Квадратні корені. Дійсні числа

Про матеріал
Повторити, узагальнити та систематизувати знання учнів про квадратні корені; вдосконалювати вміння і навички виконання тотожних перетворень виразів, що містять квадратні корені; сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних та творчих здібностей учнів, розвивати логічне мислення, пам’ять, обчислювальні навички; виховувати організованість, уважність, відповідальність, пізнавальну активність
Перегляд файлу

Тема: Розв’язування вправ з теми «Квадратні корені. Дійсні числа»

Мета:  повторити, узагальнити та систематизувати знання учнів  про квадратні корені; вдосконалювати вміння і навички виконання тотожних перетворень виразів, що містять квадратні корені; сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних та творчих здібностей учнів, розвивати логічне мислення, пам’ять, обчислювальні навички; виховувати організованість, уважність, відповідальність, пізнавальну активність, колективізм.

Обладнання:  мультимедійне обладнання, комп’ютерна презентація, роздатковий матеріал.

Тип уроку: урок систематизації й узагальнення вивченого матеріалу.

Форми роботи:фронтальна, індивідуальна, групова, робота в парах.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Добрий день, дорогі діти, шановні гості.

Всі готові?  Можемо розпочинати урок.

 Розпочати наш з вами урок я хочу з такого питання. Завдяки чому людина може здобути визнання? Які складові успіху?  Американський винахідник Томас Едісон так оцінював складові своїх успіхів: «У моїх винаходах було дев'яносто відсотків праці в поті чола. Решта припадають на талант, натхнення, інтуїцію та інші випадковості». Так можна сказати про кожну визначну людину

Народна мудрість говорить: «Хочеш бути щасливим – не будь лінивим». Це так, бо все у світі здобувається працею. Щоб досягти успіху, ось вам моя порада: будьте:

П рацьовитими

О рганізованими

Р ішучими

А ктивними

Д опитливими

А куратними у роботі

Є одна особливість вивчення математики – послідовність сприйняття. В математиці неможна йти далі, якщо не засвоїти попереднього. Тож на сьогоднішньому уроці  «розв’язування вправ з теми «Квадратні корені. Дійсні числа»»  ми повторимо, узагальнемо і систематизуємо знання про квадратні корені, вдосконалимо вміння і навички виконувати тотожні перетворення , будемо формувати вміння застосовувати отримані знання до розв’язування нестандартних практичних задач.

Підготуйте зошити до роботи. З метою взаємодопомоги і взаємонавчання ви будете працювати в трьох групах.

Робота в групах

Епіграфом до нашого сьогоднішнього уроку будуть слова визначного математика Математика – це не так знання, як уміння. 
В. Серве .

Те, що незрозуміло, потрібно з‘ясувати. Конфуцій

 Але для того, щоб їх почути, ось вам перше завдання. Кожна група отримає одинакові карточки. На одні стороні надруковані вирази на обчислення арифметичного квадратного кореня, з іншої  - буква. Ваше завдання , якомога швидше знайти значення виразів і скласти їх в порядку зростання, а потім перевернувши карточки з букв, які ви побачите скласти потрібний вислів. Отже, прошу до роботи

Епіграфом до нашого уроку будуть слова: « Як приємно дізнатися, що ти чогось навчився. » Ж Мольєр, але щоб дізнатися їх вам потрібно виконати певне завдання. (кожна група одержує картки з певними виразами, які потрібно обчислити і скласти  в порядку зростання. З іншої сторони картки є букви . якщо правильно скласти ряд одержимо потрібний вислів ----)

я

к

п

р

и

є

м

н

о

-

-

-

 

 

 

 

 

 

        

 

д

і

з

н

а

т

и

с

я

-

-

-

-

 

щ

о

т

и

 

ч

о

г

о

с

ь

н

а

в

-

-

-

-

-

-

 

ч

и

в

с

я

ІІ. Актуалізація опорних знань

На домашнє завдання кожна з груп мала підготувати розповіді, історичні довідки, презентації . зараз ми заслухаємо представника кожної групи

  1 – ша  підготувати історичну довідку про виникнення дійсних чисел;

2 – га підготувати довідку про виникнення квадратного кореня;

3 – тя  підготувати довідку про виникнення і використання поняття радикал, а також підготувати коротенький кросворд для товаришів з інших груп

Виступ «Історична довідка про квадратні корені та дійсні числа»

(презентації)

Гра «Доміно» (повторення теоретичного матеріалу)

Учні отримують картки. Картка складається з двох частин. У лівій частині записане запитання, у правій – відповідь на запитання іншої картки. Картки занумеровані. Гра полягає в тому, що учень, у якого картка під номером 1, зачитує завдання. Інші учні переглядають відповіді на своїх картках і той, у кого є правильна відповідь зачитує її, а потім читає запитання зі своєї картки. Гра продовжується доти, поки не вичерпаються всі запитання та відповіді.

