Квадратні нерівності.Узагальнення теоретичного матеріалу.

Квадратні нерівності. Узагальнення вивченого матеріалу.

1.Нерівності виду ах² + bх + с >0 (<0; ≥ 0; ≤ 0) називаються квадратними, якщо а=0.

Для розв'язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка

2 квадратичної функції у = ах + bх + с . Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи – вгору чи вниз, та абсциси точок перетину з віссю Ох.

2. Алгоритм розв'язування квадратних  нерівностей (графічний спосіб).

•      1.Визначити напрямок віток параболи  в залежності від знака коефіцієнта а.

•      2.Знайти дискримінант D , а потім корені квадратного тричлена

(якщо вони існують).

•      3. Побудувати ескіз графіка квадратичної функції у = ах² + bх + с (з

урахуванням        знака          коефіцієнта        а        та     знайденого           знака дискримінанта D і коренів).

•      !!! Для випадку > 0 відповідно отримаємо проміжок, для якого точки параболи лежать вище осі Ох, для випадку < 0 відповідно отримаємо проміжки, для яких точки параболи лежать нижче осі Ох.

•      4.Записати відповідь.

3.При розв'язанні квадратних нерівностей зручно використовувати ще один метод розв'язання -  метод інтервалів.

1.Знайти корені квадратного тричлена a𝒙^𝟐+bx+c і розкласти його на множники.

2. Позначити на числовій прямій корені тричлена і знайти знаки

квадратного             тричлена             на             кожному             інтервалі.

3.Обрати інтервал, який відповідає знаку нерівності,  і записати відповідь.

Існує кілька основних підходів, що дозволяють знаходити знаки на проміжках.

Перший спосіб полягає у обчисленні значень тричлена в окремо взятих точках проміжків – інтервалі.

При цьому:

Ø Якщо ми розв'язуємо  нерівність зі знаком < , то беремо інтервал зі знаком мінус.

Ø Якщо ми розв'язуємо нерівність зі знаком >, то беремо інтервал зі знаком плюс.

Коли квадратний тричлен має два корені, то знаки його значень на інтервалах чергуютьс! Тобто, достатньо визначити знак на одному з трьох інтервалів, і розставити знаки над тими, що залишилися, чергуючи їх. В результаті можлива одна з двох послідовностей знаків:

 +, -, + або -, +, -.

Правила, які дозволять швидко знайти знаки інтервалів.

v Можна взагалі обійтися без обчислення значення квадратного тричлена в точці інтервалу, а зробити висновки про знаки за значенням старшого коефіцієнта а:

якщо a > 0, то маємо послідовність знаків +, −, +, якщо a < 0, то маємо послідовність знаків −, +, − !

v Якщо квадратний тричлен має один корінь, то висновок про знаки

інтервалів можна зробити теж на основі значення коефіцієнта a: 

якщо a > 0, то буде +, +,  якщо a < 0, то  буде −, −.

v Коли квадратний тричлен коренів немає, то знаки його значень на всій числовій прямій збігаються як із знаком старшого коефіцієнта a, і зі знаком вільного члена c.