Квадратні рівняння з параметром

ПІДГОТОВКА ДО НМТ.

 Квадратні рівняння з параметром

Рівняння виду ах² + вх + с = 0, де х – шукане  невідоме, а, в, с – дійсні числа і а ≠ 0, називається квадратним рівняння.

Для коренів х₁ і х₂ квадратного рівняння виконується теорема Вієта:

                                ,  .                                                          (2.4)

Розкладання квадратного тричлена на множники:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),                                                                            (2.5) де х₁ і х₂ – корені квадратного тричлена.         

Алгоритм розв’язання квадратного рівняння з параметром, що має вигляд f(а)х² + g(а)х + h(a) = 0, де f(а), g(а), h(a)- аналітично задані функції параметра а, х – змінна, можна представити у наступному вигляді:

1. звести рівняння з параметром до виду  f(а)х² + g(а)х + h(a) = 0;

2. виписати коефіцієнти f(а), g(а), h(a) рівняння;

3. якщо f(а)= 0, то рівняння перетворюється на лінійне  і  набирає вигляду: g(а)х + h(a) = 0;

4. якщо f(а) ≠ 0 (це випадок квадратного рівняння з параметром), тоді обчислити дискримінант поданого квадратного рівняння за формулою:

D = g²(а) – 4 f(а) h(a);                                                                                       (2.6)

5. дослідити дискримінант квадратного рівняння та визначити корені рівняння:

1) розв’язати нерівність D > 0 і для всіх її розв’язків знайти два корені:                                                                           (2.7)                                                      

2) розв’язати нерівність D = 0 і для всіх її розв’язків знайти корінь квадратного рівняння:                                                                     (2.8)

3) розв’язати нерівність D < 0 і вказати, що для всіх її розв’язків квадратне рівняння коренів не матиме;

6. записати відповідь для всіх значень а (і для тих, при яких  f(а)= 0, і для тих, при яких  f(а) ≠ 0).

Проілюструємо розв’язання квадратного рівняння з параметром на прикладах з підручника для загальноосвітніх шкіл.

Приклад 4. Визначити, при якому значенні а один із коренів рівняння

4х² + (а – 8)х + а² + a = 0 дорівнює 0, і його знайти другий корінь.

Розв’язання. Оскільки один із коренів рівняння 4х² + (а – 8)х + а² + a = 0 дорівнює 0, тоді підставимо замість х число 0. Отримаємо: а² + a = 0; а(а + 1)= 0.

Тоді: а = 0 або а = –1.

Якщо а = 0,  то 4х²  – 8х = 0; 4х(х – 2) = 0; х₁ = 0 або х₂ = 2. Тобто другий корінь поданого рівняння дорівнює 2.

Якщо а = –1,  тоді  4х²  – 9х + 1 – 1= 0; 4х² – 9х = 0; х(4х – 9) = 0; х₁ = 0 або

х₂ = 2,25. Тобто другий корінь поданого рівняння дорівнює 2,25.

Відповідь: якщо а = 0, тоді х₂ = 2; якщо а = –1, тоді х₂ = 2,25.

Приклад 5. Для кожного значення а розв’язати рівняння

ах² - (а + 1)х + 1= 0.

Розв’язання.  При а = 0 отримуємо лінійне рівняння  – х + 1= 0, яке має корінь х = – 1. При а ≠ 0 отримуємо квадратне рівняння. За формулою (2.6) дискримінант:  D = (-(а + 1))² – 4а = а² – 2а + 1= (а – 1)². D = (а – 1)² ≥ 0.

Тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:

Відповідь: якщо а = 0, тоді х = – 1; якщо а ≠ 0, тоді х₂ = 1.

Розглянемо приклади розв’язання квадратних рівнянь з параметром  ЗНО, НМТ з математики минулих років.

Приклад 6. Визначити додатне значення а, за якого один із коренів рівняння х² - (2а - 4)х + 16 = 0 на 6 більший від іншого.

Розв’язання. Один із коренів рівняння на 6 більший від іншого, тоді

х₂ = х₁ + 6. За теоремою Вієта (2.4):  ;  .  