 

№1

Означення квадратного кореня з невід’ємного числа.

Треба, скориставшись основною властивістю дробу, домножити чисельник і знаменник на вираз, спряжений до знаменника.

№2

Означення арифметичного квадратного кореня з невід’ємного числа.

 

Треба побудувати графіки обох частин рівняння і знайти точки їх перетину. Абсциси цих точок є розв’язками рівняння.

№3

Як називається функція у=х2 та її графік?

Ліва гілка параболи у = х2  з початком в точці (0;0), повернута на 90° вправо

№4

Як винести множник з-під знака кореня?

 

Називається квадратичною, а її графік називається параболою.

№5

У чому полягає графічний спосіб розв’язування рівнянь?

Квадратним коренем з невід’ємного числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а.

№6

Як позбутись ірраціональності у знаменнику дробу?

Треба розкласти число під коренем на такі множники, щоб з одного добувався корінь і скористатися властивістю про корінь з добутку.

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_79842e07.gif 

№7

Як внести множник під знак кореня?

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.

№8

Означення спряженого виразу


Треба скористатись тотожністю

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m238b2914.gif

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m4c3c876f.gif 

№9

Область визначення і область значення функції у =


множина невід’ємних чисел

№10

Що є графіком функції  у =

Називають такий вираз N відносно ірраціонального виразу М, відмінний від нуля, що добуток М*N не містить радикалів

 

У цей час біля дошки два учні виконують завдання «Знайди помилку»:

1-ий учень                                         2-ий учень

1.;                                     1.;

2.;                                    2.;

3..;                                3.;  

4.;                                           4..

5..                                5..  

Ми з вами бачимо, що учні які виконували завдання «знайди помилку» використовували властивості арифметичного квадратного кореня. На дошці прикріплений плакат з табличкою «властивості арифметичного квадратного кореня», ліва частинка таблички заповнено ваше завдання заповнити праву частину

№ з/п

Властивості

1.

2=

2.

=

3

=

4.

=

5.

=

6.

=

7.

=

 

ІІІ. Узагальнення і систематизація знань

Всі знання цінні, якщо вони опрацьовані на практиці. Тож давайте на прикладах розглянемо застосування властивостей арифметичного квадратного кореня.

  1. Усні вправи
  2.  

Зараз ми з вами повторимо властивості квадратного кореня, у кожного з вас на столі лежать таблиці, які треба заповнити, спочатку записуєте властивість яку використаєте для обчислення виразу, а потім обчислити сам вираз

властивість

Вираз

 

 

 

 

 

 

ІІІ. Етап узагальнення і систематизації вивченого матеріалу

  1.          Усне роз’язання вправ з використанням властивостей АКК:

а) ;   б) ;   в) .          

Обчисліть кожен письмово самостійно по групах. Прокоментуйте:

а) ;  

б) ;

в) ;

г)*                     (В: 13,5;  6;  2,2;  5

  1.     Встановіть відповідність між виразами (1-3) і  їм тотожно рівними  (а-г):
  1.        ;   2) ;   3) ;

а)  ;   б) ;   в) ; г) .(В: 1г ;2в; 3б)

6.   Спростіть вираз:   

а) ;  

б)  

         в) ; 

г)*.                    : ; 9; 5; 1+)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1). Всі знання цінні, якщо вони опрацьовані на практиці. Тож давайте на прикладах розглянемо застосування властивостей арифметичного квадратного кореня.

Колективне обговорення, запис в зошитах.

=                                                 =                                     =

=                                            =                                            =

=                                             =                                       =

2). Тепер кожен з вас пройде тест на вміння порівнювати, співставляти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ з/п

Властивості

1.

2=

2.

=

3

=

4.

=

5.

=

6.

=

7.

