𝟎𝟎−𝒙)𝟐+𝒚𝟐 Далі отримаємо рівняння кола:(𝑥−400)2+𝑦2=2002 Це є рівнянням кола. Таким чином, для споживача "всередині кола" вигідніше купувати у пункті B, поза колом – у пункті A, а на колі – однаково вигідно і в пункті A, і в пункті B. Розв’язання.

Рівняння другого порядку у фізиці. Мостова арка має форму параболи. Визначити параметр р параболи, знаючи, що проліт арки дорівнює 24 м, а висота – 6 м.

Розв’язання. Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вершина параболи (мостовий арки) перебувала на початку координат, а вісь симетрії збігалася з негативним напрямом осі Оу. В такому випадку канонічне рівняння параболи буде мати вигляд𝒙𝟐=−𝟐𝒑𝒚Кінці хорди арки будуть А(-12;-6) та В(12;-6). Підставивши координати одного з кінців хорди арки отримаємо, що р=12. 

Задача економічного змісту. Гіпербола.

Розв’язання

Висновки. Отже, ми дізналися як застосовувати криві другого порядку в різних галузях та можемо спрощено користуватися цим, тому що криві другого порядку зустрічаються в нашому житті та природі дуже часто.