Тоді:      

Отримаємо: (а - 5)( а – 5 + 6) = 16. Зведемо рівняння до загального вигляду: а² – 4а – 21 = 0.   За теоремою Вієта (2.4): а₁ = 7,  а₂ = – 3.

Умові завдання задовольняє додатне значення а = 7. Відповідь: а = 7. 

Приклад 7. Визначити кількість цілих значень параметра а, за яких корені рівняння 2х² - (4а - 3)х – 6а = 0 належать проміжку [-5; 8].

Розв’язання.  За формулою (2.6) дискримінант: D = (-(4а – 3))² – 4 ⸳ 2 ⸳ (– 6а) = 16а² + 24а + 9 = (4а + 3)². D = (4а +3)² ≥ 0.

Тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:

Корінь х₁ = – 1,5 належить проміжку [-5; 8]. 

Тоді х₂ = 2а задовольняє нерівності: – 5 ≤ 2а ≤ 8; – 2,5 ≤ а ≤ 4.

Кількість усіх цілих значень параметра а з цього проміжку: ˗2; ˗1; 0; 1; 2; 3; 4, дорівнює 7. Відповідь: 7. 

Тренувальна вправа

Завдання для самостійного опрацювання розв’язування квадратних рівнянь з параметром

1. (8) При якому значенні а число 2 є коренем рівняння  х² – 0,5ах – 3а²= 0?
2. (8) При якому значенні а має один корінь рівняння (а + 5)х² - (а + 6)х + 3= 0?
3. (8) Для кожного значення а розв’язати рівняння  х² + (3а – 4)х – 12а= 0.
4. (8) При якому значенні а корені рівняння х² + ах – 17 = 0 є протилежними числами? Знайдіть ці корені.
5. (8) Знайдіть добуток усіх цілих значень а, за кожного з яких має лише один корінь рівняння  х² – 2ах + 16 = 0.
6. (8-9) Знайдіть найбільше ціле значення а, за якого рівняння  х² – 8х + 2а = 0 має два дійсних корені.
7. (8-9) Знайдіть кількість усіх цілих значень а, за кожного з яких не має дійсних коренів рівняння  х² – (а – 3)х + 4 = 0.
8. (8) При якому значенні а має один корінь рівняння  (а + 6)х² - (а – 2)х + 1= 0?
9. (8-9) Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких має два різні корені рівняння (а + 1)х² – (1 - 2а)х + а + 1= 0.
10. (8-9) Визначити кількість цілих значень а, за яких корені х₁ та х₂ квадратного рівняння  х² – 4ах + 4а² – 25 = 0 задовольняють умові х₁ < 1 < х₂.

11. (8) Визначити значення а, за якого один із коренів рівняння  х2 - 9х + а = 0 на 2 більший від іншого.

12. (8) За якого значення параметра а для рівняння  х² – 8х + 4а – 1 = 0 сума квадратів коренів дорівнює 38?

Процес розв’язування квадратних рівнянь з параметром

1. Якщо х = 2, тоді  2² – 0,5а · 2 – 3а²= 0, 4 – а – 3а² = 0,  – 3а² – а + 4= 0, 

3а² + а – 4= 0. Розв’язуємо отримане квадратне рівняння:  D = 1² – 4 ⸳ 3 ⸳ (–4) = 1+ 48 = 49. D>0, тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:

Відповідь:

2. При а = – 5 отримуємо лінійне рівняння  – х + 3= 0, яке має корінь х = 3. При а ≠ – 5 отримуємо квадратне рівняння. Воно має єдиний корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю.

За формулою (2.6): D = (– (а + 6))² – 4 ⸳ 3 ⸳ (а + 5)= а² – 24.

Маємо:  а² – 24 = 0, звідки

Відповідь: а = – 5, або або

3. За формулою (2.6) дискримінант: D = (3а – 4)² – 4 ⸳ (–12а)= 9а² + 24а + 16= (3а + 4)². D = (3а + 4)² ≥ 0. Тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:  

Відповідь: х₁ = –3а; х₂ = 4.