=

 

ІІІ. Етап узагальнення і систематизації вивченого матеріалу

  1.          Усне роз’язання вправ з використанням властивостей АКК:

а) ;   б) ;   в) .           (В: 6;  11; 72)

  1.          Обчисліть кожен письмово самостійно по групах. Прокоментуйте:

а) ;  

б) ;

в) ;

г)*                     (В: 13,5;  6;  2,2;  5

  1.     Встановіть відповідність між виразами (1-3) і  їм тотожно рівними  (а-г):
  1.        ;   2) ;   3) ;

а)  ;   б) ;   в) ; г) .(В: 1г ;2в; 3б)

6.   Спростіть вираз:   

а) ;  

б)  

         в) ; 

г)*.                    : ; 9; 5; 1+)

Індивідуальна робота.

Самостійно заповнюємо табличку, вказавши номер властивості арифметичного квадратного кореня, яка використана для обчислення виразу.

властивість

Вираз

 

 

 

 

 

 

 

 

Самостійна робота

 

 

 

Релаксація «Шкільні жарти»:

  1.        У 8-А класі пройшла контрольна з алгебри. Наш Назарко , стараючись добути квадратний корінь з 16, одночасно добув корінь старого пенька на шкільному подвір’ї , а також корінь зуба мудрості у своєму роті. За пеньок Назару  оголошено подяку від директора школи, а за відвідування стоматолога під час уроку – «двійка» за контрольну від вчительки.

 

  1.        Доведемо, що розваги – це зло. Перш за все відомо, що розваги вимагають грошей і часу: РОЗВАГИ=ГРОШІ·ЧАС. За відомою аксіомою: «час – це гроші», маємо: ЧАС=ГРОШІ, тому РОЗВАГИ=ГРОШІ·ГРОШІ=(ГРОШІ)2. Так як за правилом: «гроші – це корінь зла», ГРОШІ=, то РОЗВАГИ=()2. За тотожністю                   ()2=ЗЛО, отже, РОЗВАГИ=ЗЛО. Що й треба було довести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оціночний лист

Учення (иці) 8 А  класу  __________________________________

з теми « Квадратні корені. Дійсні числа»

Завдання

Кількість

балів

1

Історична  довідка

 

2

Гра «Доміно»

 

3

«Знайди помилку»

 

4

Таблиця «Властивості  АКК»

 

5

Усні вправи

 

6

Письмові вправи

 

7

Індивідуальна робота

 

8

Самостійна робота

 

9

 

 

 

Всього

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методичні прийоми використання на уроці

Структура уроку

Методичні прийоми

Хронометраж

I. Організація класу до уроку

Гра «Пароль»

3 хв.

II. Актуалізація опорних знань

а) бліцопитування;

б) математичний диктант;

в) «Втрачена інформація»

6 хв.

III. Мотивація навчальної діяльності

«Картинна галерея»

9 хв.

IV. Повідомлення теми і мети уроку

«Очікувані результати»

3 хв.

V. Виконання завдань під контролем

вчителя

а) бліцтест;

б) дидактична гра «Відповідність «Відповідь – буква»;

в) «Натхнення»

10 хв.

VI.  Фізхвилинка

«Іван-покиван»

2 хв.

VII. Узагальнення та систематизація знань, умінь і навичок

а) математичний диктант

б) взаємоперевірка

в) заповнення аркушів оцінювання

7 хв.

VIII. Підсумок уроку. Домашнє завдання

а) «Шерлок Холмс»;

б) «Сторінка щоденника»

5 хв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хід уроку

І. Організаційний етап

Вітання з учнями.

Перевірка відсутніх на уроці.

Підготовка робочих місць учнів

Організація уваги.

ІІ. Активізація пізнавальної діяльності учнів

Кодовані завдання.

                                                                 

                                               

 

 

 

 

 

Завдання заготовлені на дошці. Розв’язуючи їх, учні розкодовують слово «Уміння»:   5-У, 0,45-М, 0,045-І, 0,0125-Н, 0,07-Н, 2,45-Я.

Пояснюють, що таке уміння і для чого вони потрібні школярам і взагалі людям.

Так здійснюємо мотивацію навчально-пізнавальної діяльності учнів.

Налаштування на успішну роботу.

X. Підведення підсумків уроку.

Коментоване виставлення оцінок. Цінування роботи учнів на уроці.

Рефлексія.

 Метод «Обери позицію»:

  1. Я все засвоїв на уроці. Собою задоволений!
  2. Мені ще треба попрацювати щоб досягти бажаного результату.
  3. Я у розпачі! Не знаю що робити.

Учні не тільки обирають позицію, а й обґрунтовують її (за бажанням).

Дякую за працю.


