ЛЕГЕНДА ПРО ДИСКРИМІНАНТ:

ШЛЯХ ВІД ВАВИЛОНУ ДО ДЕКАРТА

***

Давним-давно, у сонячному Вавилоні, де пісок переливався золотом, а небо плавилося від спеки, мешкали два архітектори — Шамаш і Бел-Етір. Вони були найкращими майстрами царського двору за великого царя

Хаммурапі (близько 1800 року до н. е.).

Хаммурапі вирішив звести величний палац для своєї дружини, богині краси та мудрості – цариці Беліт. Основна зала мала бути квадратною, як символ досконалості, а до неї прибудований прямокутний сад, який повторював би форму зали, тільки витягнуту.

Але біда була в тому, що архітектори знали площу майбутньої зали, але не знали, якою має бути сторона квадрата, щоб при будівництві саду все зберегло пропорції. Вони накреслили квадрат і додали до нього прямокутник — все, як велів задум, але обчислення не виходили.

— «Ми знаємо, яку площу має займати вся споруда, і навіть співвідношення між частинами, але як знайти довжину сторони квадрата?» — журився Бел-Етир. 

— «Без математики нам не впоратись…» — відповів Шамаш.

І тоді вони пішли до великого жерця-математика Ахмеса. Ахмес вислухав їх і сказав: 

— Ви шукаєте не просто сторону, ви шукаєте гармонію. Коли щось множиться на себе — народжується квадрат. Знайдіть те, що при множенні саме на себе дасть вам цю площу. Це і буде коріння вашого числа».

Він не користувався формулами — в ті часи ще не було поняття “квадратні рівняння”. Він проклав перший шлях до розв'язання квадратного рівняння — ще без знаків, лише словами та символами. Так народилася перша ідея квадратного кореня! 

***

Минуло століття. Піски Вавилону змінилися садами Багдаду. У Будинку мудрості, серед папірусів та зіркових карт, жив великий вчений Мухаммад аль-Хорезмі. Він зібрав усю математичну спадщину вавилонян, індійців та греків, і тоді вперше народилося слово алгебра.

Він вже вмів вирішувати квадратні рівняння з числами та словами, і давав правила, як знайти корені, але писав їх не як формулу, а реченнями:

"Візьми половину коефіцієнта перед х, зведи її в квадрат, додай до постійного числа, а потім візьми квадратний корінь".

І хоча символів ще не було, саме він заклав основу формули, яка пізніше перетвориться на знайомий нам вираз:

 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 

***

Минуло ще сім століть, і тепер дія переноситься до Європи — Франції XVII століття. Філософ і математик Рене Декарт, сидячи у свічці над рукописами, вперше записавши квадратне рівняння вже у сучасному вигляді — через символи a, b, c.

Він не тільки узагальнив формулу коренів, але й надав їй геометричний сенс: парабола, що перетинає вісь, — це не просто лінія, а спосіб “бачити” розв'язки рівняння.

Щоб пояснити, коли рівняння має два, один або жодного кореня, він увів спеціальний вираз: 

 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐.

і назвавши його дискримінантом — від латинського discriminare — розрізняти.

Бо саме цей вираз “розрізняє” частку рівняння:

●      якщо (D>0) — дві відповіді, два різних корені;

●      якщо (D=0) — рівняння має один корінь;

●      якщо (D<0) — немає розв’язку, дійсних коренів немає.

***

Давайте розберемо по кроках, звідки саме береться формула для коренів:

Початкове квадратне рівняння:

 де a≠0.

Крок 1. Поділимо обидві частини на a, щоб позбутися коефіцієнта перед x²:

Крок 2. Переносимо вільний член вправо:

Крок 3. Додамо вираз, який зробить ліву частину повним квадратом. Щоб отримати квадрат двочлена, додаємо

Крок 4. Ліва частина тепер — квадрат двочлена:

Крок 5. Беремо квадратний корінь з обох частин:

Крок 6. Віднімаємо 

***

Минали віки. Від пісків Вавилону — до садів Багдада, від рукописів Аль-Хорезмі — до філософських роздумів французького вченого Рене Декарта, людство йшло шляхом пошуку гармонії між числом і формою.

            Так народилося поняття дискримінанта — числа, яке розділяє світ рішень:

●     якщо воно більше нуля, у житті є два шляхи, два корені, дві можливості;

●     якщо дорівнює нулю, шлях єдиний і точний — рівновага;

●     а коли менше нуля, — це шлях, що лежить поза межами реального, у світі уяви.

Дискримінант став ніби оком рівняння, яке бачить наперед, скільки відповідей існує. І тепер, коли ми дивитимемось на формулу дискримінанта, будемо згадувати тисячолітній шлях — від архітекторів Вавилону, що шукали сторону квадрата, до вчених, які шукали істину у рівняннях.