4. Використаємо теорему Вієта (2.4): ; .                                                    Оскiльки корені рівняння х² + ах – 17 = 0 є протилежними числами, тоді Тобто а = 0. Тоді х² + 0х – 17 = 0; х² = 17;

Відповідь: якщо а = 0, то

5. За формулою (2.6) дискримінант: D = (–2а)² – 4 ⸳ 1 ⸳ 16 = 4а² – 64. Квадратне рівняння має єдиний корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю. 4а² – 64 = 0; а² = 16, а = 4 та а = – 4.

Тоді добуток усіх цілих значень а:  4 ⸳ (– 4) = – 16. Відповідь: – 16.

6. За формулою (2.6) дискримінант: D = (– 8)² – 4 ⸳ 1⸳ 2а = 64 – 8а. Квадратне рівняння має два корені, якщо його дискримінант більше за нуль. Складемо  нерівність і розв’яжемо її: 64 – 8а > 0; – 8а > – 64; а < 8. Тож, найбільше ціле значення а = 7. Відповідь: 7.

7. За формулою (2.6) дискримінант: D = (а – 3)² – 4 ⸳ 1⸳ 4 = а² – 6а – 7. Квадратне рівняння не має коренів, якщо його дискримінант менший від нуля.

Складемо  нерівність за формулою (2.5) і розв’яжемо її:

а² – 6а – 7 < 0; (а – 7)(а + 1) < 0. 

За методом інтервалів досліджуємо знак виразу на проміжках: при а < - 1;  при  - 1 < а < 7 та при а > 7. Отримаємо, що значення виразу є від’ємним числом при  - 1 < а  < 7. Кількість усіх цілих значень параметра з цього проміжку: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6, дорівнює 7. Відповідь: 7. 

8. При а = – 6 отримуємо лінійне рівняння  8х + 1= 0, яке має єдиний корінь

х = –1 : 8 = – 0,125. При а ≠ –6 отримуємо квадратне рівняння. Воно має єдиний корінь, якщо D = 0. За формулою (2.6): D = (-(а – 2))² – 4 (а + 6)= а² – 8а – 20.

Маємо:  а² – 8а – 20 = 0, звідки за теоремою Вієта (2.4):  а₁ = – 2; а₂ = 10.

Відповідь: а = – 6, або а = – 2, або а = 10.

9. Оскільки за умовою задане рівняння має два різних корені, то воно є квадратним, отже, а + 1 ≠ 0; а ≠ – 1. За формулою (2.6) обчислимо дискримінант: D = (-(1 – 2 а))² – 4 (а + 1)²= – 12а – 3. Щоб рівняння мало два різні корені, дискримінант повинен бути додатним, тобто –12а – 3 > 0; а < – 0,25 (а ≠ – 1).

Тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:

Відповідь: а(–∞;–1)  (–1; –0,25).

10. Оскільки за умовою задане рівняння має два різних корені, то D > 0. За формулою (2.6) обчислимо дискримінант: D = ( – 4а)² – 4 (4а² – 25)= 16а²– 16а² + 100 = 100.  Тоді за формулами (2.7) знайдемо корені поданого рівняння:

  За умовою задачі х₁ < 1 < х₂   або х₁ < 1 та х₂  > 1. Тоді: 2а – 5 < 1 та 2а + 5 > 1. Отримаємо: а < 3 та а > – 2; а  (–2; 3). Кількість цілих значень параметра а з цього проміжку: -1; 0; 1; 2, дорівнює 4. Відповідь: 4.

11. Один із коренів рівняння на 2 більший від іншого, тоді х₂ = х₁ + 2. За теоремою Вієта, формула (2.4):  ;  .  

Тоді:       

Отримаємо: а = 5,5 ⸳ 3,5 = 19,25. Відповідь: а = 19,25. 

12.  За теоремою Вієта, формула (2.4):  ;  . Оскільки сума квадратів коренів дорівнює 38, тоді: (х₁ + х₂)² = х₁² + 2х₁х₂ + х₂² = 8² = 64, х₁² + х₂² = 64 ˗ 2х₁х₂ = 64 ˗ 2(4а ˗ 1) = 66 ˗ 8а = 38. Отримаємо: а = 3,5. Відповідь: а = 3,5.