 

 

 

 

 


Дійсні числа

історія розвитку лінії числа

Поговоримо про історія розвитку дійсних чисел. Адже в математиці вони займають важливе місце!

Історія розвитку дійсних чисел починається з самої зорі людства. Оскільки поняття нуля було вперше (більш-менш достовірні відомості) сформульовано в 876 році від Різдва Христового та введено в Індії, можна відзначити цю дату як проміжну.

Що ж стосується від’ємних  значень, то вперше їх описав Діофант (Греція) у третьому столітті нашої ери, але «узаконені» вони були тільки в Індії, практично одночасно з поняттям «нуль».

Слід пам'ятати, що історія розвитку чисел в математиці припускала їх існування ще в Давньому Єгипті, так як в результаті обчислень вони виявлялися нерідко. Ось тільки в той час їх вважали «неможливими» і «нереальними»


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратні корені з чисел вавилонські мате тематики вміли добувати ще в 4 тис. тому. Стародавні греки замість слів «здобути корінь» говорили « знайти сторону за даною площею квадрата», тобто раніше корінь називали «стороною». В латинській мові слова «сторона», «бік», «корінь» називаються однаково – radix.У 13 ст. європейські математики запропонували замість теперішнього   писати R12 ( латинське Radix – корінь). Згодом стали замість Rписати V7, V(a+b). Декарт (1596-1650) створив знак кореня з рискою

Источник: http://5fan.ru/wievjob.php?id=53828

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Як називається функція у=х2 та її графік?


Треба , скориставшись основною властивістю дробу, домножити чисельник і знаменник на вираз, спряжений до знаменника.



 


2

У чому полягає графічний спосіб розв’язування рівнянь?


Числа, які є нескінченними неперіодичними десятковими дробами
 


3

Означення квадратного кореня з невід’ємного числа.


Функція у=х2 називається квадратичною, а її графік називається параболою.


 


4

Означення арифметичного квадратного кореня з невід’ємного числа.


Кожне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.



 


5

Означення раціонального числа.


Корінь із степеня http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m2a2235e.gif, в якому число http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_d872e6f.gifневід’ємне і k натуральне, дорівнює http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m4b7dda94.gif.



 


6

Означення ірраціонального числа.


Арифметичний квадратний корінь з добутку двох чи кількох невід’ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників.



 


7

Сформулюйте властивість арифметичного квадратного кореня з добутку.


Квадратним коренем з невід’ємного числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а



 


8

Сформулюйте властивість арифметичного квадратного кореня з дробу.


Треба розкласти число під коренем на такі множники, щоб з одного добувався корінь і скористатися властивістю про корінь з добутку.

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_79842e07.gif 



 


9

Сформулюйте властивість арифметичного квадратного кореня зі степеня.


Треба скористатись тотожністю

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m238b2914.gif

http://ua.convdocs.org/pars_docs/refs/8/7890/7890_html_m4c3c876f.gif 



 


10

Як винести множник з-під знака кореня? Наведіть приклад.


Треба побудувати графіки обох частин рівняння і знайти точки їх перетину. Абсциси цих точок є розв’язками рівняння.



 


11

Як внести множник під знак кореня? Наведіть приклад.


Арифметичний квадратний корінь з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатній, дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника.



 


12

Як позбутись ірраціональності у знаменнику дробу? Наведіть приклад.


Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а

 

 

 

 

 

в+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- - -

В        л         а        с         т         и       в         о        с          т           і

- - - - 

А         р           и         ф      м         е        т         и        ч        н        о          г          о

- - - -

К          в          а           д         р        а         т         н          о          г          о

- - -

К           о        р        е         н         я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Історична довідка

Графічне розв’язання рівняння х²=2 показує, що існують відрізки, довжини яких не виражаються раціональними числами, тобто для вимірювання відрізків раціональних чисел недостатньо.

Цей факт було відкрито в школі великого давньогрецького вченого Піфагора.

Спочатку піфагорійці вважали, що для будь-яких відрізків завжди можна знайти такий відрізок, який у кожному з них вкладається ціле число разів. Звідси випливало, що відношення довжин будь-яких двох відрізків виражається відношенням натуральних чисел, тобто раціональним числом.

Проте самі ж піфагорійці зробили видатне відкриття. Вони довели, що діагональ і сторона квадрата не спільномірні, тобто якщо сторону квадрата взяти за одиницю, то довжину діагоналі квадрата виразити раціональним числом не можна.

 

 

 

1

 

docx
Додано
10 грудня 2023
Переглядів
168
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку